浙江省2020届高考数学模拟试题分类汇编（二模）圆锥曲线解答题

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（二模））圆锥曲线解答题一、解答题1．（浙江省浙北四校2020届高三下学期二模数学试题）已知椭圆，，为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.（1）若，，直线，直线，直线的斜率满足，当取得最大值时，试求直线的方程.（2）若为椭圆上除长轴端点外的任一点，△的内心为Ⅰ，试求线段的取值范围.【答案】（1）直线；（2）.【分析】（1）将，代入求得椭圆方程，设直线，，，，，与椭圆联立，再由韦达定理得到，间的关系，结合题意可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得，进而表示出面积，并利用基本不等式求得其最大值，利用取等条件可得，由此求得直线方程；（2）由焦半径公式可得，，由三角形内心性质可得，根据平面向量的坐标运算可得，则，进而求得，再利用二次函数的性质可求得其取值范围，进而得解.【详解】解：（1）由若，，可得椭圆.设直线，，，，，，由联立可得：，则，，，得，要三点能形成三角形，则必有，，又，，则，点到直线的距离，，当且仅当，即时取“”，此时直线；（2）设，，，，，，则，又由，得，同理现在证明为的内心，则证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，同理：得，代入解得，（)化简得，，得证；又为△的内心，则，，，即，，，.【点睛】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，点到直线的距离公式，基本不等式，三角形内心的向量表示等知识点，考查了转化与化归思想，考查化简求解能力，属于较难题目.2．（浙江省2020届高三下学期4月适应性测试数学试题）已知抛物线和轴上的定点，过抛物线焦点作一条直线交于、两点，连接并延长，交于、两点.（1）求证：直线过定点；（2）求直线与直线最大夹角为，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）当直线、斜率不存在时，可直接求解；当直线、斜率存在时，设直线，，，，，不妨设，联立方程组得，，，，结合可得直线，即可得证；（2）当直线斜率存在时，易证，利用求出最大值即可得解.【详解】（1）证明：由题意知抛物线焦点，当直线斜率不存在时，直线，易得，，则直线，，所以点，，此时直线；当线斜率存在时，设直线，，，，，不妨设，则，化简得，，则，，①当时，则，所以，，点，所以直线，点，直线，则解得点，所以直线；②当时，此时直线，则，结合化简得，此方程有一根为，所以，所以，所以，同理可得，由，，可得，，所以，所以直线，化简得，可得直线过点；综上，直线恒过点；（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，；当直线斜率存在时，，设直线与直线的夹角为，，当且仅当时，等号成立，所以对于直线与直线最大夹角，.【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合运用，考查了运算能力，属于中档题.

