微专题21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究(原卷版+解析)

微专题21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究秒杀总结1、基本思路（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.2.技巧总结（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.典型例题例1．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知椭圆经过两点，.(1)求椭圆C的方程：(2)A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.例2．（2023·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．例3.（2023·山西晋中·模拟预测（理））已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过椭圆右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交于点，交于点，线段与的中点分别为．判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．例4．（2023·四川省泸县第一中学二模（理））已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.(1)求的值；(2)如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.例5．（2023·重庆实验外国语学校一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．例6．（2023·四川·成都七中二模（理））在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．（1）求的顶点的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．过关测试1．（2023·全国·模拟预测（理））已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.2．（2023·辽宁·一模）已知点，在抛物线上，，分别为过点A，B且与抛物线E相切的直线，，相交于点．条件①：点M在抛物线E的准线上；条件②：；条件③：直线AB经过抛物线的焦点F．(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；(2)若，直线与抛物线E交于C、D两点，试问：在x轴正半轴上是否存在一点N，使得的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不存在，请说明理由3．（2023·江西赣州·一模（理））在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.4．（2023·广东·高三阶段练习）已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.6．（2023·天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆过点，两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.7．（2023·福建三明·高三期末）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．(1)求C的方程；(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．（2023·陕西商洛·一模（理））已知椭圆C：的左､右焦点分别为（-c，0），（c，0），点A（0，b）满足(1)求C的方程.(2)设过的直线，的斜率分别为，，且，与C交于点D，E，与C交于点G，H，线段DE与GH的中点分别为M，N.判断直线MN是否过定点.若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.10．（2023·江西·模拟预测（理））如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.(1)当且时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.11．（2023·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.12．（2023·云南·一模（理））在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.(1)求动点的轨迹方程；(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.13．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.(1)求C的方程.(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.14．（2023·黑龙江实验中学模拟预测（理））圆的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左顶点和右顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在定点，对任意过点的直线（在椭圆上且异于两点），都有.若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.15．（2023·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.16．