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文档简介
(浙江省2020届高考模拟试题汇编(二模))圆锥曲线解答题一、解答题1.(浙江省浙北四校2020届高三下学期二模数学试题)已知椭圆,,为其左、右焦点,椭圆上有相异两点,,为坐标原点.(1)若,,直线,直线,直线的斜率满足,当取得最大值时,试求直线的方程.(2)若为椭圆上除长轴端点外的任一点,△的内心为Ⅰ,试求线段的取值范围.【答案】(1)直线;(2).【分析】(1)将,代入求得椭圆方程,设直线,,,,,与椭圆联立,再由韦达定理得到,间的关系,结合题意可得,由弦长公式可得,由点到直线的距离公式可得,进而表示出面积,并利用基本不等式求得其最大值,利用取等条件可得,由此求得直线方程;(2)由焦半径公式可得,,由三角形内心性质可得,根据平面向量的坐标运算可得,则,进而求得,再利用二次函数的性质可求得其取值范围,进而得解.【详解】解:(1)由若,,可得椭圆.设直线,,,,,,由联立可得:,则,,,得,要三点能形成三角形,则必有,,又,,则,点到直线的距离,,当且仅当,即时取“”,此时直线;(2)设,,,,,,则,又由,得,同理现在证明为的内心,则证明:分别为方向上的单位向量,平分,),同理:得,代入解得,()化简得,,得证;又为△的内心,则,,,即,,,.【点睛】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质,弦长公式,点到直线的距离公式,基本不等式,三角形内心的向量表示等知识点,考查了转化与化归思想,考查化简求解能力,属于较难题目.2.(浙江省2020届高三下学期4月适应性测试数学试题)已知抛物线和轴上的定点,过抛物线焦点作一条直线交于、两点,连接并延长,交于、两点.(1)求证:直线过定点;(2)求直线与直线最大夹角为,求.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)当直线、斜率不存在时,可直接求解;当直线、斜率存在时,设直线,,,,,不妨设,联立方程组得,,,,结合可得直线,即可得证;(2)当直线斜率存在时,易证,利用求出最大值即可得解.【详解】(1)证明:由题意知抛物线焦点,当直线斜率不存在时,直线,易得,,则直线,,所以点,,此时直线;当线斜率存在时,设直线,,,,,不妨设,则,化简得,,则,,①当时,则,所以,,点,所以直线,点,直线,则解得点,所以直线;②当时,此时直线,则,结合化简得,此方程有一根为,所以,所以,所以,同理可得,由,,可得,,所以,所以直线,化简得,可得直线过点;综上,直线恒过点;(2)由(1)知,当直线斜率不存在时,;当直线斜率存在时,,设直线与直线的夹角为,,当且仅当时,等号成立,所以对于直线与直线最大夹角,.【点睛】本题考查了抛物线与直线的综合运用,考查了运算能力,属于中档题.
3.(浙江省绍兴市嵊州市2020届高三下学期第二次适应性考试数学试题)如图,已知抛物线,设直线经过点且与抛物线相交于两点,抛物线在、两点处的切线相交于点,直线,分别与轴交于、两点.(1)求点的轨迹方程(2)当点不在轴上时,记的面积为,的面积为,求的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】(1)首先设出,,利用导数的几何意义求出切线,的方程,联立得到交点的坐标.再设出直线的方程为,代入抛物线,利用根系关系即可得到点的轨迹方程.(2)首先根据切线,的方程得到,,从而得到,.利用弦长公式和点到直线的距离公式得到,从而得到.令,得到,再利用基本不等式即可得到的最值.【详解】(1)因为抛物线,所以,.设,,,.则切线,的方程分别为和.联立解得交点的坐标为:,.设直线的方程为,代入,整理得:,所以,,且.所以,,于是,故点的轨迹方程为.(2)因为切线的方程为,令得到,同理:.所以.又,故.由(1)可知,又点到直线的距离为,所以.所以.令,,则.①当时,,当且仅当时取“”.所以;②当时,,,,当且仅当时取“”.所以;综上所述:的最小值为.【点睛】本题第一问考查轨迹问题,利用导数的几何意义为解题的关键,第二问考查直线与抛物线相交的面积比值问题,利用基本不等式为解题的关键,同时考查了学生的计算能力,属于难题.4.(浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期第二次教学质量调测数学试题)已知椭圆的离心率为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设椭圆的上、下顶点分别为,点是椭圆上异于的任意一点,轴,为垂足,为线段中点,直线交直线于点,为线段的中点,若四边形的面积为,求直线的方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由离心率得,再把已知点的坐标代入,结合联立后可解得,得椭圆方程;(Ⅱ)设,得点坐标,写出方程,求得点坐标,又可得点坐标,利用斜率相等求出与轴交点的坐标,利用可求得点坐标,从而得直线方程.【详解】(Ⅰ)由题意,解得,所以椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设,则,且.因为为线段中点,所以.又,所以直线的方程为.因为令,得即.又,为线段的中点,有.设直线与轴交于,由得:,∴,∴.