3．（浙江省绍兴市嵊州市2020届高三下学期第二次适应性考试数学试题）如图，已知抛物线，设直线经过点且与抛物线相交于两点，抛物线在、两点处的切线相交于点，直线，分别与轴交于、两点.（1）求点的轨迹方程（2）当点不在轴上时，记的面积为，的面积为，求的最小值.【答案】（1）（2）4【分析】（1）首先设出，，利用导数的几何意义求出切线，的方程，联立得到交点的坐标.再设出直线的方程为，代入抛物线，利用根系关系即可得到点的轨迹方程.（2）首先根据切线，的方程得到，，从而得到，.利用弦长公式和点到直线的距离公式得到，从而得到.令，得到，再利用基本不等式即可得到的最值.【详解】（1）因为抛物线，所以，.设，，，.则切线，的方程分别为和.联立解得交点的坐标为:，.设直线的方程为，代入，整理得：，所以，，且.所以，，于是，故点的轨迹方程为.（2）因为切线的方程为，令得到，同理：.所以.又，故.由（1）可知，又点到直线的距离为，所以.所以.令，，则.①当时，，当且仅当时取“”.所以；②当时，，，，当且仅当时取“”.所以；综上所述：的最小值为.【点睛】本题第一问考查轨迹问题，利用导数的几何意义为解题的关键，第二问考查直线与抛物线相交的面积比值问题，利用基本不等式为解题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于难题.4．（浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期第二次教学质量调测数学试题）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段中点，直线交直线于点，为线段的中点，若四边形的面积为，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由离心率得，再把已知点的坐标代入，结合联立后可解得，得椭圆方程；（Ⅱ）设，得点坐标，写出方程，求得点坐标，又可得点坐标，利用斜率相等求出与轴交点的坐标，利用可求得点坐标，从而得直线方程．【详解】（Ⅰ）由题意，解得，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，则，且．因为为线段中点，所以．又，所以直线的方程为．因为令，得即．又，为线段的中点，有．设直线与轴交于，由得：，∴，∴．又，∴，解得：，代入椭圆方程得：，∵，∴，∴直线的方程为．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．由题意中所给两个条件列出关于的两个方程，再结合可求得得椭圆方程，是求椭圆方程的常用方法．本题直线与椭圆相交问题的求解方法主要是考查运算求解能力，关键是设出点坐标为，然后就是求中点坐标，求直线方程，求交点坐标，最后求四边形面积，由面积得出参数值．5．（浙江省杭州市两校2020届高三下学期第二次联考数学试题））已知，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，动点的轨迹为曲线.过轴上一点的直线交曲线于，两点.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明：存在唯一的一点，使得为常数，并确定点的坐标.【答案】（1）（2）证明见解析；.【分析】（1）根据题意，画出几何图形，设，由几何关系可知，结合点的坐标即可求得的关系，化简即可求得曲线的轨迹方程；（2）由点在轴上，可设，设出过点的直线方程为，联立抛物线方程，并由两点间距离公式表示出，并代入中化简即可求得常数的值，即可确定点的坐标.【详解】（1）根据题意可知，，点在轴上，点在轴上，且，，画出几何关系如下图所示：设，为中点，因为在轴上，所以点的横坐标为，由等腰三角形三线合一可知，即，展开化简可得，所以曲线的轨迹方程为.（2）证明：点为轴上一点，设，则过点的直线方程为，交抛物线于，两点.则，化简变形可得，所以，由两点间距离公式可得，，所以将代入化简可得，所以当时为常数，且，此时.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，抛物线中直线过定点问题的解法，直线与抛物线位置关系的综合应用，计算量大，是高考的常考点和难点，属于难题.6．（浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题）已知抛物线上一点到焦点的距离为，过作两条互相垂直的直线和，其中斜率为与抛物线交于A，B，与y轴交于C，点Q满足：（1）求抛物线的方程；（2）求三角形PQC面积的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据抛物线定义，到焦点的距离等于到其准线的距离，求得抛物线方程；（2）应用设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式，将点的纵坐标均用表示出来，再表示出，从而表示出三角形的面积，再求最值.【详解】解：（1）抛物线化为标准方程为：，其准线为，则，得,故抛物线的方程为.（2）由题,，则，设，则，得，则，.由,则,得,,则,得,故,得又,,则,,又,令，则则在递减，在递增，故当时，的最小值为，故三角形PQC面积的最小值为【点睛】本题考查了抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式化简等常用技巧，表示出三角形的面积公式后，表达式较复杂，可利用导数工具求最值.

7．（2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试（二模）数学试题）已知椭圆的焦点的距离为，过且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若存在实数，使得经过相异两点和的直线交椭圆所得弦的中点恰为点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据题意得到，解得答案.（Ⅱ）计算直线的方程，联立方程得到，利用点差法得到，故，，变换得到，解得答案.【详解】（Ⅰ）根据题意：，，即，解得，故，椭圆的方程为.（Ⅱ）过、两点的直线的斜率为，直线的方程，代入可得，整理可得，依题意，即.①若设直线交椭圆于点，，则依题意有，经整理可得，，即.②由题意，故由②可知，再结合①可知：若，，则，不成立；故，，将②代入①消去，可得，再次将②代入①，可得，即.又，，故解得.【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.8．（2020届浙江省台州市高三下学期4月教学质量评估数学试题）如图，已知椭圆：（）的离心率为，并以抛物线：的焦点为上焦点.直线：（）交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，两切线相交于点，又点恰好在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）求的最大值；（3）求证：点恒在的外接圆内.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1）由条件有，即，由离心率可得，然后可求出，得到椭圆方程.

(2)设，,将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，：求出直线的方程，同理可得：，可得到，根据点在椭圆，得到，利用均值不等式可到答案.

