2024年江苏省常州市中考数学调研试卷

2024年江苏省常州市中考数学调研试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的,

请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

1.（2分）关于x的一元二次方程x2-2x+〃z=0的一个根为-1,则机的值为（）

A.-3B.-1C.1D.2

2.（2分）RtAABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（）

A.不变B.变大C.变小D.无法判断

3.（2分）已知与直线/相交，圆心到直线/的距离为6a“，则。。的半径可能为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

4.（2分）如图是二次函数;y=a/+fec+c的图象，则（）

A.a>0,c<0B.a>0,c>0C.“VO,c>0D.4V0,c<0

5.（2分）点A（5,3）经过某种图形变化后得到点2（-3,5）,这种图形变化可能是（

A.关于x轴对称

B.关于〉轴对称

C.绕原点逆时针旋转90°

D.绕原点顺时针旋转90°

6.（2分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是（）

A.点数为2B.点数为3

C.点数小于3D.点数为奇数

7.（2分）某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图,

则该校学生视力的中位数可能是（）

全校学生视力情况盾形统计图

标准视力衣（部分）

Ems,4

mEm34.5

auiEmm4.6

m■w■■4.7

3UI3E3■4.8

4.9

A.4.5B.4.7C.4.9D.5.1

8.（2分）如图，点A坐标为（-2,1）,点8坐标为（0,4）,将线段AB绕点。按顺时针方向旋转得到

对应线段A'B',若点A'恰好落在x轴上，则点夕到x轴的距离为（）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡

相应的位置上）

9.（2分）一元二次方程W-尤=0的解是.

10.（2分）已知圆锥的侧面积是4m母线长为3,则它的底面圆半径为.

11.（2分）已知一段公路的坡度是1：3,沿这条公路上坡走了10切，那么垂直高度上升了

12.（2分）若抛物线y=/-3x+办+2的对称轴是y轴，则。的值是.

13.（2分）如图，A、8、C、。均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P,则当越的值

是____________________

14.（2分）如图,y=*和y=尤的图象，若一个数尤大于它的倒数，可知x的取值范围是

15.（2分）如图，已知是的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与A2的延长线

交于点E,Z£=50°,则/。的度数为.

16.（2分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形

ABC。的面积为2,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'CD',若AB：A'B'

=1：2,则四边形A'B'CD'的外接圆的半径为.

17.（2分）定义：在AABC中，ZC=30°,我们把的对边与/C的对边的比叫做/A的邻弦，记作

thiA,即：t/tA="婴小吃.如图，若NA=45°,则成4的值为

乙C的对边AB-----------------

18.（2分）如图，尸是第一象限内一次函数y=-2x+4图象上一动点，反比例函数y=号（卜力0）经过点尸,

则k的取值范围是.

三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）

19.（6分）计算：2cos300+tan600—V2sin45°.

20.（8分）解方程：

（1）（X-1）2=9;

（2）?+2x-4=0.

21.（8分）为了解春节期间游客对我市旅游服务满意度，从中随机抽取部分游客进行调查，并将调查结果

按照“A.非常满意；8.比较满意；C.基本满意；D.不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形

（1）抽样调查共抽取游客人；

（2）请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；

（3）春节期间，我市累计接待游客近1000万人次，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人

次？

22.（8分）2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》深受观众喜爱.甲、

乙两人从这三部电影中任意选择一部观看.

(1)甲选择《热辣滚烫》的概率是;

(2)请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率.

23.(8分)如图，在四边形ABCD中，ABLBC,AD//BC,ZBCD=120°,AD=DC.

(1)连接AC,贝°；

(2)若P为四边形ABC。边上的一点，满足NBPC=30°.请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P

(不写作法，保留作图痕迹)；

(3)在(2)的条件下，若BC=2,则CP的长为•

24.(8分)如图，RtzXABC的两个顶点A、B都在反比例函数y=号(kH0)的图象上，经过原点O.斜

边AC垂直于x轴，垂足为£>.已知点A的坐标为(1,2).

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

25.(8分)如图，四边形ABCZ)是OO的内接四边形，过点A作AE〃BC交CD的延长线于点E,AE=

AB,AD=ED,连接2D

(1)求证：ZBAD=ZEAD；

(2)连接AC,若CD=1,D£=3,求42的长.

A

26.(10分)图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线经凸透镜折射后，

过焦点F,并与过凸透镜中心0的光线CO交于点D,从而得到像BD.其中，物距AO=u,像距BO

=v,焦距。F=力四边形AOEC是矩形，DBLAB,MN±AB.

