2024届山东省泰安市高考二模数学试题（含答案与解析）

试卷类型：A

2024届山东省泰安市高考二模试题

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知随机变量X服从正态分布NR，/）,且尸（L5W2）=0.36,则P（x>2.5）等于（）

A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86

1-i

2.若复数z满足——=i,则同=()

Z

A.不B.2C.&D.1

3.设等比数列｛4｝的前几项和为3,若53=5。2+66，则公比q为（)

A.1或5B.5C.1或一5D.5或—1

2T+1-8,x<l

4-已知函数，(x)=41og](x+l),x〉l且"m)=T2,则"6-7")=()

12

A.-1B.-3C.-5D.-7

22

5.已知双曲线C：二-----J=l,贝甘'm==2”是"双曲线。的离心率为若''的（）

mm+2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数/（x）=sinx-：,将函数/（尤）的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原

来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）

A.g（x）=2sin［—：］B.g（x）在［。4］上单调递增

C.g（x）图象关于点中心对称D.g（x）在:，*上的值域为［-夜，后］

7.设抛物线k=4〉的焦点为尸，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q,若NPQF=30。，贝I

心（）

A.-B.C,也D.-

333

8.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=，6平面ABD,平

面5CD,则该球的表面积是（）

A.40兀B.80兀C.10071D.16071

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知等差数列｛4｝的前几项和为S,，%=4,邑=42,则下列说法正确的是（）

c105

A.%=4AB.S——nH—n

n22

c.为递减数列D.｛」一｝的前5项和为工

InJanail+l21

10.已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线&4与SB互相垂直，△S43的面积为2,S4与圆锥底面

所成的角为30°，则下列说法正确的是（）

A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为3兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为扃D,二面角S—A3—O的大小为45°

11.已知函数〃x）=L—ln|x|—x+1,则下列说法正确的是（）

A.3meR,直线丁=一x+机与相切

B.BnGN\/(n)>l

C/(%)恰有2个零点

D.若〉0且/)+/(9)=2,贝i]x/2=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合A={x|廿一无一620},集合5={*|0<]<4},则AD5=.

13.已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则

甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同概率为.

14.已知在矩形ABCD中，AB=1,AD=C,动点尸在以点C为圆心且与6D相切的圆上，则

AP.AD的最大值为；若在「=机M+为位)。“”©!^,则加+〃的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高

学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，己知高一，高二年级每个学生通过测试的

概率分别为士，

(1)从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率.

(2)若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为3，则高一年级至少选派

3

多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.

16.己知函数/(x)=gsin[2x-]J,的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且

同岑

(1)求A；

(2)若sinC(l+cos3)=sinB(2-cosC),求£的值.

17.两个向量q和6的叉乘写作qxb，叉乘运算结果是一个向量，其模为卜乂囚=同1卜反(21，方向与

这两个向量所在平面垂直.若a=(%,%,zj,Z?=(x,,y2,z2),则

axZ?=(—y2zl,-(xlz2-/zj,/%-%月).如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角

梯形，ZBAD=9Q°,AB=-CD,AD=CD=2,O,E，F,G分别是A£>，PD，PC,AC

2

的中点.

AB

（1）证明：平面BOE//平面。PG；

（2）已知PA=PD=J?,PB=®H为PB中点、,以。为原点，。4的方向为x轴的正方向建立空

间右手直角坐标系.

①求DExDG；

②求三棱锥DHG体积.

18.己知函数/(x)=xe"-5ax?-ax(a>0).

（1）若"％）的极大值为1-L求。的值；

e

（2）当。〉工时，若％e[l,+8），亚e（-oo,0]使得/（玉）+/（%2）=0，求。的取值范围.

e

Xy2

19.己知椭圆G：f+=1（（7〉6〉0）的左焦点为歹上下顶点分别为A,B,离心率为e,点

a~

加（加,0）是方轴正半轴上一点，当又与右焦点重合时，原点。到直线雨的距离为e,当/与右顶点重

合时，直线的斜率也为e.