（2023·福建·模拟预测）已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2023·安徽六安·一模（理））已知椭圆的左右焦点分别是，，右顶点和上顶点分别为，，的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.微专题21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究秒杀总结1、基本思路（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.2.技巧总结（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.典型例题例1．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知椭圆经过两点，.(1)求椭圆C的方程：(2)A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.答案:(1)(2)点P的横坐标与点H的横坐标之积为定值，定值为4解析：分析：（1）将两点代入椭圆方程解方程求出的值，确定椭圆方程（2）设PA与PB直线与椭圆联立，求出E、F两点的坐标表达式，写出直线EF方程，求出与x轴的交点H点的坐标，联立两条直线求出P点的坐标，计算乘积判断是否为定值(1)将点坐标代入椭圆方程得：，解得：，所以椭圆方程为(2)根据圆方程为可知，为圆的直径，点在圆上，所以，设直线方程为：，联立得：，所以，所以，代入直线得：；同理设直线方程为：，联立得：，则，所以，，所以，直线的方程为：，令得：，联立直线，得：，所以，所以点P的横坐标与点H的横坐标之积为定值，定值为4例2．（2023·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)；(2)存在，.解析：分析：（1）分析可知，可得出椭圆的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线，设点、、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用斜率公式结合韦达定理求出的值，即可得出结论.(1)解：（1）因为，所以，，即，所以，又点在椭圆上，、，且由椭圆定义得，则，，则椭圆的标准方程为.(2)解：假设存在定点满足要求，因为直线斜率不为零，所以设直线，设点、、，联立可得，则，由韦达定理可得，，因为直线平分，则，即，，整理得，，由于，，所以存在满足要求．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.例3.（2023·山西晋中·模拟预测（理））已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过椭圆右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交于点，交于点，线段与的中点分别为．判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．答案:(1)；(2)直线过定点.解析：分析：（1）根据题意可求出，即可求出答案.（2）把直线与分别与椭圆进行联立得到点的坐标，再分情况讨论直线斜率存在和不存在，再利用，即可得到答案.(1)设右焦点，，由题知求得，，，所以椭圆C的标准方程为．(2)设，，联立直线与椭圆C的方程得消去y得，，由根与系数的关系知，则，代入直线的方程得，所以，同理得．①当直线MN的斜率存在时，设直线，将点M，N的坐标代入直线，得易知，为方程的两个根，由根与系数的关系知，由题知，所以，得，所以直线，所以直线MN过定点．②当直线MN的斜率不存在时，，即，所以，且．不妨设，，所以，即直线，满足过定点．综上，直线MN过定点．例4．（2023·四川省泸县第一中学二模（理））已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.(1)求的值；(2)如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.答案:(1)；(2)证明见解析.解析：分析：（1）将代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，即可解得正数的值；（2）将代入，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点的坐标，分、两种情况讨论，在时，推导出、、重合，可得出；在时，求出的中点的坐标，利用斜率关系可得出，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.(1)解：将代入得，设、，则，由韦达定理可得，则，解得或（舍），故.(2)解：将代入中得，设、，则，由韦达定理可得，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，①同理抛物线在点处的切线方程为，②联立①②得，所以，所以点的坐标为，当时，即切线与交于轴上一点，此时、、重合，由，则，又，则存在使得成立；当时，切线与轴交于点，切线与轴交于点，由，得的中点，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在实数使得成立.综上，命题成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.例5．（2023·重庆实验外国语学校一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．答案:(1)椭圆的方程，抛物线的方程为(2)存在直线l，方程为或者．解析：分析：（1）由焦点三角形周长，通径和椭圆的关系式可求，进而求解，；（2）设l的方程为，设、、、，联立直线与抛物线方程，得出关于的韦达定理，再通过直线方程联立椭圆方程求出，结合正弦面积公式进一步化简即可求解.(1)由题意得，解得，所以椭圆的方程，抛物线的方程为；(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，设、、、，由，得，∵，∴，∵，∴直线的斜率为，即直线的方程为，由，得，同理可得，，∴，得，所以存在直线l，方程为或者．例6．