河北省邯郸市2024届高三年级下册高考保温数学试题（解析版）

邯郸市2024届高三年级保温试题

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

tan«=2

1.已知4,1为第一象限角，贝/ina的值为()

3434

A.-B.-C.--D.——

5555

【答案】A

【解析】

【分析】利用商关系和平方关系可求答案.

3cina3

【详解】因为tana=3,所以茫竺=2,

4cosa4

216229

又因为sila+cos2a=1,所以sina+一sina=1,sina=一；

925

3

因为a为第一象限角，所以sina=M.

故选：A

2.命题d—2%+1>0”的否定是()

33

A.Vxe(-co,l],X-2X+1>0B.VXG(1,+OO),X-2X+1<0

33

C.3xe(-oo,1],X-2X+1>0D.±e(l,+8)，x-2x+l<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

3

所以命题“Vxe(l,+8),%3_2%+1>0”的否定是土«1,+8),X-2X+1<0.

故选：D.

3.12x2—4］的展开式中，常数项为()

A.60B,-60C.120D.-120

【答案】A

【解析】

【分析】根据二项式定理通项公式当r=4时，代入通项公式可得到答案.

【详解】依题意有=晨(2/广［_工］=(-l)rx26-rC；x12-3r,r=0,l,,6，

412-3r=0=>r=4,所以常数项为(—1『X22C：=60,

故选：A.

4.中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能

量£(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+L5M,2011年3月11日，日本东北部海

域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的多少倍？

()

A.98B.105C.355D.463

【答案】C

【解析】

【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.

【详解】由题设，

日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量4=1048+L5x9,

中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量反=104-8+L5x7-3,

F-1r\4.8+1.5x9

所以一1=—------=10255H355

厂八办E|04.8+1.5X7.3"、

故选：C.

5.已知M,N是圆C：£+：/—2y—3=0上的两个点，且|跖旷=2后，P为的中点，。为直线/：

x—y—3=。上的一点，贝的最小值为()

A.2夜B.72C.2-72D.72-1

【答案】B

【解析】

【分析】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决.

【详解】圆C的标准方程：必+⑶―1『=4,圆心C（O,1）,半径为2,

由|跖V|=20,可得|。耳="方=血，

所以点P在以C（0,1）为圆心，、历为半径的圆上，

_|0-1-3|

又点C到直线/：x_y_3=0的距离d=272,

所以|PQ|的最小值为2®-正=JL

故选:B.

6.某疾病全球发病率为0.03%,该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%,检测的误诊率

（未患病者判定为阳性的概率）为1%,则某人检测成阳性的概率约为（）

A.0.03%B.0.99%C.1.03%D.2.85%

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，某人检测成阳性包含两种情况：非患者检测为阳性和患者检测为阳性，结合互斥事

件的概率加法公式，即可求解.

【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为1%,患病者判定为阳性的概率为95%,

所以某人检测成阳性包含两种情况：

①非患者检测为阳性的概率为（l-0.3%）xl%=0.00997；

②患者检测为阳性的概率为0.3%x（1—5%）=0.00285,

所以某人检测成阳性的概率为0.00997+0.00285=0.01282。1.03%.

故选：C.

A.V2B.73C.2D.其1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得点尸的坐标，再结合条件可得垂直平分册；，从而可得OM//£N,

再结合&OE2M月8N可得9。乃河一月PN,从而得到a,4c的关系，由双曲线离心率的计算公式即

可得到结果.