又,∴,解得:,代入椭圆方程得:,∵,∴,∴直线的方程为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交问题.由题意中所给两个条件列出关于的两个方程,再结合可求得得椭圆方程,是求椭圆方程的常用方法.本题直线与椭圆相交问题的求解方法主要是考查运算求解能力,关键是设出点坐标为,然后就是求中点坐标,求直线方程,求交点坐标,最后求四边形面积,由面积得出参数值.5.(浙江省杭州市两校2020届高三下学期第二次联考数学试题))已知,点在轴上,点在轴上,且,,当点在轴上运动时,动点的轨迹为曲线.过轴上一点的直线交曲线于,两点.(1)求曲线的轨迹方程;(2)证明:存在唯一的一点,使得为常数,并确定点的坐标.【答案】(1)(2)证明见解析;.【分析】(1)根据题意,画出几何图形,设,由几何关系可知,结合点的坐标即可求得的关系,化简即可求得曲线的轨迹方程;(2)由点在轴上,可设,设出过点的直线方程为,联立抛物线方程,并由两点间距离公式表示出,并代入中化简即可求得常数的值,即可确定点的坐标.【详解】(1)根据题意可知,,点在轴上,点在轴上,且,,画出几何关系如下图所示:设,为中点,因为在轴上,所以点的横坐标为,由等腰三角形三线合一可知,即,展开化简可得,所以曲线的轨迹方程为.(2)证明:点为轴上一点,设,则过点的直线方程为,交抛物线于,两点.则,化简变形可得,所以,由两点间距离公式可得,,所以将代入化简可得,所以当时为常数,且,此时.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,抛物线中直线过定点问题的解法,直线与抛物线位置关系的综合应用,计算量大,是高考的常考点和难点,属于难题.6.(浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题)已知抛物线上一点到焦点的距离为,过作两条互相垂直的直线和,其中斜率为与抛物线交于A,B,与y轴交于C,点Q满足:(1)求抛物线的方程;(2)求三角形PQC面积的最小值.【答案】(1);(2)【分析】(1)根据抛物线定义,到焦点的距离等于到其准线的距离,求得抛物线方程;(2)应用设而不解,联立方程组,根与系数的关系,以及向量式,将点的纵坐标均用表示出来,再表示出,从而表示出三角形的面积,再求最值.【详解】解:(1)抛物线化为标准方程为:,其准线为,则,得,故抛物线的方程为.(2)由题,,则,设,则,得,则,.由,则,得,,则,得,故,得又,,则,,又,令,则则在递减,在递增,故当时,的最小值为,故三角形PQC面积的最小值为【点睛】本题考查了抛物线定义,直线与抛物线的位置关系,考查了设而不解,联立方程组,根与系数的关系,以及向量式化简等常用技巧,表示出三角形的面积公式后,表达式较复杂,可利用导数工具求最值.
7.(2020届浙江省宁波市高三下学期高考适应性考试(二模)数学试题)已知椭圆的焦点的距离为,过且垂直于轴的直线交椭圆于两点,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若存在实数,使得经过相异两点和的直线交椭圆所得弦的中点恰为点,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)根据题意得到,解得答案.(Ⅱ)计算直线的方程,联立方程得到,利用点差法得到,故,,变换得到,解得答案.【详解】(Ⅰ)根据题意:,,即,解得,故,椭圆的方程为.(Ⅱ)过、两点的直线的斜率为,直线的方程,代入可得,整理可得,依题意,即.①若设直线交椭圆于点,,则依题意有,经整理可得,,即.②由题意,故由②可知,再结合①可知:若,,则,不成立;故,,将②代入①消去,可得,再次将②代入①,可得,即.又,,故解得.【点睛】本题考查了椭圆方程,求参数范围,意在考查学生的计算能力和应用能力,利用点差法是解题的关键.8.(2020届浙江省台州市高三下学期4月教学质量评估数学试题)如图,已知椭圆:()的离心率为,并以抛物线:的焦点为上焦点.直线:()交抛物线于,两点,分别以,为切点作抛物线的切线,两切线相交于点,又点恰好在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)求的最大值;(3)求证:点恒在的外接圆内.【答案】(1);(2);(3)见解析【分析】(1)由条件有,即,由离心率可得,然后可求出,得到椭圆方程.
(2)设,,将直线方程与抛物线方程联立,写出韦达定理,:求出直线的方程,同理可得:,可得到,根据点在椭圆,得到,利用均值不等式可到答案.
(3)因为过原点,所以可设的外接圆方程为,将,坐标代入圆的方程,求出,将点代入外接圆方程可得,从而可证.【详解】(1)解:由已知得,所以,又因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)设,,由直线:()与抛物线:方程联立可得,所以因为,所以:,即:,同理可得:,由直线的方程与直线的方程联立有,可得将代入直线可得所以,即,因为点在椭圆上,所以,即.因为,所以当,时,取得最大值.(3)证法:因为过原点,所以可设的外接圆方程为,由已知可得故,所以,将点代入外接圆方程可得,因为,所以,所以点恒在的外接圆内.证法二:设的外心为,由已知可得的中垂线为,即,同理的中垂线为,联立可得所以,又因为,,所以,所以点恒在的外接圆内.【点睛】本题考查求椭圆的方程,抛物线的切线问题和椭圆、抛物线中的最值问题,圆与点的位置关系的证明,属于难题.
