陕西省西安市八校联考2024届高三年级下册理科数学试题（含答案与解析）

西安市八校2023〜2024学年高三下学期联考试题

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓

名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择

题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.

5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

］已知全集U=R,集合加={x|y=Jl-x},N={-形,0,1,2,0},则（①加）N=（

A.{-72,0,1}B.{2,73}C.{1,2,73}D.N={2}

i62i

2.i，是虚数单位，若复数z=」+^,则Z的共轨复数（）.

1+i

13.八13.c13.r31.

A.-------1B.—+—iC.-----F—1D.-------i

22222222

7T

3.将函数/'（x）=2sin（2x-§）的图象向左平移机（m>0）个单位，所得图象关于原点对称，则相的值

可以是（）.

4.已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差£）（X）=（）

X02040

Pm2mm

A.120B.160C.200D.260

0<2x+y<4

5.已知尤，y满足约束条件■x-y>-2则z=-3x+6y最大值为（)

x<2

A18B.14C.10D.-30

6.随机取实数看,，£（—1,8）,则关于元方程犬+2比+々—3=0有两个负根的概率为（）.

7.如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该几何体的体积为（）.

A.15兀B.20兀C.26兀D.30兀

8.已知二次函数丁=一/+。一。）》+。5的图象与X轴交于A、3两点，图象在A、8两点处的切线相交

于点尸.若。）=1,则1a的面积的最小值为（）.

A.1B.72C.2D.4

9.某三甲医院选定A、B、C、。、E,5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，

A与2必须在同一医院，3与C一定不在同一医院.则不同的选派方案有（）

A48种B.42种C.36种D.30种

22

10.已知双曲线三-方=1（。〉0］〉0）的一条渐近线经过点P（3,—9）,则该双曲线的离心率为

).

A.MB.3C.2夜D.用

11.已知函数了(%)为偶函数，满足/(x+2)=-了徐,

且一2＜九＜0时，/(%)=-2,若关于

x的方程/(x)—log.(x+l)=0至少有两解，则”的取值范围为().

A.[§,3]B.^0,—u[3,+00)C.I[3,+co)D.—,3

12.已知函数/(x)=1+lnx—2的零点为A,g(x)存在零点演，使|西一々|<3，则g(x)不能是

().

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=4x~i-2-x-l

C.,g(x)=cos(x+—)D.g(x)=lg(5x+l)

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知单位向量q，4,向量。二九6一？々，b=2el+e2,若〃_[_/?,则实数丸=

14.已知工[卡—的展开式中，含x项的系数为左，(1一区)°=%+〃1%+。2%2+,,+40%10.则

10(x)

%+++60=.

15.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从

参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图(如图).其

中，成绩分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的

16.已知椭圆二+丫2=1(。〉1)的上顶点为&,B、C在椭圆上，AABC为等腰直角三角形，A为直角，若

a

这样的AABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为.

三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题.第22,23题为选考题，考生根据要求作答)

(-)必考题：共60分.

17.已知各项均为正数的等比数列｛4｝,满足24+16%=3,

(1)求数列｛4｝通项公式；

n]

(2)设d=£log24,数列｛嘉｝的前"项和为小求证：-2<Tn<-l.

i=l

18.已知AABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为服b、c,且

JTJT

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+6)的值；

(2)若AABC的面积为12后，求c的最小值.

19.如图所示多面体EF-ABCD中，四边形A3CD和四边形AC所均为正方形，棱AFLBD,G为EF

的中点.

(1)求证：CE_L平面ABCD；

(2)求二面角A—CG—3的余弦值.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线S:x2=2py(p〉0),其焦点为R过点厂的直线/交抛物线S

于A和2两点，14引=日，角夕=60°(如图).

w

(I)求抛物线s的方程；

(2)在抛物线S上是否存在关于直线/对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存

在，请说明理由.

kx

21.2知函数=ln(x+l)T-------(左wR).

x+2

(1)若/(x)在其定义域上单调递增，求上的取值范围；

(2)证明：对V"$N+，-^―+—-—+——++—<In2.

n+1n+2几+3In

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

［选修4-4：极坐标与参数方程］

-1后,

X-1------1

2

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为〈C为参数).以原点。为极点，》轴正

y=2+显t

2

半轴为极轴建立极坐标系，曲线「的极坐标方程为夕=4cos氏

(1)求出直线/的普通方程和曲线厂的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线厂相交于A、B两点，求|AB|的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|2x+a|+2|Z-x|.

a

(1)求/(尤)的最小值；

(2)若。="(%)嘘,求不等式穴Jl)V2x+5的解集.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

]已知全集0=区，集合M={xly=Jl_x},N={-0,0』,2,6},贝|J(eAf)N-(

A{-72,0,1}B.{2,73}C.{1,2,73}D.N={2}

【答案】B

【解析】

【分析】先求集合M,然后由集合的运算可得.