（1）求椭圆G的方程；

（2）设点尸（与A不重合）是点M关于直线丁=%的对称点，直线PF与椭圆G交于C,。两点，直线

AC马BD交于煎N,证明：Q叶+|ON『—|PN「为定值.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知随机变量X服从正态分布NR。）且P（L5<X<2）=0.36,则P（x>2.5）等于（）

A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可.

详解】由题意知，尸(L52)=0.36,所以尸(2Vx<2.5)=0.36,

则P(1.5<x<2.5)=0.36+0.36=0.72,

所以尸(x>2.5)=1-0(L5：X<2.5)=0.14.

故选：A

2.若复数z满足?=i，则同=()

A.75B.2C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=-1-i，则]=_l+i，结合复数的几何意义即可求解.

所以$=_l+i，故口=J1+1=应.

故选：C

3.设等比数列｛4｝的前几项和为5“，若53=5g+6%,则公比q为()

A.1或5B.5C.1或—5D.5或T

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和公式，采用基本量思想进行计算即可.

【详解】由S3=5g+6%=q+g+%得，4a2+5%=%，

所以4qq+5a]=%/,即q2-4q_5=0,

所以(q—5)(q+l)=0,所以q=5或q=-l.

故选：D.

2x+1-8,x<l

4-已知函数/")=41og1(x+l),x〉l且〃m)=T2,则“6-7")=()

A.-1B.-3C.-5D.—7

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数解析式，当初£1时机无解，当力>1时解得机=7,即可求解.

【详解】由题意知，当初£1时，/(m)=2ffl+1-8=-12,

得*i=T，又2"向>0,所以方程无解；

当/>］时，/(m)=41°gi(w+1)=-12,

2

得logj(〃7+l)=-3,即加+1=8,解得机=7,

2

所以/(6-ni)=/(-1)=2-1+1-8=-7.

故选：D

22

5.已知双曲线C：二----匚=1,贝厂加=2”是"双曲线C的离心率为宕”的()

mm+2

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得用的取值范围为｛-4,2｝,再根据包含关系分析充

分、必要条件.

【详解】若双曲线。的离心率为石，则有：

"2

a=m>0

当双曲线。的焦点在％轴上，贝"7,解得别>0,

/二m+2>0

可得小+曰=6，解得加=2；

Vm

I?=—(77Z+2)>0

当双曲线。的焦点在y轴上，贝".'),解得根V—2,

b=-m>Q

可得ji+m=g，解得加=-4；

综上所述：加的取值范围为｛-4,2｝.

显然｛2｝是｛-4,2｝的真子集,

所以“租=2”是“双曲线。的离心率为出”充分不必要条件.

故选：A.

6.已知函数/(x)=sin[x-将函数/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原

来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是()

A.g(x)=2sin[—：]B.g(x)在上单调递增

c.g(x)的图象关于点§,0中心对称D.g(x)在上的值域为卜点,何

【答案】C

【解析】

7T

【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得g(x)=2sin(2x-/),结合正弦函数的图象与性质，依次判断

选项即可.

【详解】A：将Ax)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，

7T

得到函数g(x)=2sin(2x—7)，故A错误；

,71

B：由选项A可知g(x)=2sin(2x-—),

由0<x〈巴，

2444

所以函数g(x)在(-]，勺上单调递增，在白，当上单调递减，故B错误；

4224

C：由选项A可知g(%)=2sin(2x--),则g(1)=2sin(2x]-勺=2sin0=0,

4oo4

TT

所以函数g(x)图象关于点(三,。)中心对称，故c正确；

8

D：由选项A可知g(x)=2sin(2x—/),由得：42》-2《中，

所以一5Wsin(2x_?41,贝「虎Mg(x)M2,即g(x)的值域为[_后,2],故D错误.

故选：C

7.设抛物线k=4〉的焦点为尸，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q,若NPQF=30。，贝I

|PQ|=()

-B.C.6D.

333

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得NPQF=30。，结合正切定义以及|月以|=2可得|Q同，进一步即可求解.

因ZPQF^30°,且归司=|P9,所以NP5Q=30°,NQPb=120。，

因为FM//PQ,所以NQFM=30,

而在RtVQM/中，IIcos30733，

所以|PR|=|PQ|=1^1+COS30三与=：.

故选：A.