(3)因为过原点，所以可设的外接圆方程为,将，坐标代入圆的方程，求出，将点代入外接圆方程可得，从而可证.【详解】（1）解：由已知得，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，，由直线：（）与抛物线：方程联立可得，所以因为，所以：，即：，同理可得：，由直线的方程与直线的方程联立有，可得将代入直线可得所以，即，因为点在椭圆上，所以，即.因为，所以当，时，取得最大值.（3）证法：因为过原点，所以可设的外接圆方程为，由已知可得故，所以，将点代入外接圆方程可得，因为，所以，所以点恒在的外接圆内.证法二：设的外心为，由已知可得的中垂线为，即，同理的中垂线为，联立可得所以，又因为，，所以，所以点恒在的外接圆内.【点睛】本题考查求椭圆的方程，抛物线的切线问题和椭圆、抛物线中的最值问题，圆与点的位置关系的证明，属于难题.

9．（2020届浙江省嘉兴市高三下学期5月教学测试数学试题）设点为抛物线上的动点，是抛物线的焦点，当时，．（1）求抛物线的方程；（2）过点作圆：的切线，，分别交抛物线于点．当时，求面积的最小值．【答案】（1）（2）最小值．【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得值，进而得到抛物线方程；（2）设过点的切线为，利用圆心到直线的距离等于半径得到，化简并借助韦达定理，可得，，设，则直线，与抛物线联立，再由根与系数的关系可得，同理，再设直线，利用弦长公式求弦长，由点到直线距离公式求到直线的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式和二次函数求最小值.【详解】（1）当时，，所以，故所求抛物线方程为.（2）点为抛物线上的动点，则，设过点的切线为，则，得，是方程（*）式的两个根，所以，，设，因直线，与抛物线交于点A，则得，所以，即，同理，设直线，则，，又，，所以令，，当且仅当，即时，取得最小值.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算的思想方法，考查计算能力，属于难题.10．（2020届浙江省杭州市建人高复高三下学期4月模拟测试数学试题）已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；【答案】（1）或；（2）【分析】(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出的弦长，再结合已知条件以为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积；(2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】（1）设直线联立直线与抛物线方程得：易得：直线与之间的距离为令，可得所以该正方形的边长为或面积为或；（2）设，（由对称性不妨设）则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则两条切线交点P于是当时取到等号所以该三角形面积的最小值为【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.

11．（2020届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测数学试题）如图，设抛物线方程为(p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB与轴的交点坐标；（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为2【分析】（1）设，，求导后可得直线的方程与直线方程，联立方程组可得，写出直线的方程为，令即可得解；（2）设点，联立方程组可得，，进而可得，设，记，表示出各三角形面积后，即可得解.【详解】（1）设，，抛物线方程可变为，所以，所以，，直线的方程为，直线方程为，则解得，，又，所以直线的方程为，化简得，令，，又，所以，所以直线AB与轴的交点坐标为.（2）记，设点，可得直线的方程为，由可得，同理，所以，所以，同理，所以，设，记，则，，，，，于是，所以，所以.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.12．（2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题）点是抛物线内一点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于，且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使？【答案】（1）（2）存在常数，使得使【分析】（1）由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，且三点共线时的最小值为2可得的值.进而求出抛物线的方程.（2）由（1）可得的坐标，求导可得在处的切线方程，设动准线的方程与在处的切线方程联立求出交点的坐标，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出和的表达式，进而求出，假设存在满足条件，因为为常数，所以可得的值.【详解】（1）抛物线的准线方程为：，因为点在抛物线内部，过作垂直于准线交于，抛物线于，由抛物线的性质可得，当且仅当，三点共线时最小，即，即，解得：，所以抛物线的方程为：；（2）有题意在抛物线上，所以，所以，即，因为，所以，所以在处的斜率为：，所以在处的切线方程为：，即，设直线的方程：，且，联立与切线方程：，解得：，即，设，假设存在值满足条件，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，即，，，，同理可得：，所以，所以，所以，所以存在常数，使得使.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查探究性问题的求解，考查运算求解，属于难题.13．（2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试数学试题）如图，已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过F的两条动直线AB，CD与抛物线交出A、B、C、D四点，直线AB，CD的斜率存在且分别是k1（k1＞0），k2．（Ⅰ）若直线BD过点（