浙江省金华十校2022-2023学年高二年级下册期末联考数学试题含解析

金华十校2022-2023学年第二学期期末调研考试

高二数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔

将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

M={x[/<1},N=x<—>

1设集合12J,则MDN=（）

A.{xlB.卜C.{xlx<1}D.卜|g<x<l）

2.“a=0且6=1”是“复数z=a+历（〃力eR）是纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

23

3.设1,Z7=log35,c=3-,则Q,0,c的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.b<a<cD.a<c<h

4.一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为60，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）

A.3:2B.3:1C.2:3D.1:3

7T

5.函数/（x）=sin（2x+e）的图像向左平移彳个单位得到函数g（x）的图像，若函数g（x）是偶函数，贝ij

tan°=（）

A.一百B.⑺C.--D.正

33

6.兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位:。元/千克）与上市时间“单

位：天）的数据如下表所示：

时间〃（单位：天）102070

销售价格。(单位：元/千克)10050100

根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间r变化关系：

Q=af+6,Q=加+仁。=//,Q=q.log/.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售

价格最低的日期为()

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

7.已知定义在R匕的三个函数/(x),g(x),〃(x),其中/(x)为偶函数，g(x),/z(x)是奇函数，且/'(X)

在［0,+8)上单调递增，g(x)在R上单调递增，网尤)在R上单调递减，则()

A.〃x)-g(x)是奇函数，且在(一40)上单调递增

B.〃x>g(x)是偶函数，且在(-8,0)上单调递减

C.g(x>〃(x)奇函数，且在(-。,0)上单调递减

D.g(x)/(x)是偶函数，且在(一。,0)上单调递增

8.正方体A3CO—A5G。的棱长为2,E尸,G分别为棱A4,，BC,C。的中点，则该正方体的外接球被平

面EPG所截的圆的面积是()

18272932

A.—71B.—71C.—71D.—71

11111111

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知平面向量d,•的夹角为且满足同=1,网=2,则()

A.ab=\B.{a-b^Va

C.\a-b\=yf3D,万在。上的投影向量的模为g

3

10.已知函数/(力=必+XH--R),则()

A.x=l是/(X)的极值点B.41)是/(力的最小值

C./(x)最多有2个零点D./(%)最少有1个零点

11.三棱锥A-BCD中，A31平面88,8。_LCD且8C=CD,BE,AC,BF_LAZ),E,尸分别为垂

足，G为80中点，则()

A

A.平面8£F_L平面B.平面平面AC。

C.平面平面ABCD.平面比F_L平面AGC

12.金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公

司决定通过微信公众号和其他A勿进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市

投入的广告费x与每晚增加的客流量y存在如下关系：

W万元123456

W千人56891220

666626

参考数据:y=1。，Z内=257,ZX；=91,Z2；=126,Z（2'）=5460,g24=1906

/=]/=）f=lZ=lZ=1

Y.x^-nx-y

附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：3---------,a=y-bx

玉?-nx一~0

Zi=l

现用曲线c：y=G+C2X2,拟合变量X与丁的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数C,,C2的最小二

乘估计（精确到0.1），依所求回归方程C为预测依据，贝M）

A.C1—5.8

B.曲线C经过点（log221,10）

C.广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人

D.若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式（丁一，］展开式的常数项是.

X

14.曲线y=e'cosx在x=0处的切线方程为

15.现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻

的概率是.

16.已知函数/(%)=<；「；'：：；，若/(/(x))>/(x)对任意》目—2,+8)恒成立，则实数〃的取值

范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知ae|o,^J,sin[a+；)=cos2a.

(1)求a的大小；

(2)设函数/(x)=sin(x+2«)+2sin2,求/(x)在[0,兀|上的最大值.

18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水

(1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度X的值：

(2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率a=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法

是否有关.