（2023·四川·成都七中二模（理））在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且．（1）求的顶点的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围．答案:（1）；（2）.解析：【详解】试题分析：（1）动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成的等式，可利用直接法求轨迹方程；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）设点坐标为因为为的重心故点坐标为2分由得，即的顶点的轨迹的方程是（2）设直线的两交点为联立：消去得：且因为四边形为平行四边形，所以线段的中点即为线段的中点，所以点的坐标为，整理得由点在椭圆上，所以,整理得将（2）代入（1）得，由（2）得或，所以的取值范围为.考点：1、求轨迹方程；2、直线与椭圆的综合问题.过关测试1．（2023·全国·模拟预测（理））已知圆与x轴交于A，B两点，动点P满足直线与直线的斜率之乘积为.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点的直线l与曲线E交于M，N两点，则在x轴上是否存在定点Q，使得的值为定值？若存在，求出点Q的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.答案:(1)，；(2)存在点使得为定值，理由见解析；解析：分析：（1）设出动点，利用直接法求解轨迹方程；（2）先求出直线l斜率为0时不合题意，得到直线斜率不等于0，从而设出直线l的方程，联立第一问求出的轨迹方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，设出，求解，化简整理得到，从而得到存在点使得为定值.(1)令得：，不妨设，，则，整理得：，；动点P的轨迹方程E为，；(2)存在点，使得为定值，理由如下：当直线l斜率为0时，则直线l为，此时与，无交点，故不合题意，舍去，即直线l斜率不为0设，直线l设为，则与，联立得：，设，则，所以当即时，为定值，即存在点使得为定值；综上：存在点使得为定值.【点睛】圆锥曲线上是否存在点使某些量为定值的题目，经常考察，一般题目计算量大，且变量多，此时要抓住核心不变量，进行化简整理，主要方法是分离常数法，配方法等，本题中，将化简整理为是解题的关键所在.2．（2023·辽宁·一模）已知点，在抛物线上，，分别为过点A，B且与抛物线E相切的直线，，相交于点．条件①：点M在抛物线E的准线上；条件②：；条件③：直线AB经过抛物线的焦点F．(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并证明该命题成立；(2)若，直线与抛物线E交于C、D两点，试问：在x轴正半轴上是否存在一点N，使得的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不存在，请说明理由答案:(1)答案见解析(2)存在，解析：分析：（1）求导写出点A，B处的切线方程，写出准线方程及焦点坐标，若选择①作为条件，设出点M的坐标，表示出直线AB联立抛物线证明；若选择②作为条件，先求出，进而证明；若选择③作为条件，设出直线AB联立抛物线证明.（2）假设存在，求出于CD的中垂线联立抛物线先解出外心坐标，再去反推点N的坐标.(1)由题意，抛物线化为，则，则的切线斜率，所以的方程为，将代入，化简整理得同理可得的方程为抛物线的准线为，焦点F的坐标为若选择①作为条件，②③作为结论，证明如下：因为点M在抛物线E的准线上，可设点M的坐标为，又，相交于点M，所以，点A，B坐标满足方程，即，直线AB的方程为，进而直线AB经过抛物线的焦点，③得证又，消去y整理得，所以设直线、的斜率分别为，，有，所以，②得证.若选择②作为条件，①③作为结论，证明如下：因为，设直线、的斜率分别为，，有，即又，相交于点M，所以，解得，所以点M在抛物线E的准线上，①得证设点M的坐标为，所以，点A，B的坐标满足方程，即直线AB的方程为，进而直线AB经过抛物线的焦点，③得证.若选择③作为条件，①②作为结论，证明如下：直线AB经过抛物线的焦点F，设直线AB的方程为，所以消去y整理得，所以，设直线、的斜率分别为，，有，所以，②得证又，相交于点M，所以，解得，所以点M在抛物线E的准线上，①得证.(2)假设存在点，由，可得，所以，，设线段CD的中点为，则，，进而线段CD的中垂线方程为，即，联立，得，解得或4，从而的外心的坐标为或，又，，若Q的坐标为，所以，则因为，所以若Q的坐标为，，则，则Q的坐标不可能为，故在x轴的正半轴上存在一点，使得的外心在抛物线E上.【点睛】本题关键点在于假设点的存在，求出的中垂线方程，联立抛物线求出外心坐标，再通过到三角形顶点距离相等解出点的坐标即可.3．（2023·江西赣州·一模（理））在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.答案:(1)证明见解析，(2)存在，解析：分析：（1）依据两圆相内切的性质去证明为定值，依据椭圆的定义去求点P的轨迹E的方程；（2）依据设而不求的方法去保证、为等腰三角形的两腰，且点Q在E上即可解决.(1)依题意有，连结，由点O和T分别是和的中点知，故有，即又，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆因为，，所以，故点P的轨迹E的方程为(2)假设存在满足条件的点Q，依题意知，设，，，则，由得，，设l的方程为，代入椭圆方程得，.由得，，由韦达定理得，，，又，，所以所以故有，解得，显然满足所以在E上存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是以点Q为顶角的等腰三角形，此时点Q的横坐标为【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。4．（2023·广东·高三阶段练习）已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案:(1)；(2)存在，，理由见解析解析：分析：（1）先把代入直线方程，求出，根据离心率和求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，求出点P的坐标，表达出直线的斜率，再使用二倍角公式及直线NF的斜率表达出直线的斜率，从而得到等式，求出，得到的关系，得到的值.(1)因为右焦点在直线上，所以所以椭圆的方程为(2)存在，，理由如下：因为，设.显然.可设直线的方程为，因为点在这条直线上，则联立，得的两根为，