(1)如图2,当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即请用所学的数学知识说明此时“不成

像”；

(2)若蜡烛AC的长为5cm,物距u=l5cm,焦距/=10c:〃，求像距v和像BD的长.

27.(10分)【发现问题】

尸是二次函数y=的图象上一点，小丽描出。尸的中点Q.当点尸运动时，就得到一系列的中点Q,

如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图象上.

【分析问题】

若Pi(L》，则中点Q(,)；若P(m,苧)，则中点Q

(,).

【解决问题】

请帮助小丽验证她的猜想是否成立.

【问题推广】

若尸是二次函数＞="2(a#O的常数)的图象上一点，在射线OP上有一点Q,满足*=g(左为常

数).当点P运动时，则点Q也在某函数的图象上运动，请直接写出该函数解析式(用°、上表

28.(10分)定义：在平面直角坐标系xOy中，P、。为平面内不重合的两个点，其中尸(xi,yi),Q(&,

V2).若X1+H=X2+”，则称点。为点P的“等和点”.

(1)如图1,已知点P(2,1),求点尸在直线y=x+l上”等和点”的坐标；

(2)如图2,OA的半径为1,圆心A坐标为(2,0).若点尸(0,m)在OA上有且只有一个“等和

点”，求机的值；

(3)若函数y=-/+2的图象记为M，将其沿直线x=:〃翻折后的图象记为W2，当M，物

两部分组成的图象上恰有点尸(0,7〃)的两个“等和点”，请直接写出m的取值范

围.图1图2

2024年江苏省常州市中考数学调研试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的,

请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）

1.（2分）关于x的一元二次方程W-2x+根=0的一个根为-1,则根的值为（）

A.-3B.-1C.1D.2

【解答】解：••・关于x的一元二次方程7-2x+m=0的一个根是-1,

/.（-1）2-2X（-1）+m=0,

解得：；〃=-3.

故选：A.

2.（2分）RtZ\ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（）

A.不变B.变大C.变小D.无法判断

【解答】解：:n△ABC的边长都扩大2倍，

.♦•所得的三角形与原三角形相似，

•••/A的大小没有发生变化，

cosA的值不变，

故选：A.

3.（2分）已知。。与直线/相交，圆心到直线/的距离为60小则。。的半径可能为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【解答】解：和直线/相交，

/.d<r,

又•••圆心到直线/的距离为6cm,

r>6cm,

故选：D.

4.（2分）如图是二次函数y=o?+bx+c的图象，贝I］（）

o

A.aX),c<0B.〃>0,c>0C.〃V0,c>0D.a<0,c<0

【解答】解：•••图象开口向上,

•・•图象与y轴正半轴相交，

故选：B.

5.（2分）点A（5,3）经过某种图形变化后得到点2（-3,5）,这种图形变化可能是（）

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90°

D.绕原点顺时针旋转90°

【解答】解：点A关于x轴的对称点的坐标为（-5,3）,

显然此点不是点B,

所以A选项不符合题意.

点A关于〉轴的对称点的坐标为（5,-3）,

显然此点不是点B,

所以2选项不符合题意.

如图所示，

分别过点A和点A'作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M和N,

因为/A'OA=ZNOM=90°,

所以NA'0N=ZAOM.

又因为A'O=AO,ZA'NO=ZAMO,

所以△?!'NO^AAMO（AAS）,

所以A'N=AM=3,NO=MO=5,

故点A'的坐标为（-3,5）.

此点与点B重合.

所以C选项符合题意.

同理可得，

当点A绕原点顺时针旋转90°时，旋转后的对应点坐标为（3,-5）.

此点显然不是点B.

所以。选项不符合题意.

故选：C.

6.（2分）随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是（）

A.点数为2B.点数为3

C.点数小于3D.点数为奇数

1

【解答】解：A、朝上一面的点数是2的概率为一；

6

1

B、朝上一面的点数是3的概率为7

6

C、朝上一面的点数小于3的概率为点

D、朝上一面的点数为奇数的概率为去

故选：D.

7.（2分）某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图,

则该校学生视力的中位数可能是（）

A.4.5B.4.7C.4.9D.5.1

【解答】解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在4.6-4.7,

所以该校学生视力的中位数可能是4.7.

故选:B.