8.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=46，平面ABD，平

面5CD,则该球的表面积是（）

A.40兀B.80兀C.IOOTID.160兀

【答案】B

【解析】

【分析】记球心为。，△3CD的外接圆圆心为。一△相£）的外接圆圆心为。2，3D的中点为E,证明

OQEO2为矩形，然后求出O1E=QE=2,QC=4,由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式

可得.

【详解】记球心为。，△3CD的外接圆圆心为Q,△A3。的外接圆圆心为。2，6D的中点为E.

因为A3=A£),所以人石工班)，

因为平面ABD，平面BCD,平面ABDc平面5CD=5£>,AEu平面

所以AEL平面5CD，

由球的性质可知，平面5CD,

所以OO//AE,同理OO2〃CE,所以四边形OO|EQ为矩形，

因为AE=CE=JAB。-BE?=6，所以O1E=QE=2,O,C=4,

所以。c=J42+22=2逐，

所以外接球的表面积为47tx仅指)=8071.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知等差数列｛%｝的前〃项和为S,，％=4,$7=42,则下列说法正确的是()

c115

A%=4AB.S——nH—n

n22

c.［为递减数列D.｛」一｝的前5项和为工

L〃J%%21

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d,再逐项求解判断即可.

【详解】等差数列｛4｝中，s7=7"%)=7%=42,解得久=6,而g=4,

因此公差d=：；=L通项/=a2+(〃-2)d=n+2,

对于A,%=7,A错误;

,十cn(3+n+2)15.

对于B,S=---------------——〃2H—〃，B正确；

222

对于c,%=1+—,｛%｝为递减数列，c正确；

nnn

11111,

对于D,--------=;——_-=--------------所以｛----f-----｝的前5项和为

a„a„+l(“+2)(〃+3)n+2n+3tz„tz,J+1

111111115

3445783824

故选：BC

10.己知圆锥的顶点为S,。为底面圆心，母线必与S3互相垂直，△S43的面积为2,S4与圆锥底面

所成的角为30°，则下列说法正确的是()

A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为3兀

C.圆锥侧面展开图的圆心角为后D.二面角S—A3—O的大小为45°

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥SO的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体

积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为SO与底面垂直，Q4为底面圆的一条半径，则SOLQ4,

所以&4与圆锥底面所成的角为NS4O=30°，

11,

又&所以△S43的面积为一=—义&4-=2,解得5A=2,

22

所以该圆锥的高为SO=S4-sin30°=2x^=1,故A正确；

2

对于B选项，该圆锥的底面半径为。4=SA-cos30°=2x43=6，

2

[12

故该圆锥的体积为兀义。42XSO=§兀x(6)~xl=7i,故B错误；

对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为。，

底面圆周长为2兀*40=26兀，则。=冥况=冥况=岳，故C正确；

SA2

对于D选项，取A5的中点石，连接O£,S£,

因为S4=SB,E为A3的中点，则SELAB,由垂径定理可得OE,AB,

所以二面角S-AB-O的平面角为N5EO,

因为SO,平面。4E,OEu平面AOE,则SOLOE,

因为5AJ_SB,SA=SB,则△SAB为等腰直角三角形，

则AB=j5A2+SB2=枝+方=2夜，所以SE=；AB=0，

所以，sinZSEO=-=-^=—,

SEJ22

因为0<ZSEO<90>故NSEO=45°，即二面角S—A3—O的大小为45°，故D正确.

故选：ACD.

11.已知函数/(x)=——ln|x|-x+l,则下列说法正确的是()

A.3mGR,直线丁=一九+加与/(x)相切

B.3neN*-f⑺>1

C./(%)恰有2个零点

D.若为々〉0且/(玉)+/(%)=2，贝|］七工2=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导数研究函数〃无)的单调性并作出图形，结合导数的几何意义即可判断A；根据函数的单调性

和/(I)=1,即可判断B；根据函数的单调性和零点的存在性定理即可判断C；当玉>0,x2>0、不<0,马<0

时，分别解方程+W)=皿%斗),即可判断D.