箱产量

养殖法合计

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

合计

n(ad-be)2

(P(Z2>6.635)=0.01,z2n=a+0+c+d)

(a+1)(++d)(a+c)(b+d)

19.如图，四边形ABC。是由ABC与正_ACD拼接而成，设AB=1，sin/BAC=J§sin/ACB.

(1)当/ABC=90时，设BD=xBA+)BC,求x,y的值;

(2)当NA8C=150°时，求线段8。的长.

20.如图四棱锥P-A6CD,点A氏C,。在圆。上，AB=AD=2,ZBAD=X2Q,顶点P在底面的射

影为圆心。，点E在线段上.

⑴若AB//CD,PE=2PD,当AE//平面P3C时，求X的值;

(2)若46与CO不平行，四棱锥P—A3CD的体积为J&PO=J5,求直线产。与平面人6所成角的正

弦值.

21.袋子中有大小相同的12个白球和6个红球.

(1)若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为求随机变量J的数学期望

(2)若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，

2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3余数为=0,1,2)时，从i号盒子中

摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率.

九2+]

22.已知函数/(x)=-------a\nx(a>0).

3

⑴若0=2,求函数“力的单调区间；

⑵若函数/(X)有两个不相等的零点玉,工2,极值点为％，证明:

(i)e<。%<a+1

(ii)玉+马>2a

注：6为自然对数的底数，e=2.71828.

金华十校2022-2023学年第二学期期末调研考试

高二数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔

将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

M={x|f<1},N=卜|x<—>

1.设集合12J,则MDN=（）

A.{xlB.卜C.{xlx<1}D.卜|g<x<l）

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合计算MuN即可.

【详解】M=[x\x2<l}={x|-l<x<l},故MUN={x|%<1},

故选：C

2.“a=0且6=1”是"复数z=a+历（a力eR）是纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可.

【详解】若a=0且b=l,则复数z=a+8i=i纯虚数，故充分性成立;

若复数z=a+抚（a/wR）是纯虚数，则a=O且力。0,故必要性不成立,

故"a=0且力=I''是"复数z=a+砥”,此R）是纯虚数”的充分不必要条件.

故选：A

3.,b—log35,c=33”则。泊,C的大小关系为（)

A.c<a<bB.a<b<c

C.b<a<cD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性可得OVQVCVI,根据对数函数的单调性可得人>1,即可求解.

【详解】=3.，而0<3*<3々3<3°=1，，0<a<c<l,

x/j=log35>log33=l,/.a<c<h.

故选：D.

4.一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为60，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）

A.3:2B.3:1C.2:3D.1:3

【答案】A

【解析】

P0

【分析】如图正六棱锥P—ABCDM中，取的中点则NPMO为侧面和底面的夹角，根据——的

0M

P0

值可求得^—的值.

AB

如图正六棱锥P—ABCD瓦'中，底面中心为0,取AB的中点M,连接PM,OM,

则ABA.OM,所以NPMO为侧面和底面的夹角，即NPMO=60"

因为P01底面A8C0E/，OMu底面A8C0E/,

所以所以殁=tan60=G，

OM

73am

又OM=—AB，所以65

2—AB

2

.POnr^33

所rr以h——=V3x—

AB22

故选：A

TT

5.函数/(x)=sin(2x+°)的图像向左平移1个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则

tan°=()

A.一6B.73C.一把D.@

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据图像平移得函数g(x)的解析式，由函数g(x)是偶函数，解出8,可得tang.

【详解】函数f(x)=sin(2x+e)的图像向左平移三个单位，得g(x)=sin(2x+曰+>)的图像，

977717T

又函数g(x)是偶函数，则有——+(p=kn+—,(AeZ),解得尹=攵兀--■,《eZ；

326

所以tanQ=tan(E_£)=—乎.

故选：C.