【详解】如图所示，不妨设P在第一象限，延长月尸与鸟”交于点N,

22

因为轴，K（c,o）,将X=c代入双曲线中，可得二_4=1,

ab

b?（b2}

解得）=±幺，且尸在第一象限，则尸。，一，

a（aJ

UUUUUULL

因为M在/鸟尸耳的外角平分线上，且

则F2M1PM,NF2PM=NNPM,

故PM垂直平分NF2,PNF2为等腰三角形，

A2

所以|P闾=|PN|=—,M为NF2中点、,

因为分别为耳心，N8的中点，

则为FiF?N中位线，故OM//£N,

阳M=?闺P|+|PN|）=g（闺刊+卢闾）,

由双曲线的定义可得国耳尸闾=2a,贝!J闺P|=2a+1P周=2a+2,

221

1ifhhyb

所以=—（I耳P|+|Pg|）=—2a+—+—=〃+—,

22（aa）a

又因为OM〃F[N,则OF2MF]F?N,

因为|°闾=优闾，所以ayi,一KBN都是等腰三角形，

则

ZMOF2=/NFF2=ZOMF2=ZF,NF2,

则巴=也

故，OF2MFPN1

叫\NF2\

又因为|明|=2|晒|=2[0闾=2c,

b2

a+

c—,4

则7=-7■堂，整理可得2c2=〃+勺，

bT2ca

a

因为b2=c2—1，则2/=/片上—J),

2

整理可得°2=3。2,则e2=」=3,所以e=6.

a'

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了双曲线的定义以及离心率的计算，难度较大，解答本题的关键在

于结合条件得到OM//EN,结合相似比以及双曲线的定义，从而得到结果.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z,I是其共辆复数，则下列命题正确的是（）

A.z>z

B.若目=1,则卜+G—i|的最小值为1

Cz=^0）

D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0（p,qeR）的一个根，则q=5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用复数的几何意义，模长公式，复数相等，共辗复数等知识可求答案.

【详解】对于A,复数（虚部不为0）不能比较大小，所以A不正确；

对于B,设2=。+历，a,beR,由忖=1可得/+〃=],设々=cos，,b=sind,

贝“z+G-i卜｛（a+6）+伍—I）?=JzGcos。-2sin6+5

=、4sin（e+a）+5,当sin（6+&）=-1时，卜+百一,取到最小值1,B正确；

对于C,设2=。+历，a,b&R,\z^=a1+b1,zz=（a+Zn）（tz-M）=a2+b2,

所以忖2=zf,即Z=3（ZH0），C正确；

对于D,（3+4i）2+p（3+4i）+q=0（p,qwR）,整理得（3p+q-7）+（24+4p）i=0,

所以3p+q—7=0且24+4p=0,解得p=-6,q=25,D不正确.

故选：BC

10.如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个

全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）

A.当x=2m时，正四棱锥的侧面积为4Km2

B.当％=2m时，正四棱锥的体积为逑

3

C.当X=2gm时，正四棱锥外接球的体积为2/

6

D.正四棱锥的体积最大值为出百n?

27

【答案】BCD

【解析】

【分析】作出示意图，对于A：可求得4SABP=8："判断A；对于B：当x=2时，P0=百，可得

所以此时彳=上£时取等号，故D正确.

故选：BCD.

11.定义在R上的函数/(%)满足：2/(x+l)/(y+l)=/(x-y)-/(x+y),且/⑵=—1,则下列结

论正确的是()

A./(O)=lB.(1,0)是外力的对称中心

2024

c./'(X)是偶函数D.£/(，)=1

1=0

【答案】ABD

【解析】

【分析】令x=y=L求出"0)=1可判断A；令x=l,y=r,可判断B；若/'("是偶函数，则

=利用/”+x)=/"—％),得到/'(x)周期为2,“X)的周期也为2,产生矛盾

可判断C；由/(x+4)=—/(x+2)=/(x),所以/(x)的周期为4,赋值法求出/(1),/(3),利用

周期性求值可判断D.

【详解】对于A,令x=y=l,可得2〃2)〃2)=〃0)—〃2),因为〃2)=—1,

所以/(0)=1,故A正确；

对于B,令x=l,y=—x,可得2/(2)〃1一力=〃1+%)-/(1一力,

即/(l+x)+/(l-％)=0,所以(1,0)是/(尤)的对称中心，故B正确；

对于C,若/'(X)是偶函数，则/'(_%)=/'(x)，

因为〃l+x)+〃l—x)=o,所以r(l+x)=r(l—x),f'(-x)=f(2+x)=f\x),

从而得到了'(x)的周期为2,“X)的周期也为2,

而/(0)=lw/(2)=—1,故C错误；

对于D,由c得〃x+4)=—〃x+2)=/(x),所以“力的周期为4,

令x=y=0,得2/(l)/(l)=/(O)_/(O)=O,得/(1)=0,

令x=2,y=l,得2〃3)〃2)=〃1)-43)=0,/(3)=0,

所以〃0)+/(1)+〃2)+〃3)=1-1=0,所以

2024

E/(0=2024x0+/(2024)="0)=1,故D正确.

