陕西省铜川市2024届高三年级下册第三次模拟考试 数学（理） 含解析

铜川市2024年高三年级第三次模拟考试

数学（理科）试题

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1,2,%},5={削f―2%—3<。},若=则实数加的值可能是（）

A.OB.lC.2D.3

2.设复数z满足z（i—l）=4i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2

3.已知双曲线。：/+匕=1（加工0）的一条渐近线方程为〉=岳，则C的焦点坐标为（）

A.（±A/3,0）B.（0,±A/3）C.（±l,0）D.（O,±l）

4.已知甲种杂交水稻近五年的产量数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂交水稻的产量数据为

9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则下列说法错误的是（）

A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数

D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

（3a-1）x+2a,x<1,

5.若函数y）在R上单调递减，则实数。的取值范围是（）

log^x.l

B.D.r1

6.已知cos[o—g)—cosa=万，则sin[2a+《J=(

)

113

A.一一B.-

2244

7.已知a,。为正实数,则“@<1”是〈但”的()

bbZ?+l

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/(x)=sin2x—cos2x,则下列说法中不正确的是()

A./(x)的最小正周期为兀

BJ(尤)的最大值为夜

C"(九)在区间-上单调递增

9.已知函数/(九)是定义域为R的偶函数，且/(x+1)为奇函数，若/⑼+〃3)=3,贝|()

A./(^-l)=/(x+l)B./(2025)=3

C.函数/(x)的周期为2D./(2024)=3

10.在正方体ABC。—A4G。中，2£6分别为8。,。。,。2的中点，若A3=4,则平面ERG截正

方体所得截面的面积为()

A.672B，6A/3C.12V2D.12V3

11.梯卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重

量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得柳卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种

简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木搬、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边

形A3CD是边长为2的正方形，且-ADE,8CT均为正三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔子的外

接球的体积为()

12.已知片、鸟为椭圆。：0+当=1伽〉6〉0）的左、右焦点，点P在C上且位于第一象限，圆。1与线段

£尸的延长线、线段PK以及X轴均相切，/耳心的内切圆的圆心为。2.若圆。1与圆。2外切，且圆。1与

圆。2的面积之比为9,则椭圆。的离心率为（）

A£BgC也D班

2522

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每

个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有种.

14.已知点。为ABC外接圆的圆心，且。4+。8+。0=0，则cos（AC,BC）=.

15.已知dABC的内角A,5C所对的边分别是。,,点。是AB的中点.若2a+Z?=2ccos5,且

AC=1,CD=—,则AB=

2

16.若函数/'"”加+——有两个极值点，则实数。的取值范围为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知数列｛4｝满足：%+4%++4'T%=〃.4",〃eN*.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

1111

（2）若一+——++------<6，求正整数机的最大值.

^^2^3^2^^3,“""+1

18.（本小题满分12分）

学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.

决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获

得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠

军的概率分别记为

㈤+0,i,则认为甲、乙获得冠军

（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（若E—pJ.

5

的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；

（2）用X表示教师甲的总得分，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥尸-A3CD的底面是正方形，平面A5CD,点£是1%的中点，下是线段上

（包括端点）的动点，PD=AD=2.

（1）求证：PC〃平面E6D；

\PF

（2）若直线所与平面P3C的夹角为60，求阿的值.

20.（本小题满分12分）

过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点下的直线/交C于两点，若直线/垂直于x轴，则OMN的面积

为2,其中。为原点.

（1）求抛物线。的方程;

（2）抛物线C的准线上是否存在点P，使得当PWLPN时，的面积为2&.若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数=—+—+.

xxe

⑴当a=l时，求曲线y=/（x）在点处的切线方程;

（2）若函数/（X）存在零点，求实数。的取值范围.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x=5cosa+4,

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为<u,c（&为参数），以原点。为极点，X轴

y=5sincr+3

正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设是曲线C上的两点，且O暇，QV,求面积的最大值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数〃x)=|x—1+2,+斗

（1）求不等式/（尤）,,9的解集;

[23

⑵记函数〃尤）的最小值为M，若正数。,瓦。满足一+：+二=知+5,证明：3a+2b+c..2+y/3.

abc

铜川市2024年高三年级第三次模拟考试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.A【解析】依题意8={x|-l<x<3},由=可得meB,当根=0时，符合题意，应选A

项；当〃2=1或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除B,C项；当根=3时，m史B,从而排除D

项.