6.兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格(单位:Q元/千克)与上市时间/(单

位：天)的数据如下表所示：

时间〃(单位：天)102070

销售价格。(单位：元/千克)10050100

根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间f的变化关系:

。=画+尻。=。/+初+，,。=。g',。=心108/7.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售

价格最低的日期为()

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

【答案】C

【解析】

【分析】根据表中数据，描述杨梅销售价格。与上市时间。的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单

调函数，应选取。=。产+从+。进行描述，将表中数据代入。=ar+4+c可得。=0.1户一8f+170,利

用配方法结合日期可得答案.

【详解】根据表中数据，描述杨梅销售价格。与上市时间。的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单

调函数，

函数。=6+"。=。♦",Q=a,log"在a。0时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，

所以应选取Q=。/+初+。进行描述，

将表中数据(10,100),(20,50),(70,100)代入Q=aj+bt+c可得

100=100«+10/?+c[a=0.1

,50=400a+20Z?+c,解得,8=一8,所以。=0.1产一8.+170,

100=4900o+70/?+c[c=170

2=0.1(r-40)2+154,所以当f=40时杨梅销售价格最低，

而6月5日时/=22,6月15日时/=32,6月25日时，=42,7月5日时r=52,

所以Z=42时杨梅销售价格最低.

故选：C.

7.已知定义在R上的三个函数/(x),g(x),〃(x),其中/(x)为偶函数，g(x),〃(x)是奇函数，且“X)

在[0,+")上单调递增，g(x)在R上单调递增，/z(x)在R上单调递减，则()

A.是奇函数，且在(—,0)上单调递增

B./(x)-g(x)是偶函数，且在(一8,0)上单调递减

C.是奇函数，且在(y,0)上单调递减

D.g(x)/(x)是偶函数，且在(y,0)上单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可，其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号

有关.

【详解】令Af(x)=/(%)•g(x),N(x)=g(x〉〃(x),

因为/(x)为偶函数,g(x),〃(x)是奇函数,

所以“(一X)=/(-%)•g(T)=—/(x)g(X)=—M(x),

N(-x)=g(r)•〃(一x)=g(x)〃(x)=N(x),

即A/(x)=/(x)-g(x)是奇函数，N(x)=g(x)/(x)是偶函数，

因为g(x)，〃(x)是奇函数,g(x)在R上单调递增,从力在R上单调递减，

所以当xe(-oo,0)时,g(x)单调递增，%(x)单调递减,且g(x)<0、&(x)>0,

任取玉,与€(-8,0),设百<々，

则g(xJ<g(%)<0,0<〃(％)<〃(石),

所以-g(%)>-g(毛)>。

所以-g(%))/1(%1)>-g(x2)/z(x2)>0

所以N(xJ<N(w)，

所以N(x)=g(x)-/z(x)(YQO)上单调递增，

M(x)=〃x>g(x)在(一。,0)上的单调性无法判断，因为不知道“X)在(一”,0)上的符号，

故选：D

8.正方体ABCO—ABCQI的棱长为2,E,£G分别为棱朋,3。,8的中点，则该正方体的外接球被平

面七户G所截的圆的面积是()

18272932

A.—71B.—兀C.—71D.—71

11111111

【答案】C

【解析】

【分析】正方体的外接球直径即为体对角线的长，然后只需求出球心到平面MG的距离，即可由勾股定理

确定半径.

【详解】正方体的外接球直径2R为体对角线长+2?+2?=26,即R=5

取CG中点P,连接F>£,则在:中点。为外接球的球心，

于是0到平面EFG的距离是P到平面EFG的距离的一半，下求P到平面EFG的距离.