i=0

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：解题是利用特殊值法，结合函数的性质求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知向量匕=(4,2),若向量a在》上的投影向量为;人，且a与人不共线，请写出一个符合条件的向

量a的坐标.

【答案】(1,3)(答案不唯一)

【解析】

a-bb1.

【分析】根据题意，得到w.卜=5°，求得〃/=1。，进而可写出一个向量，得到答案.

【详解】由向量=(4,2),可得向量忖=而，

1a-bb1,

因为向量a在b上的投影向量为Q人，可得=可得。心=1°，

设a=(x,y),可得4x+2y=10,取x=l,y=3,

此时向量a与向量b不共线，故々=(1,3).

故答案为：(1,3)(答案不唯一).

13.记S“为等比数列｛4｝前九项的和，若。3+4=1，4s6=7$2，则、2=.

【答案】笑

16

【解析】

【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.

【详解】设等比数列｛。“｝的公比为4,由题意可得qwl,

由4s6=7S2,可得他(1>6)=741—力,解得12=:，

1-q1-q2

又名+〃4=1，即所以q+。2=2,

Em1111

|可%+%=—，%+=—，。9+4o=-，4]+%2=-----，

24816

因为S]?=4+2+%+。4+%+。6+%+。8+%+。10+%i+62，

所以S]?=2+1-1----1---------1-------1-------=—.

122481616

故答案为：——

16

14.若不等式lnx<a」nQ（Q>l）恒成立，则〃的取值范围为.

-1\

【答案】e;,+oo

_7

【解析】

【分析】借助》二1。84%与丁=优的图象关于直线，=%对称性，先讨论》二1。8,%与丁=优的图象的交

点个数，即可求解.

【详解】不等式lnx</lna（a>l）恒成立，

Inx

即不等式——三优恒成立，

Ina

即不等式log〃xW优恒成立，

先求解y=bg。％与y=ax的相切的情况.

因为函数y=logfl%与y=/的图象关于直线y=X对称，

所以切点一定在直线y=x上，且切线斜率为1,

假设切点坐标为（小,40）

则a'°=x0①

由丁=优求导得y'=a1na,

所以1，即优。=二一②

Ina

由①②得后—优。—---，

Ina

X1

lnaioSae

所以优°=a=a=e=x0=-----，

Ina

所以e=-----，所以Ina二一，解得1，

Inae

因为当a>l时，

指数函数y=优的导数y'=优Ina递增，

对数函数y=loga%的导数y'=递减,

x\na

当“0:时，没有公共点，

当〃.1,有1个公共点，

当时，有2个公共点.

结合图象可知：当々Ze：时，不等式log0》〈优恒成立，

-1\

即若不等式lnxWa"lna(a>l)恒成立，则。的范围为ee,+<x>.

_)

■11

故答案为：ee,+a)

_)

【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是把不等式的恒成立问题转化为指数函数图象与直线y=x公共点

个数问题，进而利用导数的几何意义求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/'(x)=ae"-xlnx.

(1)当a=l时，求函数/(%)在(1"(功处的切线方程；

(2)若/(%)为增函数，求。的取值范围.

【答案】(1)(e-l)x-y+l=0

(2)：，+力)

【解析】

【分析】(1)根据题意，由导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可得到结果；

⑵根据题意，将问题转化为了'(%"。在1«0,+8)上恒成立，构造函数g(x)=——(x>0),即

C

a>g(%)，求导即可得到其最值，从而得到结果.

u\/max

【小问1详解】

当0=1时，f(x)=er-jclnx,即/(l)=e,所以切点坐标为(l,e),

又因为/'(x)=e'—Inx—1,则广⑴=e-l,

由直线的点斜式方程可得y—e=(e—l)(x—1),

化简可得(e-l)x-y+l=0.