4i4i(-l-i)

2.D【解析】复数2=口=2-2i,复数z在复平面内对应的点位于第四象限.故选D

(-l+i)(-l-i)

项.

3.A【解析】易知〃z<0,令^+上―=0,解得y=土J—inx，故J—m=，即m=—2,从而

m

c=jm=百，从而C的焦点坐标为(±6,0).故选A项.

4.D【解析】10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0,4,故A正确；

=|x(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,&=|x(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=j^,

故8正确；甲种的样本中位数为10.0,乙种的样本中位数为10.0,故C正确.

2(9.8-10)2+(10.2-10)2

舜=-----------5-----------，

2(9.6-10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

5乙=-----------------------5--------------------------------'

显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故。错误.

(3a-1)x+2a,x<1,

5.C【解析】函数y=[)、在R上单调递减，

log^x.l

3cl—1<0,

：.<0<a<l,解得,,，a<1.故选。项.

53

3a-l+2a」og

1

AAr铲矫、(兀)6•.(兀)小

6.A【角牛析】cosa——-cosiz=——since——coscz=sina——=—

13)2212

7.C【解析】若应＜1,根据糖水不等式可得@＜但，充分性得证；

bbb+1

若巴＜"+1,则即。＜0,故@＜1,必要性得证.

bb+1b

8.C【解析】依题意/(x)=0sin|2x-则函数/(力的最大值为&,最小值正周期为兀，从而

可排除A,B选项.

一卜段"47十讣一夜,即/-扑/4,故小)在区间-号上不可能

单调递增，应选c项.

/卜—5)=夜sin2[x—：=V^sin[2x—])=—夜cos2x为偶函数，从而

/1―x—W),从而可排除。选项.

9.D【解析】/(x+1)为奇函数，.•./(—x+l)=—/(x+l),

又为偶函数，.."(r+l)=/(x—l),.••/(%—l)=—/(x+l)，故A项错误.

即/(%)=—/(x+2),；"(x+4)=—〃x+2)=/(x),.•.函数/(%)的周期为4,即C项错误.

由/(一1+1)=—/(%+1),令x=0,得

/(l)=0,/(3)=/(-l)=/(l)=0,.-./(2025)=/(l+506x4)=/(l)=0,即B项错误.

又/(。)+/⑶=3,/(0)=3,/(2024)=/(0+506x4)=/(0)=3,故选。项.

10.D【解析】如图，过点G作所的平行线交8用于点J,过点/作EG的平行线交44于点/,

过点/作所的平行线交42于点”，易知点JJ,"都在截面跳G内，且都是其所在棱的中点，从而

所得截面是边长为2a的正六边形，所求面积s=6xgx20x2应xsin60)=12石.故选D.

ll.c【解析】如图，分别过点A8作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接DG,C",则

4_2______________

EG=-^-=l,故AG=JAE2_EG2*=5

取AD的中点O',连接GO',

又AG=GO,.•.GO'LAO,则GO'=JAG?-[yj=也.

由对称性易知，过正方形A3CD的中心。1且垂直于平面A3CD的直线必过线段所的中点。2,且所求

外接球的球心。在这条直线上，如图.

设球。的半径为H，则R2=OO；+AO；,且R?=OO；+E。；,

从而oof=OO[+2,即（oq+0。2）（OQ—。。2）=2，

当点。在线段。1Q内（包括端点）时，有001+0.=GO'=夜，可得0Q—OQ=J5,

从而oq=J5,即球心。在线段所的中点，其半径尺=2.

当点。在线段。1。2外时，0^=41,（41+00^=001+2,解得。。2=0（舍）.

故所求外接球的体积V=国羽=坦:故选C项.

