2024年中考数学 二次函数与几何综合压轴题(原卷版)

二次函数与几何综合压轴题

几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1.（2023•青海•中考真题）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1,O）,交丫轴

于点8（0,3）.

图2

（1）求此二次函数的解析式；

⑵设二次函数图象的顶点为P，对称轴与天轴交于点Q,求四边形A03P的面积（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M,使得AAMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满

足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

试卷第1页，共28页

2.（2023•内蒙古•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的交点分别为A

和8（1,0）（点A在点8的左侧），与了轴交于点C（0,3）,点P是直线AC上方抛物线上一动点.

备用图

（1）求抛物线的解析式;

⑵如图1,过点P作x轴平行线交AC于点E,过点尸作》轴平行线交x轴于点。，求PE+尸。的最大值及

点P的坐标；

⑶如图2,设点M为抛物线对称轴上一动点，当点p,点加运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形PMCN

为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.

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3.(2023•海南•中考真题)如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,8(3,0)两点，交y轴于点°(。,一3).点

P是抛物线上一动点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为(1,-4)时，求四边形3ACP的面积；

(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩

形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2,点D是抛物线的顶点，过点D作直线。//〃y轴，交x轴于点H,当点P在第二象限时，作直线

PA,PB分别与直线。》交于点G和点I,求证：点D是线段/G的中点.

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4.（2023•西藏•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于4（-3,0）,8（1,0）两

点，与y轴交于点C.

（2）如图甲，在y轴上找一点D,使□AC。为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由.

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5.（2023•四川甘孜•中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A（T,O）,B两点，与y轴相交于

点C（O，-3）.

（1）求b,c的值；

（2）P为第一象限抛物线上一点，口尸8。的面积与DABC的面积相等，求直线A尸的解析式；

（3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P,试探究，是否存在满足条件

的点E,使得点P恰好落在直线8C上，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

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6.(2023•四川达州•中考真题)如图，抛物线y的+bx+c过点A(-l,0),8(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P是直线上方抛物线上一点，求出口PBC的最大面积及此时点p的坐标；

(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以8C为边，点8、C、M、N为顶

点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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7.(2023•四川巴中•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线yox2+bx+c(a*0)经过点A(-l,0)和8(0,3),

⑵若直线》=机与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AN+MN有最大

值，并求出最大值.

(3)若点p为抛物线y以2+笈+以。*0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，。为平移

后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点"，是否能与A、P、。构成平行四边形？若能构成，求

出。点坐标；若不能构成，请说明理由.

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8.(2023•四川眉山•中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y。尤2+bx+c与x轴交于点

A(-3,0),8(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.

(2)当点P在直线4c上方的抛物线上时,连接B尸交4c于点D.如图L当急的值最大时,求点P的坐

标及纵的最大值;

DB

(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连接PC,将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点恰好

落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标.

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9.（2023•四川内江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y+bx+c与x轴交于8（4,。）,

C（-2,O）两点.与y轴交于点A（0,-2）.

⑴求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交A8于点K,过点P作y轴的平行线

交x轴于点D,求与gpK+尸。的最大值及此时点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

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10.(2023•湖北黄冈•中考真题)已知抛物线y=-；x2+fex+c与x轴交于A,2(4,o)两点，与y轴交于点

C(0,2),点P为第一象限抛物线上的点，连接CA,C8.P3,PC.

(1)直接写出结果；b=,c=，点A的坐标为,tan/ABC=；

⑵如图1,当NPCB=2NOG4时，求点P的坐标；

⑶如图2,点D在y轴负半轴上，。£>=08,点Q为抛物线上一点，/。&)=90,点E,F分别为

的边。上的动点，QE=DF,记BE+QF的最小值为m.

①求m的值；

②设DPCB的面积为S,若S-mi-k,请直接写出k的取值范围.

4

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11.（2023•湖北武汉•中考真题）抛物线C。=尤2-2尤-8交x轴于4,8两点（A在8的左边），交V轴于

1

点C.

⑴直接写出4B,C三点的坐标；

⑵如图（1）,作直线右f（0<f<4）,分别交无轴，线段BC,抛物线C于。,E,尸三点，连接Cb.若口

1

与相似，求才的值；

⑶如图（2）,将抛物线C平移得到抛物线C,其顶点为原点.直线y=2x与抛物线C交于O,G两点，过OG

122

的中点H作直线（异于直线OG）交抛物线C于两点，直线与直线GN交于点尸.问点尸是

2

否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.

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12.（2023•湖南郴州•中考真题）已知抛物线yg+笈+4与x轴相交于点A（1,O）,B（4,0）,与＞轴相

交于点C.

（1）求抛物线的表达式；

pA

⑵如图1,点尸是抛物线的对称轴/上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求熟的值；

⑶如图2,取线段OC的中点。，在抛物线上是否存在点Q,使tan/QOB=1■若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

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13.（2023•湖南•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线产以2+x+c经过点A（-2,0）和点8（4,0）,

且与直线/：>=-苫-1交于。、E两点（点。在点E的右侧），点M为直线/上的一动点，设点M的横坐标为

备用图备用图

（1）求抛物线的解析式.

⑵过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0<f<4,求口NEO面积的最大值.

⑶抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以8、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请

求出所有满足条件的点R的坐标.

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14.(2023•吉林•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=F+2x+c经过点4(0,1).点p,Q

在此抛物线上，其横坐标分别为机,2m(机＞0),连接AP,AQ.

(1)求此抛物线的解析式.

⑵当点Q与此抛物线的顶点重合时，求加的值.