【小问2详解】

因为函数/(x)=ae*—xlnx定义域为(0,+oo),且/'(x)=ae*-(1+lnx),

/⑺为(0,+“)上增函数等价于/'⑴》0在xe(0,+8)上恒成立，

由可得邛X，令g(x)=¥答(x>0),

所以只需a2g(x)1mx,求导可得g'(x)=ef]]-1—lnx],

令/z(x)=工一1一Inx,贝=一一^-―<0,

XXX

即/©)是(0,+8)上的减函数，又入⑴=0,

故x=l是网力的唯一零点，

当xe(0,1)时，h(x)>0,g<x)>0,g(X)递增,

当xe(1,+co)时,A(x)<0,g'(x)<0,g(x)递减，

故当x=l时，g(x)取得极大值且为最大值，g(l)=-,

e

1「1、

所以—,即。的取值范围是一,+电.

eLe)

16.某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点P的横坐标x,另一枚的点数记为点P的纵坐标y,令

事件A="x+y=7"，事件3="X为奇数”.

(1)证明：事件A3相互独立;

(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点尸在圆V+y2=12内的次数X的分布列与期望.

【答案】(1)证明见解析，

(2)分布列见解析，期望为

2

【解析】

【分析】(1)要证明事件45相互独立的充要条件是尸(A5)=P(A)1(3),所以先要去求出

P(A)=-,P(B)=LP(AB)=—,然后再根据充要条件加以判断;

6212

(2)先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点P在圆好+丁=12内的概率，然后根据连续抛掷三次，说明

X〜,即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望.

【小问1详解】

证明：由题意可知P点坐标有36种，其中事件A所包含的基本事件有

(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种，所以P(A)=9=L

366

1Q1

事件5所包含的基本事件有18种，所以尸(3)=、=—,

362

31

积事件A3有。,6),(3,4),(5,2),共3种，所以「(43)=—=不,

3612

满足P(AB)=P(A)-P(B),所以事件A、B相互独立;

【小问2详解】

点尸在圆3+9=12内的基本事件有:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共6种，

所以点尸在圆炉+丫2=12内的概率为9=工，

-366

由题意可知，X~33,\

尸（x=°）=叱黑

JI。/210

尸口)=喘)曾嚏

p（x=3）=4m4

所以，X的分布列为

X0123

12575151

P

216216216216

所以E（X）=3>4=L

62

17.如图，已知菱形ABCD和菱形AD石尸的边长均为2,ZFAD=ZBAD=60°,BF=5M、N分

,，田x.1AMBN

别alA为AE、BD上的动点，且L——=—

AEBD

(1)证明：MN//平面EDC；

(2)当的长最小时，求平面儿应4与平面的夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵这I

65

【解析】

【分析】(1)先证明MN//EG,由线线平行得出线面平行;

(2)先根据MN的长最小求出3吃=处的比值，再由建立坐标系求出平面跖\入与平面的夹角

AEBD

余弦值.

【小问1详解】

延长AN交直线。C于点G,连结EG,

因为菱形ABCD,所以A5〃£>G,

所以需=AN

AG

「AMBN

又——=——

AEBD

所以嘿=崇所以MN〃EG,

因为平面EDC,EGu平面EDC,且MN11EG,

所以脑V//平面EDC.

【小问2详解】

取A。的中点。，连接尸0,BO,FD,BD,

因为菱形A5CD和菱形ADEF的边长均为2,ZFAD=ZBAD=60°,

所以F0=B0=栏，

且EOJLAD,BO±AD,

又FOBO=O,R9u平面FOB,BOu平面FOB,

所以AD,平面FOB,

又BF=5所以为等边三角形,

取80中点"，连接则Ef/_LO3,

由ADJ_平面FOB,得AD_LEH，

又FHLOB,AD1FH，OBAD=O,

所以EHL平面4BO,

所以以Q4所在直线为x轴，。2所在直线为>轴，过。作平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标