8.（2分）如图，点A坐标为（-2,1）,点8坐标为（0,4）,将线段AB绕点。按顺时针方向旋转得到

对应线段A'B',若点A'恰好落在x轴上，则点次到X轴的距离为（）

4V58V53^68V6

A.-----B.-----C.-----D.——

5555

【解答】解：如图，连接OA,OB',过点B'作8,H±x轴于点H,过点A作AT±OB于点T.

y

B

Bf

・・•点A坐标为（-2,1）,点3坐标为（0,4）,

：.AT=2,OT=L08=4,

OA=V22+l2=V5,

：.OA=OAr=V5,

1

,：SxohB'=S/\OAB=2x4x2=4,

1

・・・一。4'•B'H=4,

2

・••点8'到x轴的距离为《一,

故选：B.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡

相应的位置上）

9.（2分）一元二次方程％2-冗=0的解是修=0,%2=1.

【解答】解：--尸0,

x（x-1）=0,

.・・x=0或x-1=0,

**X1—0>X2~1,

故答案为：Xl=0,X2=l.

4

10.（2分）已知圆锥的侧面积是4m母线长为3,则它的底面圆半径为

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为「，

1

由题意得，一x2iiXrX3=4m

2

解得，

4

故答案为：

11.（2分）已知一段公路的坡度是1：3,沿这条公路上坡走了10m，那么垂直高度上升了

设AC=x»i,则BC=3X«J,根据勾股定理得：

/+（3x）2=1（）2,

解得了=府（负值舍去）.

...垂直高度上升了

故答案为：V10.

12.（2分）若抛物线-3x+ox+2的对称轴是y轴，则a的值是3

【解答】解：：抛物线y=？-2x+ax+2的对称轴是y轴，

.—3+a八

••---=0-

・・4=3・

故答案为：3.

13.（2分）如图，A、B、C、D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P,则容考的值是

S^PBD

1

由勾股定理得AC=8£=Vl2+22=V5,AE=BC=V32+32=3a,

・・・四边形AC8E是平行四边形，

J.BE//AC,

・・・8、E、。三点在同一条直线上,

J.BD//AC,

:•丛PBDs丛PAC,

BE=DE,

BD=2BE=2AC,

BD

—=2,

AC

.SgAc_（竺）2_工

S4PBDBD4

,,”,1

故答案为：

4

14.（2分）如图，y=］和y=x的图象，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是-1«0或

函数y=*和y=x的图象的交点的横坐标为-1和1,

由图象可知当-l<x<0或x>l时，一次函数>=》的图象在反比例函数y=g的上方,

根据图象可知x的取值范围是-l<x<0或x>l.

故答案为：-1<尤<0或无>1.

15.（2分）如图，已知A5是。0的直径，点C、。分别在两个半圆上，若过点C的切线与A3的延长线

交于点E,ZE=50°,则NO的度数为70°.

【解答】解：TCE与。。相切于点C,

：.ZOCE=90°,

,.・NE=50°,

：.ZCOE=90°-ZE=40°,

AZAOC=180°-ZCOE=140°,

1

*AOC=70°,

故答案为：70°.

16.（2分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形

ABC。的面积为2,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'CD',若AB：A'B'

=1：2,则四边形A'B'CD'的外接圆的半径为2.

•正方形ABC。与正方形A'B'CD'是位似图形，AB：A'B'=1：2,

正方形ABCD与正方形A'B'CD'的面积比为1：4,

•.•正方形A2C。的面积为2,

正方形A'B'CD'的面积为8,

二正方形A'B'CD'的边长为2a,

•.•四边形A'B'CD'是正方形，

=90°,

：.B'D'=J（2V2）2+（2V2）2=4,

.••四边形A'B'CD'的外接圆的半径为2,

故答案为：2.

17.（2分）定义：在△ABC中，NC=30°,我们把/A的对边与NC的对边的比叫做NA的邻弦，记作

thiA,即：例4=经£=鸵.如图，若/A=45°,则〃7泊的值为V2.

乙c的对边AB—~

【解答】解：作B〃_LAC于H,

设BH—x,

VZA=45°,

・・・△A3”是等腰直角三角形，

：.AB=V2BH=缶，

VZC=30°,

:・BC=2BH=2x,

故答案为：V2.

18.（2分）如图，P是第一象限内一次函数y=-2x+4图象上一动点，反比例函数y=力0）经过点尸,

则左的取值范围是OOW2

y——2.x+4.