设则

，因为，所以.故存在常数，使得【点睛】对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案.5．（2023·四川泸州·二模（理））已知椭圆C：的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，探究直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.答案:(1)；(2)直线l过定点，理由见解析.解析：分析：（1）列出方程组，求出的值，求出椭圆方程；（2）设出直线l的方程，联立后得到两根之和，两根之积，由斜率关系得到方程，化简后得到，进而求出直线所过定点.(1)由题意得：，且，解得：，，所以椭圆方程为：.(2)直线l过定点，理由如下：由（1）得：，，设，联立椭圆方程得：，设，，则，，则，，由，化简得：，将，代入得：，由于不恒为0，所以，解得：，故过定点.【点睛】这道题目的难点是在根据斜率关系得到的方程时，通过整理不能整理出两根之和的对称形式，此时要适当的进行整理，通过凑出对称式，因式分解求出的关系或者的值，进而求出直线所过的定点6．（2023·天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆过点，两点，O为坐标原点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.答案:(1)(2)存在，圆的方程为，解析：分析：（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）根据特殊点求得可能符合题意的圆的方程，然后证明这个圆上所有点的切线都符合，从而求得所求圆的方程.利用弦长公式，结合二次函数的性质求得的取值范围.(1)依题意椭圆过点，两点，所以，解得，所以椭圆的方程为.(2)椭圆的方程为，则，假设存在符合题意的圆，且圆的半径为，则，圆的方程为.当切点为时，直线的方程为，由于，而，所以三角形是等腰直角三角形，不妨设，代入得，可得，，.当切点为时，同理可求得，，.故猜想所求圆的方程为.当的斜率存在时，设直线，则即.设，由可得，故，，故,故.此时令，则，因为，故，所以.当猜测过程可得当的斜率不存在时也满足且，综上所述，的取值范围是.【点睛】本题的难点在于第二问的联立切线的方程和椭圆的方程，不管是计算，还是计算弦长，都需要很强的运算能力.在运算过程中，要细心、准确.另外还要注意切线的斜率是否存在、是否为零这样的一些特殊的情形.7．（2023·福建三明·高三期末）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)；(2)存在，N（0，1）.解析：分析：（1）根据焦距求出c，再将点P的坐标代入椭圆方程，进而求得答案；（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据得到点N在以AB为直径的圆上，得到，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题.(1)由焦距为2得，又因为P（，－）在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以椭圆C的方程为：．(2)假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，设N（0，），A（，），B（，）.①当直线l的斜率存在时，设l：，由整理得，，，．因为，所以，而点M为线段AB的中点，所以，则点N在以AB为直径的圆上，即．因为，所以，∴解得，即存在N（0，1）满足题意.②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.综上，存在定点N（0，1），使得恒成立.【点睛】本题需要解决两个问题：首先，说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．(1)求C的方程；(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案:(1)(2)存在，解析：分析：（1）根据F到渐近线的距离为，可求得b，再根据渐近线方程可求得a,，即得双曲线方程；（2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出点M，N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式代入，看能否解出参数t的值，即可得答案.(1)双曲线一条渐近线方程为，焦点，则焦点到准线的距离，由F到渐近线的距离为可知：，由渐近线方程为知：，故，所以双曲线方程为：；(2)设直线l的方程为，联立，整理得：，设，而,则，所以，，假设存在实数t，使得，则,故由方程：,令得，同理方程：,令得，所以，即，则，即，解得，故存在实数，使得.【点睛】本题考查了直线和双曲线的相交问题，涉及到求双曲线方程性质以及和直线的交点等问题，还渗透了向量的应用，比较复杂，这类问题的一般解决思路，是设直线方程，然后联立圆锥曲线方程，得到根与系数的关系，然后利用所给条件得到一个关系式，将根与系数的关系代入整理化简，其中关于字母的运算量大，需要细心耐心对待.9．（2023·陕西商洛·一模（理））已知椭圆C：的左､右焦点分别为（-c，0），（c，0），点A（0，b）满足(1)求C的方程.(2)设过的直线，的斜率分别为，，且，与C交于点D，E，与C交于点G，H，线段DE与GH的中点分别为M，N.判断直线MN是否过定点.若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.答案:(1)(2)过定点，定点为解析：分析：（1）写出，根据平方结合可得，从而和；（2）分类讨论直线MN的斜率是否存在，分别联立椭圆与直线的方程以及联立椭圆与直线的方程，解得，，直线MN的方程为将点M，N的坐标代人直线MN的方程，结合，解得.