系，如图：

3百3八

—MH-------yH—Z,=(J

214141

即《

7330

——y——4=o

〔4'41

令y、=6，解得4=1,玉=1,则加=(1,、分,。，

n-DN-0

n-MN=0

1

上6_

二'九2+--%=0n

22

即《

百3八

%2一»=0

、44

令%=G，解得Z2=l,x2=-3,则〃二卜3,百/「

设平面MNA与平面MND的夹角为。，

m-n]V65

贝Ucos。二|cos加二

■

V65

即当的长最小时，平面MAA与平面的夹角余弦值为

~65~

18.动点M到定点/(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为记点/的轨迹为曲线「若夕(飞,兀)

为「上的点，且为片0.

(1)求曲线r的轨迹方程；

(2)己知4(—2,0),5(2,0),直线/交曲线r于两点，点。在X轴上方.

①求证：^A,4形为定值;

②若原0=3七C，直线/是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

22

【答案】(1)L+2L=i

43

(2)①证明见解析；②定点(1,0)

【解析】

【分析】(1)根据求轨迹方程的方法列式化简即可求得.

(2)①根据两点间的斜率公式，结合为「上的点，代入化简即可求得定值.

②直线/：x=my+t,根据两点间的斜率公式和条件施。=3七「结合韦达定理，求得方的值，从而确定

定点坐标.

【小问1详解】

设〃(x,y),动点M到定点尸。,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为g,

化简得工+f=i,

则&T)+/

\x-4\243

所以M的轨迹曲线「的轨迹方程三+匕=1.

43

【小问2详解】

22(2、

①尸(题,%)为T上的点,则9+九=1,或=31—4,

43<4J

(2、

因为4(—2,0),8(2,0),则%=-^_1―3(定值)，所以

%o+zxo-zXo-4=

kPA-kPB为定值.

②直线/恒过定点(1,0),理由如下:

31

由①知，-kBD=--,因为左BO=3%AC，所以左A。.Ke=_［，

22

设直线/：x=my+t,C(%,%),£>(%,%)，r：^+^-=l,

将直线,与曲线「联立方程得(3m2+4)/+6mty+3/—12=0,

2222

+%=-6：m,=3厂—12,A=36mZ-4(3m+4)-(3r-12)>0,

23m2+4-"23疗+4\)\)

因为4(—2,0),8(2,0),鼬=上不，L=告，

7v7

\x2+2再+2

所以

aAO.k=____2V?____=_1

所以ACx1+2x2+2(殴+『+2)(冲2+/+2)4'

即+4)%%+.m(V+2)(%+%)+Q+2)2=0,

所以3断+4)/—4)「6疗入+2)+2_16«+2)("1)

3加+43/+4')3?/+4=0-

由题知，tw—2，所以/=1.

即直线/恒过定点（LO）.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（七,％）,（9，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意A的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为七+々、占々（或%+%、％%）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

19.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，

它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设4。2，%，…，4,配由力3,…,2,eR,则

（a；+/H---仅「+----卜（aQi+a2b2H---F当且仅当4=。（，=L2,…或存在一

个数人,使得4=屹（i=12…/）时，等号成立.

（1）请你写出柯西不等式的二元形式；

（2）设尸是棱长为0的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为4、4、4、

%，求+d；+d；+dj的最小值；

（3）已知无穷正数数列｛4｝满足：①存在加GR,使得勾Wm（i=l,2,…）；②对任意正整数

i、j*j）,均有2万求证：对任意巩24,neN*＞恒有机

【答案】（1）答案见解析

⑵工

3

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出〃=2时的形式；

（2）由体积法求出$+&+&+%=子，构造柯西不等式求需+港+/+d：的最小值;

1

由a,-a,>-------

(3)Q<aki<ak^<-<ak^<m时2,3,,n有

h%%kK

〜十i-i

111

m>a>a一=++2----------------1---------------------FH------------

kk'■n—2

k“+k『ik“_i+k吁2k2+勺

3〃一4

由柯西不等式得加---------,可得加之/.

n+n—3

【小问1详解】

柯西不等式的二元形式为:

设%,