过E作EM_LAS,垂足为M,过P作垂足为0,连接AfAG,AC,8。，

根据题干数据，EF=Vl+5=V6-同理EG=&，

由于PC=H4且PC〃E4,则四边形PE4c为平行四边形，故P£〃AC,

显然AC人根据中位线性质fG//30，则ACJ.FG,于是PELFG,

又EM工FG,PE,EMu平面PEM，PE\EM=E,则/G_L平面尸石加，

又PQu平面PEM，故FGLP。，

又PQLEM,FGEM=M,FG,EMu平面MG,故「。」平面EFG,

又AM=，则EM=,sinZAME=~^=,

22V22

24

由PE//AC,则sin/PEM=sinZAME=—r=,于是PQ=PEsinZPEM=—/=,

42

即尸到平面EFG的距离为下，于是0到平面EFG的距离是丁,

V11>/11

设正方体的外接球被平面EFG所截的圆的半径为『，则r=,扁一(丝］=J3-—

297r

于是截面圆面积为兀，=一.

11

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知平面向量d”的夹角为：，且满足|a|=l,问=2,则()

A.ab^\B.(a-Z>)±«

C.\a-b\=>/3D.Z,在。上的投影向量的模为5

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用数量积的定义求解可判断A；验证(a-8)4=0可判断B；由卜—可2=(a—结合数量积

运算可判断C；利用投影向量的概念求解可判断D.

【详解】由6=同阵05方=1*2*；=1,故A正确；

•二(Q-〃)・Q=Q2-Q力=1-1=0,.,.(a-b)_La,故B正确；

,.[〃一司=(〃—/?)=a2-2a-h+h2=1—2+4=3,，,―=故C正确；

b在。上的投影向量的模为cos1=1,故D错误.

故选：ABC.

3

10.已知函数/(力=%2+X+——meR),则()

A.x=l是/(力的极值点B./⑴是/(X)的最小值

C./(X)最多有2个零点D,“X)最少有1个零点

【答案】AD

【解析】

【分析】求/'(%)确定/(X)在定义域上的单调性及极值可判断选项A；用零点存在性定理判断“X)在

X€(F,0)上存在1个零点可判断选项D;分析/(X)在X€(0,+8)上可能的零点个数可判断选项C;根

据/(1)有可能为正值，可判断选项B.

2c3

【详解】/(x)=x+%4---GR),(xx。)

/，(上2»1.$2:广3=(xf(2=3x+3),

而2x?+3x+3=2(xH—[---F3>0>

I4j8

所以当X€(YO,0)时，r(x)<0,当xw(O,l)时r(x)<0,当XW(l,+8)时用x)>0,

故/(x)在xw(—oo,0)时为减函数，在xe(O,l)时为减函数，在xe(l,+8)时为增函数，

且/'(1)=0,所以x=l是〃尤)的极值点，故A正确；

对于C：取4+因x,<-4,所以22一1,

〔2JM4

2

所以/(X])=Xy+%H------mNx；+玉一——77t=F+g-1-m,

‘iY

因为％<———ji1+时,所以%i+2I>l1+ml,

所以/(xj+g)-l-/n>|l+m|-l-m>0,

所以当x<X|时，/(x)>0,

取/=

max<-l,-7r।-j),因为/引―1,0),所以芯41,

333

所以/(%)=¥+W+----m

<1+x2H------m<1+-----m,

x2

13

因为［一而刁’叽所以兀"一MM，

3

所以+----m<\-\m-1|-/T7=<0,

*2

所以当无e(4,0)时，/(x)<0.

又/(X)在xw(-℃,o)为连续函数,

所以/(X)在XW(TQO)上存在1个零点，故D正确；

3

对于C：当机>6时，/(1)=6—m<0,一<l,Vm>1,

m

9393

所以/二+3+机一加=二+二>0,

3m“mmm

、」)，使得/(七)=0,

又〃x)在xe(O,l)上为减函数，所以存在唯一七€

3_3

f(yf/Tl)=7?7+\[niH---y=--ITl=yf/TlH--->0,

')5nyjm

又在xe(l,+8)上为增函数，所以存在唯一可，使得/(尤4)=0,

所以当机>6时，在xe(0,+8)上有两个零点，则/(x)在定义域上存在3个零点，故C错误;