【解答】解：联立方程组k，消掉y得-2尤+4=3

V=—x

VX

整理得2/-4x+k=0,

•••点尸是两个函数的交点，方程组有解，

/.A=16-4X2^0,

；«W2,

反比例函数图象在第一象限，k>0,

：.Q<k^2.

故答案为：0<ZW2.

三、解答题(本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤)

19.(6分)计算：2cos30°+tan60°—V2sm45°.

【解答】解：2cos30°+tan60°-V2sin45°

=2x学+遮一夜x冷

=V3+V3-1

=2V3-1.

20.(8分)解方程：

(1)(X-1)2=9;

(2)/+2x-4=0.

【解答】解:(1),/(%-1)2=9,

.*.X-1=±3,

则XI=4,九2=-2；

(2)・.・/+2x-4=0,

.*.X2+2X=4,

贝!Jx2+2x+l=4+1,即(x+1)2=5,

/.x+l=±V5,

.".xi=-1+V5,尤2=-1—V5.

21.(8分)为了解春节期间游客对我市旅游服务满意度，从中随机抽取部分游客进行调查，并将调查结果

按照“4非常满意；艮比较满意；C.基本满意；D.不满意”四个等级绘制成了如下不完整的条形

(1)抽样调查共抽取游客50人;

(2)请通过计算补全条形统计图，并求出A等级所在扇形统计图的圆心角度数；

(3)春节期间，我市累计接待游客近1000万人次，请你估计对服务表示不满意的游客大约有多少万人

次？

【解答】解：(1)抽样调查的游客有：244-48%=50(人)；

故答案为：50；

(2)“基本满意”的游客有：50-10-24-2=14(人)

A等级所在扇形统计图的圆心角度数为：360°x|§=72°；

2

(3)1000x^=40(万人)，

答：估计对服务表示不满意的游客大约有40万人次.

22.(8分)2024年春节档电影票房火爆，电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》深受观众喜爱.甲、

乙两人从这三部电影中任意选择一部观看.

1

(1)甲选择《热辣滚烫》的概率是~；

-3-

(2)请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两人选择同一部电影的概率.

1

【解答】解：(1)甲选择《热辣滚烫》的概率是9

,,­,1

故答案为：-：

(2)用A、B、C分别表示电影《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》，

国树状图为：

开始

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的结果数为3种，

所以甲、乙两人选择同一部电影的概率='=}.

23.(8分)如图，在四边形ABCD中，ABLBC,AD//BC,/BCD=120°,AD=DC.

(1)连接AC,则/BAC=30°；

(2)若尸为四边形ABC。边上的一点，满足/8PC=30°.请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点尸

(不写作法，保留作图痕迹)；

(3)在(2)的条件下，若BC=2,则CP的长为2或24或4.

【解答】解：(1)如图，连接AC,

'JBC//AD,ZDCB=120°,

/.ZD+ZDCB=180°,

ZD=60°,

'：DC=DA,

...△AC。是等边三角形，

/.ZDAC=60°,

\'AB±BC,

：.ZCBA=ZBAD=9Q°,

ZBAC=30°,

故答案为：30；

(2)如图所示，作AC的垂直平分线，垂足为O,以。为圆心，AO为半径画圆交CD,于点尸1，

尸2，尸3与A重合，

点P，尸2，尸3即为所求；

(3)当尸3与A重合时，NBP3c=36°,此时CP3=25C=4,

连接CP2,

：AC为直径，

：.CP2-LAD,

.••四边形3cp2A是矩形，

:.CP2=AB=2®

当C3=CB时，/CPiB=NCBPi=3Q°,此时CB=2,

综上所述，CP的长为2或2旧或4.

故答案为：2或2百或4.

24.(8分)如图，RtA4BC的两个顶点A、8都在反比例函数y=久/cK0)的图象上，经过原点O.斜

边AC垂直于x轴，垂足为£>.已知点A的坐标为(1,2).

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)求RtZXABC的面积.

【解答】解：（1）把（1,2）代入y=E（kWO）得：

:.k=2,

.,.反比例函数的解析式为产P

•.•点A和8关于原点对称，

.•.点8坐标为（7,-2）,

设直线AB解析式为y=ax,将点A（1,2）代入得：

解得：＜2=2,

直线AB解析式为y=2尤；

（2）VA（1,2）,5（-1,-2）,

：.AB=V（-l-l）2+（-2-2）2=2V5,

,/对角线AC垂直于尤轴，

AZAEO^ZABC=9Q°,

ZEAO=ZBAC,

:.△NOEsXhCB、

.OEBC

••—,

AEAB

.1BC

2―2^5

BC=V5,

ARtAABC的面积=2XABXBC=5.