33

12.A【解析】由已知及平面几何知识可得圆心。]、。2在二「£月的角平分线上.

如图，设圆。1、。2与X轴的切点分别为AB,由平面几何知识可得，直线尸名为两圆的公切线，公切点。

也在NP/花的角平分线上，贝|归周=闺司=2c,

由椭圆的定义知|尸制+|尸耳|=2a,则愿=2a-2c,

:.\F2D\=^\PF2\=a-c,:.\F2A\=\F2B\=\F2D\=a-c,

.,.闺H=闺月|+|月川=2c+a—c=a+c,

闺目=闺司一优同=2c-(«-c)=3c-a.

又圆。1与圆。2的面积之比为9,.•.圆。1与圆。2的半径之比为3,

F.B\O2B\3c-a11

aA,.・.：—=上讶，即—=-,故椭圆c的离心率6=—.

耳A|QA|a+c32

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.240【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有C；=10种方法，

然后将4组学生分配到4个景点，有禺=24种方法，

由分步计数原理知共有10x24=240种不同的游玩方式.

14.—；【解析】由OA+OB+CO=0，得。4+OB=OC，由。为..A5C外接圆的圆心，得

|OA|=|(9B|=|C>C|,如图，结合向量加法的几何意义知，四边形CMGB为菱形，且/C4O=60，故

^ACB=120.故cos(AC,5C)=—g.

15.小【解析】2a+b-2ccosB,2sinA+siiiB=2sinCcosB,

又,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2siiiBcosC+siiiB=0,cosC=--.

2

,CD为，ABC的一条中线，CD=g(C4+CB),

_.21/_2.2,*\31।1।

CD=-\CA+CB'+2CACBj,即7=7l+«2+2xlx«xl--I,解得a=2,或a=—l

(舍).

由余弦定理得AB=c=Va2+b2-2abcosC=)22+12-2xlx2x1-1j=77.

【解析】f\x)=2ca+^^,

令/'(x)=0,得a=

2x

人/、lnx-1,./、4-31nx

令g(x)=3T，则rtg(x)=2.•

4

令g'(%o)=O,则31nx0=4,gplnx0=即XQ=e.

当0cx</时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>x()时，g'(%)<Qg(x)单调递减.

4.1

Y(X)mLg(x°)=T=V=!’

又当xfc)+时，g(x)——8；当时，g(x)-c)+,

••・当0<a<V时，方程a=庄?有两个正根，从而函数/(%)有两个极值点.

6e2x

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第11~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.解：(1)当〃=1时，%=4=4,

当九.2时，％+4a,++4"।=〃•4”,

tZj+4a2++4"-a“_]=(九-1)•4^1,

/!n1

两式相减，得=n.4-(n-l)-4-=40T-(3«+1),

/.an=3〃+l,

显然。i=4也符合上式，

数列｛an｝的通项公式为an=3n+\.

（2）由（1）知------=-------------—=-

q1A+i（3m+1）（3m+4）33m+13m+4

+-----++

ci?a?^^33477103m+13m+4

中-，［J,

3（43m+4j13

解得m<16.

..・正整数加的最大值为15.

18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A

则教师甲获得冠军的概率Pi=P（ABC）+。（施。）+P（A§C）+P（486

=0.4x0.6x0.6+0.6x0.6x0.6+0.4x0.4x0.6+0.4x0.6x0.4=0.552,

则教师乙获得冠军的概率0=1—0=0.448,

.■.\p}-p2\=0.104,J——--^+0.1工0.376，

,।"fl讨

•■•|A-P2|<J--—+0」，

二甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.

（2）易知X的所有取值为-15,0,15,30,

.-.P（X=-15）=0.6x0.4x0.4=0.096,

P（X=0）=0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4+0.4x0.4x0.4=0.352,

p（X=15）=0.4x0.6x0.4+0.4x0.4x0.6+0.6x0.6x0.6=0.408,

P（X=30）=0.4x0.6x0.6=0.144,

则X的分布列为：

X-1501530

P0.0960.3520.4080.144

，E（X）=-15x0.096+0x0.352+15x0.408+30x0.144=9.