对于B：/(1)=6-m(/neR),当机<6时，/(1)>0,

由上知存在xe(ro,0),使得〃x)<0,故/⑴不是的最小值，故B错误；

故选：AD

11.三棱锥A-68中，平面3。。,8。_18且6。=8,BE,AC,3F_LARE,尸分别为垂

足，G为8。中点，贝M)

C

A.平面四卯，平面4QB.平面班尸1平面AGD

C.平面5砂_1_平面ABCD,平面BEF平面AGC

【答案】AB

【解析】

【分析】因为A8_L平面BCD,所以AB_LC。，又BCLCD,则CO_L平面ABC,得CO_LBE,又AC_LBE,

则平面ACD,则BEA.AD,则A。，平面BEF,结合面面垂直的判定定理可判断A；由BE,平面ACD,

结合面面垂直的判定定理可判断B；若平面8EFJ_平面A8C,则ACJ_平面BEF,又AO_L平面BEF,则AC〃AQ,

与AC与AO相交矛盾,从而可判断C；记AGQBF=H,过8作BMVEH于M,则BM_L平面AGC,BM1CG,

又4BLCG,CGLBD,则CG,平面AB。，得CGLBF,则CGL平面HEF,则平面AB。与平面BE尸重合，

矛盾，从而可判断D.

【详解】对于A,因为ABL平面BCD,CDu平面BCD,所以ABLCZ),

5LBCLCD,ABHBC=B,AB,BCu平面ABC,则CDJ_平面ABC,

BEu平面ABC,贝ijCO_LBE,又4C_LBE,ACC\CD=C,AC,CDu平面4CD,

则BE_L平面ACD,又AOu平面ACD,则BE1AD,

XBF±AD,BECBF=B,BE,BFu平面BEF,则AC_L平面BEF,

因为ADu平面ABD,所以平面平面ABD,故A正确；

对于B,因为BE,平面AC。，BEu平面BEF,所以平面BE/，平面AC。，故B正确；

对于C,若平面BEF_L平面ABC,由平面BEFD平面ABC=BE,ACu平面ABC,AC1BE,

则AC,平面BEF,又AC平面BEF,则AC〃AQ,与4c与A。相交矛盾，故C错误；

对于D,idAGnBF=H,若平面BEFJ_平面AGC,且平面2EPD平面AGC=E",

过8作BM_LEH于M,连接AM,则BM_L平面AGC,而CGu平面AGC,则BM_LCG,

A8_L平面BCD,CGu平面BCD,则AB_LCG,

BC=CD,G为8。的中点，则CG_LB。，

又43,BOu平面ABO,则CG_L平面ABO,

而BRz平面ABD,贝I]CGLBF,

又BM_LCG,BMQBF^=B,BMBFu平面BMF,则CG_L平面BMF,即CG_L平面BEF,

又CG_L平面ABC,则平面A3。与平面BEF重合，矛盾，故D错误.

故选:AB.

C

12.金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公

司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市

投入的广告费x与每晚增加的客流量y存在如下关系：

力万元123456

W千人56891220

666626

参考数据：歹=10，Zx/=257，E＞；=91，Z2'=126，Z（2'）-=5460，Z2'y=1906

/=!/=1/=!/=!/=1

Y^-nx-y

附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：b=-^----------,a=y-bx

・x；-rix2

i=l

现用曲线C：y=G+，2x2-'拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数q,c?的最小二

乘估计（精确到0.1）,依所求回归方程C为预测依据，则（）

A.c,=5.8

B.曲线C经过点（log?21,10）

C.广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人

D.若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力

【答案】BD

【解析】

【分析】利用题目的数据，得出的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个选项判断即可.

6

【详解】由题知，£2>,=1906,y=10,

i=l

1616

-”」xl26=21,£（2）9=5460,

6/=i6j=]

1906-6x21xK）=但m3,

5460-6x2121407

c,=10--^-x21=—«5.2,

A错;

140767

347323

所以9=二+±±><2/,即3=5.2+0.2x2',

671407

令X=log221,求得yaio,B正确;

由上式可知，x每增加1，y应该平均增加0.4,c错;

若x>9,y>107.6,

而每晚最多能接纳的客流量为10万人，故D正确.