25.（8分）如图，四边形ABC。是O。的内接四边形，过点A作AE〃3C交CD的延长线于点E,AE

AB,AD=ED,连接BD

(1)求证：ZBAD=ZEAD；

(2)连接AC,若C0=1,DE=3,求AB的长.

【解答】(1)证明：・・・AO=&),

：.ZEAD=ZE,

U：AE//BC,

：.ZE+ZBCD=180°,

・・・四边形ABCD是。。的内接四边形,

AZBAD+ZBCD=180°,

・•・NBAD=NEAD；

(2)解:如图，连接AC,

在△AOB和AADE1中，

AB=AE

Z-BAD=LEAD,

AD=AD

：.AADB^AADE(SAS),

・•・NABD=NE,

由圆周角定理得：ZABD=ZACD,

：.NAC£>=ZE=NEAD,

ZE=ZE,

：.△AC—△DAE,

—DE=—AE,BrrP—3=—AE,

AECEAE4

解得：AE=2W,

AAB=AE=2V3.

A

26.(10分)图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线经凸透镜折射后，

过焦点F,并与过凸透镜中心0的光线CO交于点D,从而得到像BD.其中，物距AO=u,像距BO

=v,焦距。F=力四边形AOEC是矩形，DBLAB,MN±AB.

(1)如图2,当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即请用所学的数学知识说明此时“不成

像”；

(2)若蜡烛AC的长为5cm,物距u=l5cm,焦距/=10c:〃，求像距v和像BD的长.

【解答】解：(1)二•四边形AOEC是矩形，

：.AC=EO,ZCAO=ZAOE=90°,

：.ZEOF=180°-ZAOE=90°,

：.ZCAO=ZEOF=90°,

'：AO^OF,

.♦.△CAO咨△EOF(SAS),

：.ZCOA=ZEFO,

S.CO//EF,

；.CO与EF没有交点,

此时“不成像”；

(2)'：CALAB,DB±AB,MNLAB,

：.ZCAO=ZDBO=ZEOF=90°,

,：ZCOA=ZBOD,

:•丛CAOs^DBO,

.CADB

"AO-BO"

.5DB

・飞―⑶。’

：.BO=3BD,

/EFO=/DFB,

:.XEFOsXDFB,

・EOBD

OF~BF'

.5BD

“IO―OB-10'

.5BD

**10-3BP-10，

解得：30=10,

BO=3BD=30（cm）,

：.像距v为30cm,像BD的长为10an.

27.（10分）【发现问题】

P是二次函数y=//的图象上一点，小丽描出。尸的中点Q.当点尸运动时，就得到一系列的中点Q,

如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图象上.

【分析问题】

11121I。

若Pi（L五），则中点Qi（二，"）;若P（m,-77n-）,则中点Q（~m,~m2）.

【解决问题】

请帮助小丽验证她的猜想是否成立.

【问题推广】

若尸是二次函数＞=办2QW0的常数）的图象上一点，在射线。尸上有一点。，满足*=g（左为常

数）.当点P运动时，则点Q也在某函数的图象上运动，请直接写出该函数解析式（用a、左表

Ill1

故答案为：二，、，-m,-m2,

2828

【解决问题】小丽她的猜想成立，理由：

11

由【分析问题】点Q(-m,-m2),

28

设x=y=/落

则m=2x,

则y=/机2=Wx(2x)2=

即点Q在>=32；

【问题推广】如图，过点尸、Q分别作了轴的垂线尸M、QN交x轴于点M、N,

则△OP/S2\OQN,

即ON=k・OM,

设点尸的坐标为：G,at1),

即ON=kt,

同理可得：QN=kaF,

即点。的坐标为：(笈，ka?),

设x=笈，y—kat2,

则u本

K.

则y=kat2=ka(62=酎,

即函数表达式为丁=铲.

28.(10分)定义:在平面直角坐标系xOy中，P、。为平面内不重合的两个点，其中尸(xi，”)，。(孙，

72).若xi+yi=&+y2,则称点。为点P的“等和点

(1)如图1,已知点P(2,1),求点尸在直线y=x+l上"等和点”的坐标；

(2)如图2,OA的半径为1,圆心A坐标为(2,0).若点尸(0,根)在OA上有且只有一个