—Inx—x+1,x>0

【详解】由题意知，fM的定义域为{乂％w0},/(x)=：

—ln(—x)—x+1,x<0

+X+1

,x>0

X2

贝1Jr（x）=,,对于方程Y+%+1=0,A=—3<0,

X"+X+1

,x<0

x2

所以/（九）<0在｛Rxro｝上恒成立，故"X）在（-8,0）、（0,+8）上单调递减,

作出直线丁=-X和函数〃X）的图象，如图,

/(尤)=^-ln(-尤)-尤+1,则/(T)=l,7'(一1)=-1,

X

所以曲线y=/（元）在点（-1,1）处的切线方程为y=一%,

此时3/n=0使得直线y=—%与/*）相切，故A正确;

B：当%>0时，f（x）=--\nx-x+l,函数/（幻在（0,+8）上单调递减,

且/⑴=1>0"(2)=Tn2-g<0,贝悟在%e(1,2)使得/(%)=0,

当工«0,不)时,/(力>0且/⑴=1,当xe(%,+00)时,/(%)<0,

所以m〃eN*，使得/⑺21,故B错误;

C：由选项B的分析知，函数/⑴在（0,+oo）上有且仅有1个零点;

当X<0时，f(x)=--ln(-x)-x+l,/(X)在(—8,0)上单调递减,

X

又/（二）=2+2-e<0,/（-1）=1>0,由零点的存在性定理知,

ee

函数/（X）在（-8,0）上有且仅有1个零点，所以/（X）恰有2个零点，故C正确;

D:若石〉0,%2>0，则为+工2〉0，/（为）+/（%）=---In再一再+1H-----In九2—x?+1=2,

尤1

得d：?+X2）=1”占巧），解得X］々=1;

若不<0,%2<°，则再+%2<。，/(%)+/(%2)=---In(一玉)一芯+ld-----]n(—x2)—x2+1=2,

%x2

得（1―斗；［%+%）=ma%）,解得药々=1,

综上，若西马〉0且/（占）+/（々）=2,则占％2=1，故D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分

析，结合零点单调存在性定理求解即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设集合&={%|/一%一620},集合5={x|0<x<4},则AD5=.

【答案】2]u（0,+oo）

【解析】

【分析】求解一元二次不等式得集合A,再进行并集运算.

【详解】根据题意，A={X|X2-X-6>0}={X|X<-2,或行3},

则Au6={x|xW-2,或x>0}.

故答案为：（T0,—2]（0,+<»）

13.已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则

甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相同的选法，结合

古典概型的概率公式计算即可求解.

【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有C：C：=36种选法，

甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有C；C；C；=24种选法，

242

所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为「====.

363

2

故答案为：—.

14.已知在矩形A5C。中，AB=1,AD=6,动点尸在以点。为圆心且与5。相切的圆上，贝IJ

AR.AD的最大值为;若=+则加+〃的最大值为.

9

【答案】①.②.3

2

【解析】

【分析】建立如图所示坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为(#cose+6*sin6),即可

根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由AP=〃zAB+“AD(〃z,“wR),求出

m,n,根据三角函数的性质即可求出最值.

【详解】如图：以8为原点，以54,3C所在的直线为轴建立如图所示的坐标系，

则3(0,0),A(0,l),D(V3,1)>C(V3,0),AD=(V3,0)

一

动点P在以点。为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r,

BC=6CD=1,...BD=«国+f=2

：.-BCCD=-BDr,

22

.r.g

..r—--,

2

，圆的方程为-回+/4

则AP=1^^cos，+6,^^sin，一l,

设点P的坐标为(亭cos6+百,-^-sin0),02TI],

AP-AD=^3^-cos0+y/3=|cos£+3e-391Q

,故APAD的最大值为万,

AP=mAB+nAD[m.nGR),AB=(0,-1),

AP=cos3+y/3sin3-1=机(0,-1)+〃(6,0)=(也应-m),

1J3

••一cos6+1=〃，——sin。+1=/〃，

22

;.，〃+〃=—cos3-sin。+2=cos(6+—)+2,

TT

-1<cos(^+—)<1,

：.l<m+n<3,

故加+〃的最大值为3,

Q

故答案为：3

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高

学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的

32

概率分别为三，

（1）从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率.

（2）若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为则高一年级至少选派

3

多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.