9.(2020届浙江省嘉兴市高三下学期5月教学测试数学试题)设点为抛物线上的动点,是抛物线的焦点,当时,.(1)求抛物线的方程;(2)过点作圆:的切线,,分别交抛物线于点.当时,求面积的最小值.【答案】(1)(2)最小值.【分析】(1)利用抛物线的焦半径公式求得值,进而得到抛物线方程;(2)设过点的切线为,利用圆心到直线的距离等于半径得到,化简并借助韦达定理,可得,,设,则直线,与抛物线联立,再由根与系数的关系可得,同理,再设直线,利用弦长公式求弦长,由点到直线距离公式求到直线的距离,代入三角形面积公式,换元后利用基本不等式和二次函数求最小值.【详解】(1)当时,,所以,故所求抛物线方程为.(2)点为抛物线上的动点,则,设过点的切线为,则,得,是方程(*)式的两个根,所以,,设,因直线,与抛物线交于点A,则得,所以,即,同理,设直线,则,,又,,所以令,,当且仅当,即时,取得最小值.【点睛】本题考查抛物线方程的求法,考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用,考查整体运算的思想方法,考查计算能力,属于难题.10.(2020届浙江省杭州市建人高复高三下学期4月模拟测试数学试题)已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点(1)若在直线上,且使得以为顶点的四边形恰为正方形,求该正方形的面积.(2)求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值;【答案】(1)或;(2)【分析】(1)联解直线方程和抛物线方程,可求出的弦长,再结合已知条件以为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长,从而可求得面积;(2)分别求出切线方程,由切线方程求出交点坐标,代入三角形的面积公式,利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】(1)设直线联立直线与抛物线方程得:易得:直线与之间的距离为令,可得所以该正方形的边长为或面积为或;(2)设,(由对称性不妨设)则处的切线方程为:,与直线交点记为M,则则处的切线方程为:,与直线交点记为N,则两条切线交点P于是当时取到等号所以该三角形面积的最小值为【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系求弦长,求过点的切线方程,利用基本不等式求最小值,考查了学生的计算能力,属于较难题.
11.(2020届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测数学试题)如图,设抛物线方程为(p>0),M为直线上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求直线AB与轴的交点坐标;(2)若E为抛物线弧AB上的动点,抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA,MB分别交于点,,记,问是否为定值?若是求出该定值;若不是请说明理由.【答案】(1)(2)是定值,定值为2【分析】(1)设,,求导后可得直线的方程与直线方程,联立方程组可得,写出直线的方程为,令即可得解;(2)设点,联立方程组可得,,进而可得,设,记,表示出各三角形面积后,即可得解.【详解】(1)设,,抛物线方程可变为,所以,所以,,直线的方程为,直线方程为,则解得,,又,所以直线的方程为,化简得,令,,又,所以,所以直线AB与轴的交点坐标为.(2)记,设点,可得直线的方程为,由可得,同理,所以,所以,同理,所以,设,记,则,,,,,于是,所以,所以.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算能力,属于中档题.12.(2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题)点是抛物线内一点,是抛物线的焦点,是抛物线上任意一点,且已知的最小值为2.(1)求抛物线的方程;(2)抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于,且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使?【答案】(1)(2)存在常数,使得使【分析】(1)由抛物线的性质,到焦点的距离等于到准线的距离,且三点共线时的最小值为2可得的值.进而求出抛物线的方程.(2)由(1)可得的坐标,求导可得在处的切线方程,设动准线的方程与在处的切线方程联立求出交点的坐标,直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出和的表达式,进而求出,假设存在满足条件,因为为常数,所以可得的值.【详解】(1)抛物线的准线方程为:,因为点在抛物线内部,过作垂直于准线交于,抛物线于,由抛物线的性质可得,当且仅当,三点共线时最小,即,即,解得:,所以抛物线的方程为:;(2)有题意在抛物线上,所以,所以,即,因为,所以,所以在处的斜率为:,所以在处的切线方程为:,即,设直线的方程:,且,联立与切线方程:,解得:,即,设,假设存在值满足条件,联立直线与抛物线的方程:,整理可得:,即,,,,同理可得:,所以,所以,所以,所以存在常数,使得使.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系,考查探究性问题的求解,考查运算求解,属于难题.13.(2020届浙江省金华十校高三下学期4月模拟考试数学试题)如图,已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过F的两条动直线AB,CD与抛物线交出A、B、C、D四点,直线AB,CD的斜率存在且分别是k1(k1>0),k2.(Ⅰ)若直线BD过点(
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