所以求出直线MN过定点.(1)，由得，由两边平方且，解得，从而.所以，C的方程为(2)易知，设联立方程组消去y，得由根与系数的关系知，则把代入直线的方程得，即同理可得①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为将点M，N的坐标代人直线MN的方程，易知，k2为方程的两个不等根，且由题，所以，解得所以MN的方程为，所以直线MN过定点（，0），②当直线MN的斜率不存在时，则，化简积又，所以，且，所以即直线MN的方程为，此时MN过定点（，0）综上所述，直线MN过定点（，0）10．（2023·江西·模拟预测（理））如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.(1)当且时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案:(1)或(2)存在，解析：分析：（1）先求得椭圆的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l的方程；（2）先以设而不求的方法得到的解析式，再去计算是否为定值即可解决.(1)椭圆的方程，由题可得；由，结合，得，椭圆的标准方程：；当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，故设直线l的方程为，代入椭圆方程整理得，设，，，；，解得.则直线l的方程为或.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合，由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意；由题意可设直线的方程：代入椭圆方程，得；设，，，；①直线的方程为②则直线的方程为③由②③得由①代入，得，解得，即；且知；（常数）即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数11．（2023·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案:(1)(2)存在，或解析：分析：（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数，使得以为直径的圆恒过，则，结合韦达定理可得的值.(1)由已知设双曲线方程为，又，，成等差数列，且双曲线过点，则，解得，，，故所求方程为，(2)由（1）得，设､方程分别为､，则，，因为以为直径的圆经过，所以即，即，设方程为，与联立得，设，，则，，所以，即，所以，，解得或.12．（2023·云南·一模（理））在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为.(1)求动点的轨迹方程；(2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由.答案:(1)(2)存在，解析：分析：(1)根据已知条件，计算出动点D的几何关系即可；(2)作图，根据图中的几何关系，一一列出所求点的坐标,再做分析即可.(1)∵，，∴，又∵动点与、两点的距离之和为18，∴动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为18的椭圆，设，则.设，由得，代入上述椭圆方程可得，∴动点的轨迹方程为；(2)依题意以及（1）的结论作下图：由已知得，，直线的方程为，由得……①，∴.设M点的坐标为：，直线AM与椭圆的一个交点为，有①和韦达定理得：，解得，∴，，联立得，，BE的中点坐标为T(3，3k)，，，，∵，，∴，∴，即平分，∴直线与直线关于直线对称，∴点在直线上，即点在轴上，∴，的纵坐标为0，若k=0，则M点与B点T点重合，求对称点没有意义；故答案为：，存在，.【点睛】本题用角平分线的方式求解是一种思路，用M点和对称点P的连线的中点在直线FT上，并垂直于FT也是一种方法，就是要按照题目所给的条件作图，数形结合分析，写出每一步分析的结果.13．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.(1)求C的方程.(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.答案:(1)(2)存在定点解析：分析：（1）先由题意求出C的渐近线方程，，再根据点F到渐近线的距离为1求出b，得，即可得C的方程；（2）先由题意判断直线的斜率存在，设出的方程，与C的方程联立，根据直线与C相切求得点P的坐标，再根据题意求出点Q的坐标，假设存在点M满足题意，设出点M的坐标，根据并借助向量的数量积将问题转化为点的坐标之间的关系，化简求解，即可得到结果.(1)解：由题意，双曲线的渐近线方程为，又由双曲线的右焦点为，可得，所以到渐近线的距离，所以，所以C的方程为.(2)解：由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，因为直线与C的右支相切，所以，（双曲线右支上的点需满足的条件），得，则，设切点，则，，设，因为Q是直线与直线的交点，所以，，假设x轴上存在定点，使得，则，故存在，使得，即，所以x轴上存在定点，使得.14．（2023·黑龙江实验中学模拟预测（理））圆的离心率为，且过点，点分别为椭圆的左顶点和右顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在定点，对任意过点的直线（在椭圆上且异于两点），都有.若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.答案:(1)；(2)存在，.解析：分析：（1）由椭圆所过点、离心率和之间关系可构造方程组求得结果；（2）当直线斜率不存在时，求得坐标，可得；当直线斜率存在时，假设直线方程，结合韦达定理可求得点坐标，同理可求得点坐标，利用可整理得到，由此可确定；综合两种情况可得结论.(1)由题意得：，解得：，椭圆的标准方程为；(2)由（1）知：，；①当直线斜率不存在时，由得：或，若，，则，，，解得：；若，，同理可求得：；②当直线斜率存在时，设，，则；设直线，由得：，，