473

【答案】（1）—-

729

（2）56

【解析】

【分析】（1）易知高二年级通过测试人数为X服从X求解；

（2）由高二年级D（X）=〃§2，[12-1=2结合标准差为?10求得人数，从而求得期望E（X）,再设高

一年级参加测试人数为加，通过测试人数为Y,则y〜得到E（y）=彳，然后由

E(y"E(x)求解.

【小问1详解】

解：设高二年级参加测试人数为〃，通过测试人数为X,则X〜由题意得，〃=6,

.•.P（X<4）=1-P（X=5）-P（X=6）,

=1V

_473

-729；

【小问2详解】

22n

D（X）

33~9

...〃=50,

"（x）=一

设高一年级参加测试人数为加，通过测试人数为y,则y〜3机,|）,

易知E"）=g

由题意，E（y）＞E（X）,即

„、5005

得z根2----=55—，

99

...高一年级至少派56人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.

16.已知函数/（x）=g

sinl2x-|j,的内角A,B,C所对的边分别为b,c,且

3

（1）求A；

（2）若sinC（l+cosB）=sin3（2-cosC）,求〈的值.

b

【答案】（1）—

3

⑵3

5

【解析】

【分析】(1)利用特殊角的三角函数值求角;

(2)法一，根据两角和差公式和正弦定理化简已知，可得C+Q=2b,再结合余弦定理求解；法二：利用

余弦定理化简已知得c+Q=2b,再结合余弦定理求解.

【小问1详解】

立,「sin71=昱

丁23一彳'

z.sinfA-j一,

2

c,兀4兀271

0<A<—vA—<—f

333

,兀兀,2兀

.♦.A—=—,A——；

333

【小问2详解】

sinC(l+cosB)=sinB(2-cosC),

法一：sinC+sinCcosB+sinBcosC=2sinB,

..sinC+sin(B+C)=2sinB,

/.sinC+sinA=2sinB,

根据正弦定理得C+Q=2b,

22

由余弦定理得+02-2bccosA=b+c+bc①

将a=»—c代入①式，得3必—5Z?c=0,

LC3

/.jib=5c,••~——

b5

法二:小+―A

I2acJ

、2ab?

.•.-2/+一

2a2a

；.c+a=2b,

由余弦定理得/=Z?2+c2-2bccosA=b2+c2+bc①

将a=2Z?—c代入①式，得3必_5拉;=0,

LC3

jib=5c,••———.

b5

17.两个向量q和6的叉乘写作ax)，叉乘运算结果是一个向量，其模为,乂囚=同1卜反°力，方向与

这两个向量所在平面垂直.若a=(%,%,zj,Z?=(x2,y2,z2),贝U

axZ?=(%Z2—,一(王Z2—),玉%—/%)•如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角

梯形，ZBAD=9Q°,AB=-CD,AD=CD=2,O,E,F,G分别是A£>,PD,PC,AC

2

(1)证明：平面BOE//平面DPG；

(2)已知P4=PD=石，PB=«,H为PB中点,,以。为原点，的方向为x轴的正方向建立空

间右手直角坐标系.

①求。ExDG；

②求三棱锥H-DFG的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)①[-I/,一]]；②；

【解析】

【分析】(1)根据中点关系可得线线平行，即可证明OE//平面mG,03//平面DHG,进而根据面面

平行的判定求证，

(2)根据长度关系，利用勾股定理可得/平面24。，进而建立空间直角坐标系，利用法向量求解点

面距，即可根据锥体体积公式求解.

【小问1详解】

证明：在△APD中，。，E分别为A£>，PZ)中点

:.OEAP

在△APC中，F,G分别为PC,AC中点

FGAP

:.OE//FG

FGu平面DFG,OEQ：平面G

.,.0£//平面。F6

连BG,OG>OG——CD,AB=—CD,.0G=AB

，四边形AOG3为平行四边形

:.BG=AO:.BG=OD

二四边形ODGB为平行四边形

OBDG

£>Gu平面。PG,平面DFG

故03//平面6G

OEu平面BOE,O8u平面BOE,且OEOB=O

平面50E//平面。HG

【小问2详解】

PA=y/5，PB=EAB=1

:.PB2=PA2+AB2>:.PA±AB，

又NSW=90°,ABIAZ),

AD,APu平面QA。，ADAP=A,

ABI平面PAD

又ABu平面ABCD,平面1.平面ABCD

PA=PD，。为AD中点

POLAD

又平面ABCDc平面PAD^AD

二。。，平面ABCD

，以。A的方向为X轴正方向，OG方向为y轴正方向，。尸方向为Z轴正方向，建立如图所示的空间右手

直角坐标系,

则。(-1,0,0),

.-.DF=I1,1,1LDG=(1,1,0)