故选：BD

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式（％3一,）展开式的常数项是.

【答案】-220

【解析】

【分析】先求出通项公式，再令x的幕指数等于0,求得"的值，即可求得展开式中的常数项的值.

【详解】由于的展开式的通项公式为：

&=C；2（Y）-（-1/

令36-4r=0,解得r=9,

则其展开式的常数项为C；2(-1)9=-220.

故答案为：-220

14.曲线y=e'cosx在x=0处的切线方程为.

【答案】x-y+l=0

【解析】

【分析】根据导数的几何意义即得.

［详解］因为y=e*cosx,

所以y'=e'・cosx-ev-sinx,

当x=0时，/=e°-cosO-e°-sinO=l,y=e°cos0=l,

故切线方程为：y-l=lx(x-0),即x-y+l=0.

故答案为：x—y+l=0.

15.现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻

的概率是.

【答案】

6

【解析】

【分析】利用捆绑法及排列数公式，结合古典概型的概率公式求解.

【详解】甲乙丙三人每人一间随机安排共有A；种安排方法，

其中恰好只有甲乙两人住的房间相邻的方法有A；A；种，

A2A21

所以所求概率为「=旧六=:.

A96

故答案为：—.

6

16.已知函数若/(7(x))>/(x)对任意的xw［—2,+s)恒成立，则实数〃的取值

C人,人，U

范围是.

【答案】a<-6或。〉0

【解析】

【分析】令f=/(x),则题意转化为fe[a,a+4](1,+8)时,/«)>，恒成立，根据。与，的取值范围分类

讨论，列出不等式求解.

【详解】当xe(0,+8)时，〃x)=e*-x,/(x)=ev-l>0,故在(0,+8)上单调递增，

当xe[-2,0]时，f(x)=x2+a,在[—2,0]上单调递减，

令，=/(尤)，则当xe[-2,0]时，f(x)e[a,a+4\；当xe(0,+oo)吐/(x)e(l,+oo),

则题意转化为te[a,a+4](1,+oo)吐/⑴>，恒成立.

令(p(x)=er-ex,x>0,则(p'[x}=ev-e,

当0<x<l时，/(x)<0,9(x)单调递减；当x>l时，0(x)>O,°(x)单调递增，

故。(x)N。(1)=0,则eA>ejc-

所以,当f>0时，/(f)=e'-fNetT=(e-l)f>f,恒成立.

当a>0时，fe(l,+co),/(r)>f恒成立.

当aWO且fe(0,+<x>)时，/(f)>r恒成立.

只需考虑aWO且，G[a,a+4]「(-<x),0]时，/«)=*+。>/,即。〉一户+£恒成立，

当aMY时，te[a,a+4],y=-『+r单调递增，

则由。>一/+/恒成立，得〃>—(a+4)2+a+4,解得〃<-6,

当-4<a?0时，/e[«,0],y=—『+f单调递增，

则由。>一/+/恒成立，得a>_()2+o=o，矛盾，

综上可得：4<-6或4〉0.

故答案为：“<-6或。>0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知ae|o，m),sin|a+；J=cos2a.

(1)求a的大小;

(2)设函数/(x)=sin(x+2a)+2sin彳，求/(x)在[0,兀]上的最大值.

TT

【答案】(1)不

12

(2)2

【解析】

【分析】(1)由两角和的正弦公式及二倍角公式展开可得cosa-sina=立，即cos[a+f]=:，根据角

2I4；2

的范围可得答案；

(2)利用三角恒等变换化简/(x),利用三角函数的性质可得/(x)的最大值.