19.解：（1）证明：如图，连接AC交于点。，连接E。，

四边形A3CD是正方形，.为AC的中点，

E是Q4的中点，，石。〃。。，

EOu平面EBD,PC<Z平面EBD,PC//平面EBD.

(2)易知ZM,DC,DP两两垂直,

以。为原点，DA,DCDP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则以2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),后(1,0,1).

CB=(2,0,0),=(2,2,-2),PE=(1,0,-1),

设PF=2PB，则C啜!R1.

.•,EF=PF-PE=2(2,2,-2)-(1,0,-1)=(22-1,22,1-22).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

nCB=0,2x=0,/、

则即<2x+2y-2z=。令k1'则"=(°』D

n-PB-0,

n-EF11

cos<n.EF>=

In\\EF\V2x7(2^-l)2+(22)2+(l-21)22A/622-42+1

又直线与平面尸3C的夹角为60，

1解得/J

2A/622-42+123

.\IL=L

\BF2

20.w：(1)根据抛物线概念易知

一直线/垂直于X轴，

.•・不妨设〃［，%)乂(一九)，代入/=2四("〉0),可得闻=p,

:.\MN\=2p.

■-S解得p=2.

OMN=^\OF\\MN\=^X2P=2,

抛物线C的方程为/=4x.

(2)由(1)易知抛物线C的准线方程为x=-l，/(1,0),

设点尸"(%,%),N(9,%)，

当直线/的斜率等于0时，不符合题意；

故可设直线/的方程为：x=ty+l,

联立=4X，消去了得丁―4。—4=0,

x=ty+l,

△=16/+16>0，得teR，

由韦达定理得%+%=%%=-4,

PM_LPN,：.PM-PN=(%+1,%-777)•(%2+1,y2_772)=0,

.•.(%+1)(1+l)+(y1-m)(y2-m)

2

=xlx2+xl+x2+l+y1y2-m(yl+y2)+m

=")+£)+1+x%—制x+%)+疗

(yy)2］「-i

=+：(%+%)2—+1+%%一机(y+%)+加

1。4L」

=1+；［(4，)2+8^+1—4—4mt+m2

=4/-4mt+nt?=(2%-m)2=0,

/.2t=m.

\MN\=A/1+FI弘-y2kA/1+7x4%%=&x,16/+16=4(1+产］

原点。到直线/的距离d=~^T，

Jl+/

「•SOMN=~^|^^H~X-7==X4(1+^2)=2A/2,解得%=±1.

2241+产

/.m=±2.

.,・存在点P(—L±2),符合题目要求.

11Q

21.解：(1)当4=1时，/(x)=—+-+X--,

%%e

.W华+L

X

3

.・.〃1)=2一,八1)=1,

e

3

•••所求切线方程为y-/(l)=(%-l),即y=x+l—_.

e

I1Q

(2)函数/(九)存在零点，等价于方程」竺+—+◎-—=0有正根,

xxe

13

即1皿一厂+1有解，

—a=--------------

33

人lux—x+1—x—21nx—1

令g(x)=^^'n则itg'(x)=」^.

332

令/z(x)=_x_21nx_l,则/f(x)=------,

eex

令〃(％)=——=0,得不=—,

ex3

9A

当0<x<§时，单调递减;

2e

当时，〃(x)>0,&(x)单调递增;

五(x)..及［寺］=l-21n寺，

当X-0+时，a(x)f+8；当Xf+8时，+8,

又立［寺］=l—21n,<0,丸(1)=3_1〉0,

二.存在1<玉<九2，使得/?(%)二人(%2)=。.

33

一再一21n%j-1—0,即［HX］—石+1——InXj,

ee

.,.当0<x<%i时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当药<%<%2时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

当X〉9时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

,31

1%一产+1-1叫

<0'

X1

当X-0+时，g（x）f-8；当Xf+R时，g（x）f（r,

一。v0,即a>0.

••.实数a的取值范围为（0,+"）.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

x=5cosa+