DFxDG=

111=1

:.SDFG=^\DF\\DG\sinZFDG=^DFxDG++

44

法一：n=DFxDG=l是平面DFG的法向量

法二：设〃=(x,y,z)是平面。尸G的法向量，则

n-DF=0—x+y+z=0

，即42

n-DG=Qx+y=0

取x=2,则y——2,z=1

.•.«=(2-2,1)

DH=

\DH-n\

H到平面DFG的距离d=1..1=1

\n\

•••三棱锥〃—DFG的体积VH_DFG=|sDFGd=:

18.已知函数)=%/-；依2一女(〃>())

⑴若“力的极大值为1-L求。的值；

e

(2)当a〉工时，若可6口,+8),却«-<*0］使得/(%)+/(乐)=0,求。的取值范围.

e

【答案】(1)2(2)(―,e—］

ee

【解析】

【分析】⑴根据题意，求得了'(x)=(x+D(e*—a),令7•'(力=0,解得尸―1或x=lna,分类讨

论，求得函数/(力单调性和极大值，即可求解；

当。〉工时，由会：,0］和

(2)(1)得到了(x)单调性，分别求得“X)e(-00,max

e

ga(lna)2,+”)，结合题意，分类讨论，列出不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为函数/('=北一3取2一取g>o),可得r(x)=(x+i)e-a),

因为〃>0,令/'(x)=0,解得工二一1或x=lna,

当lna<—l时，即0<a<，时，〃力在(—。,1110)上单调递增,在(ina,-1)上单调递减,在(―1,+“)

e

上单调递增

所以/(%)的极大值为f(lna)=alna-^a(lna)2-alna=--aQna)2<0,不符合题意；

当lna=—1时，即"工时，/r(x)>0,/(x)R上单调递增，无极大值；

e

当1BQ>—1时，即时，/(力在(-8,-1)上单调递增，在(-1,Ina)上单调递减，在(lna,+8)上

e

单调递增，

所以/(九)极大值为1)=q—工=1一,，符合题意.

，ee

所以。=2.

【小问2详解】

解：当a>—时，

e

由(1)知，/(九)在(—",—1)上单调递增，在(—Una)上单调递减，在(Ina,+“)上单调递增，且当

Xf-8时，当Xf+00时，

i3

当lna<0时，即一时，当X£[l,+8)时，/(%)单调递增，/(x)e[e--6z,+(%>),

又因为当工£(­),。]时，/(x)G(-o5,max

31

因为e——a>0,所以，当一<。三1时，三毛e(-oo,0]使得/(%)+/(%2)=0,

2e

当OvlnaKl时，即IvaKe时，

3

当XG[1,+。)时，/(X)单调递增，/(x)e[e--6Z,+(X>),

当X£(—00,0]时,/(犬)£(―^，----]

乙e

Q11

若满足题意，只需一a—eV----,即l<a〈e—,

22ee

当Ina>1时，即a〉e时，

当xe[l,+8)时，/(力在(l,lna)上单调递减，(lna,+“)上单调递增

所以函数/(%)的最小值为/(x).=/(lna)=—；a(lna)2,

所以/'(%)e[-ga(lna)2,+e),

又因为XG(YO,0]时，/(x)e(-c»,-^--],

若满足题意，只需工a(lna)2<q—,，即工a[l—(Ina)?]2,，

22e2e

因为a〉e,所以1—(Ina)?<0,

所以，当a〉e时，不存在9e(—。,0]使得/(玉)+/(9)=0,

综上，实数0的取值范围为d,e」].

ee

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放

缩法，注意恒