【小问1详解】

,•|兀、71.712•2

由sina+一二cos2a得sinacos—+cosasin—=cos~a-sma,

l4J44

(sina+cosa)=(cosa+sina)(cosa-sina)

因为aG所以sina+cosawO,

历(兀)1

解得cosa-sina=——，即cosa+—=—

2I4；2

r7inn],7i7ic,汽

又a+:旬二,彳|,所以a+-=一,则。=一.

4k42j4312

【小问2详解】

\(71、c.2X6.1-1-COSX(兀1,1

f(x)=smx+—+2sin"—=——sinx4--CO&X+2X------=sinx--+1,

2222I6)

xe[0,7r],所以工一,£一J，筌，

6L66_

1TTT/TT

当尤---——,即工=—时，/(x)的最大值为2.

18.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水

箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如图所示.

旧养殖法

(1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度X的值：

(2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率a=0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法

是否有关.

箱产量

养殖法合计

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

合计

(产(,"635)-。.01,力-("与(c+"a+c)s+d),。+力+。+〃)

【答案】(l)x=0.068

(2)表格见解析，有关

【解析】

【分析】(1)利用频率分布直方图的性质求解即可.

(2)列出列联表，求出力2,即可得出结论.

【小问1详解】

(0.004+0.020+0.044+x+0.044+0.010+0.010)x5=l,

解得x=0.068.

【小问2详解】

列联表如下：

箱产量

养殖法合计

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6040100

新养殖法3466100

合计94106200

零假设为”0：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关.

2n(ad-bc)2200x(60x66-40x34)2

因/=----、/、/—弋----=-----------------------»13.57>6.635,

(a+Z?)(c+d)(a+c)e+d?)100x100x94x106

所以推断“。不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

19.如图，四边形A3CD是由ABC与正二ACD拼接而成，设A8=l，sin/BAC=Jisin/ACB.

(1)当/ABC=90时，设8£>=xBA+.y8C,求x,y的值；

⑵当ZABC=150"时，求线段BD的长.

【答案】(l)x=2,y=\

(2)BD=#i

【解析】

71

【分析】(1)由题意根据正弦定理可得8c的长，由/A3C=90和正AACD可求得=再根据

平面向量线性运算，BD=BC+CD=BC+2BA，进而得出*，V的值.

(2)根据正弦定理和余弦定理可求出AC的长，进而得出cosNBAC,sinZBAC,利用余弦和差化积得到

cos/BAO=cosNB4C+],再根据余弦定理得出80的长.

【小问1详解】

在.ABC中，由sin/BAC=瓜in/ACB，

D

可知BC=CAB=6.

7Tjr7C

由于NA8C=—,：.ZACB=-,：.ABCD=-,

262

DC=AC^2,:.BD=BC+CD=BC+2BA>：.x=2,y=l.

【小问2详解】

=币,

斤-忖-4=,sin/BAC=更,

所以cos/BAC

2x1x772x/72V7

5xl_^x^1

cosZBAD=cosZBAC+—>-——产-------产C——-——产

I3j27722V722<7

BD=y/AB2+AD2-2ABxADcosXBAD

22

=J1+X/7-2X1XV7X—L=5/7

V2近

.-.BD=y/7.

20.如图四棱锥P—ABCD，点A6,C,O在圆。上，AB=AO=2,NBA。=120,顶点尸在底面的射

⑴若AB//CD,PE="D,当A£〃平面P8C时，求;I的值；

(2)若AB与CO不平行，四棱锥P—A6co的体积为遍,PO=J5,求直线PC与平面Q4B所成角的正

弦值.

【答案】(l)/l=L

2

⑵咨

【解析】

【分析】(1)做辅助线构建平面和平面PBC平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；

(2)通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出6C是直径，然后建立空间直角坐标系处理.

【小问1详解】

过E作所//PC交线段QC于b，连接赫.

EF//PC,跖a平面BBC,PCu平面P5C,..所〃平面PBC,

又AE〃平面P5C,EFRAE=E,E£4Eu平面

二平面〃平面P8C，

平