(3)当ZPAQ的边与x轴平行时,求点尸与点。的纵坐标的差.

(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点尸)的最高点与最低点的纵坐标的差为刀，在点A与

1

点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为九.当h-卜=用时，直接写出根的值.

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15.（2023•青海西宁•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点A（6,0）,与y轴交于

点3（0,-6）,抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

（1）求直线1的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

⑶点P是直线1下方抛物线上的一动点，过点P作尸C，x轴,垂足为C,交直线1于点D,过点P作尸M,

垂足为M.求PM的最大值及此时P点的坐标.

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16.（2023•湖南•中考真题）如图，二次函数y=x2+及+c的图象与龙轴交于A,8两点，与>轴交于C点,

其中8（l,O）,C（O,3）.

（1）求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点尸，使得S=5?若存在，请求出尸点坐标；若不存在，请说明理

△PAC△A3C

由；

⑶点。是对称轴/上一点，且点。的纵坐标为。，当△Q4C是锐角三角形时，求。的取值范围.

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17.（2023•辽宁营口•中考真题）如图，抛物线y<w+fcr-l（awO）与x轴交于点4（1,0）和点B,与，轴

交于点C,抛物线的对称轴交工轴于点D（3,0）,过点B作直线/，x轴，过点。作DE，CD,交直线/于点E.

（1）求抛物线的解析式；

⑵如图，点尸为第三象限内抛物线上的点，连接CE和8P交于点Q,当假|=5时.求点p的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AC,在直线8尸上是否存在点尸，使得/DEF=NACD+NBED?若存在,请

直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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18.（2023•湖南湘西•中考真题）如图（1）,二次函数y="2-5x+c的图像与x轴交于A（-4,0）,5a,0）

两点，与y轴交于点c（o,-4）.

图⑵

⑴求二次函数的解析式和6的值.

⑵在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M，使S若存在，请求出点加的坐标;

/\BOM

若不存在，请说明理由.

（3）如图（2）,作点A关于原点。的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点©是圆在x轴上方圆弧上

的动点（点E'不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE,使点E移动到点

AAr

E',线段AE的对应线段为4/，连接E'C,AA，AA的延长线交直线E'C于点N,求国的值.

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19.（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，抛物线yam+乐+3与无轴交于点A（H，O）,8（3,0）,与，轴交

于点C.

（1）求抛物线的解析式.

4

⑵如图1,点Q是无轴上方抛物线上一点，射线轴于点N,若QM=BM,且tan/MBN=；,请

直接写出点。的坐标.

（3）如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交，轴于点D,AE的延长线交抛物线于点尸，点F在线段CQ

上，且C尸=。〃，连接E4,FE,BE,BP,若S=S,求口尸42面积.

AAFEAABE

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20.(2023•重庆•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y公+笈+2过点(1,3),且交x轴于点

A(-1,0),B两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线的表达式；

⑵点P是直线3C上方抛物线上的一动点，过点P作PD_L3C于点D,过点P作y轴的平行线交直线BC于

点E,求△p£>E周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中aPDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C8方向平移石个单位长度，点M为平

移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写出

所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

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21.（2023•四川广安•中考真题）如图，二次函数>=尤2+敬+。的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C,

点B的坐标为（1，。），对称轴是直线工=-1,点尸是天轴上一动点，无轴，交直线AC于点交抛物

线于点N.

（2）若点尸在线段4。上运动（点p与点A、点。不重合），求四边形A8CN面积的最大值，并求出此时点p

的坐标.

（3）若点尸在X轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以〃、N、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在，

请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

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22.（2023•湖北十堰•中考真题）已知抛物线y3+以+8过点8（4,8）和点C（8,4）,与，轴交于点A.

图1图2

（1）求抛物线的解析式；

⑵如图1,连接点。在线段AB上（与点4,8不重合），点厂是04的中点，连接ED,过点。作

DEL尸。交BC于点E,连接当QDEr面积是△的＞/面积的3倍时，求点£＞的坐标；

（3）如图2,点p是抛物线上对称轴右侧的点，〃（九。）是无轴正半轴上的动点，若线段08上存在点G（与

点。,8不重合），使得/GBP=NHGP=/B0H,求机的取值范围.

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23.（2023•四川•中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数yon+弧+4的图象与x轴交

于点4（-2,0）,2（4,0）,与V轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知E为抛物线上一点，月为抛物线对称轴/上一点，以B,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，

且/BFE=90。，求出点尸的坐标；

⑶如图2,P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交＞轴于点连接8尸并延长交，轴于点N,在点p

运动过程中，。河+gON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2

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24.(2023•黑龙江绥化•中考真题)如图，抛物线守g+fex+c的图象经过4-6,0),B(-2,0),C(0,6)

1

(2)点E,歹为平面内两点，若以£、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左侧.这样的

E,尸两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)将抛物线3axz+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y,此抛物线的图象与％轴交于M,

12

N两点(M点在N点左侧).点尸是抛物线y上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标为根.过

2

点P作尸DLNC于点£>.求相为何值时，+有最大值，最大值是多少？

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25.(2023•四川德阳•中考真题)已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点4-4,0),8(2,0),

与y轴交于点C(0,-4).

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180。，抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当

平面内的直线于区+6与新图象有三个公共点时，求k的值；

(3)如图2,如果把直线A8沿y轴向上平移至经过点。，与抛物线的交点分别是E,F,直线BC交EF于

点H,过点尸作尸GLC〃于点G,若=DF=24r-.求点尸的坐标.

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26.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，抛物线y=-