【详解】由1一%»0解得〃=(—"J],

所以e"=(1,+“)，所以@M)CN=[2,Q}.

故选：B

i62i

2.i是虚数单位，若复数z=」+^,则z共轨复数W=().

1+i

13.13.「13.31.

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共辗复数的意义求解即得.

(-l+2i)(l-i)l+3i13.

【详解】依题意，(l+i)(l-i)―221

—13.

所以z=7—i.

22

故选：A

jr

3.将函数/'(x)=2sin(2x—§)的图象向左平移能(m>0)个单位，所得图象关于原点对称，则机的值

可以是().

兀4兀

A.—B.兀C.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.

TT

【详解】将函数/（x）=2sin（2x-］）的图象向左平移机个单位,

得y=2sin（2（%+〃/）一三=2sin12%+2加一三）的图象,

因为y=2sin［2x+2m—gJ的图象关于原点对称，

JTJTKTr

所以2m=kit,keZ,即〃z=—H-----,keZ,

362

5兀

当左=3时，得加二忙，

3

,.TlkuTI71ku71ku4兀山.皿,

使加=一H-----二—,m---\---=兀，m---\----=——的整数人不存在.

62362623

故选：D

4.已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D（X）=（）

X02040

pm2mm

A.120B.160C.200D.260

【答案】C

【解析】

【分析】根据概率和为1，求得加，再根据分布列求E（X）,再求£>（X）即可.

【详解】由题可知：机+27〃+加=1,解得机=：,则E（X）=0x机+40/〃+40机=80=20；

故£>（X）=；（0—20）2+1（20-20）2+1（40-20）2=100+0+100=200.

故选：C.

0<2x+y<4

5.已知x,y满足约束条件<%-丁2-2,贝！］z=-3x+6y的最大值为（）

x<2

A.18B.14C.10D.-30

【答案】B

【解析】

【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可.

【详解】由约束条件作出可行域如图,

目标函数z=-3x+6y,即为y=Lx+」z,作出直线y=,

262

由图可知，当直线y=gx平移至A处时，z取得最大值，

x-y=-29o

联立《解得A（；,9,

2%+y=4

2Q

则目标函数Z的最大值为z=-3x—+6x—=14.

33

故选：B.

6.随机取实数/e（-1,8）,则关于尤的方程*2+2a+4/-3=0有两个负根的概率为（）.

2577

A.-B.一C.—D.—

39912

【答案】D

【解析】

【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时才的范围，然后由区间长度比可得.

【详解】若方程式+2比+4，—3=0有两个负根，

一/<0

3

则〈书—3〉0,解得一</<1或，>3,

4

4/2-4（4?-3）>0

3

又/e（—1,8）,所以当一（/<1或3<f<8时，方程犬+2笈+4，—3=0有两个负根,

4

3

1--+|8-3|

故所求概率p=4।।7

A（T）|12

故选：D

7.如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该几何体的体积为（）.

A.15KB.20兀C.26KD.30兀

【答案】A

【解析】

【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.

【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3,高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3,高为6

2323

故选：A

8.已知二次函数丁=一%2+3-。）1+。/?的图象与x轴交于A、B两点，图象在A、8两点处的切线相交

于点P.若H?=l,贝L的面积的最小值为（）.

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点尸坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值.

【详解】设4（%,O）,B（X2,0）,

则A与巧是方程一丁+（/?—a）x+aZ?=0的两根,

则再+々_a,X[X2=-ab,

-々，

|AB|=|xj-x2\=J-4xtx2=\a+b\

又y=-2x+b-a,

则函数y=-*+仅一0卜+"在点A&,o)处的切线方程为丁=(-2%+Z?-a)(x-x1),

同理函数y=--+(>-在点6(尤2，。)处切线方程为y=(-29+b—a)。;一％)，

%_玉+%2_b-a

y=(-2%+j)(x-xi)22

则，

y=(-2X+6-〃)(1一%)‘牛寸2西西》)2

2(-%1+X2)(%1+X,)--42(a+

y=

222

b-a

即点尸

22

7

则SABP=g|A8H%>|=；|a+b『之:-4ab-2痣=2,当且仅当a=b=l时等号成立,

故选：C.

9.某三甲医院选定A、B、C、D、E,5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中,

A与5必须在同一医院，5与。一定不在同一医院.则不同的选派方案有()

A.48种B.42种C.36种D.30种

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果.

【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况:

第一种：第一堆除了A3之外，还有一名医生，第二堆是。，第三堆是1名医生,

则此时选派方案有：C；•A；=12种;

第二种：第一堆为A3,第二堆是C,第三堆是剩余两名医生,

则此时选派方案有：C；•A；=6种;

第三种：第一堆为A3,第二堆是C以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生,

则此时选派方案有：C；•A；=12种;

综上所述，所有选派方案有：12+6+12=30种;

故选：D.

22

10.已知双曲线二―4=l(a>Q,b>0)的一条渐近线经过点P(3,-9),则该双曲线的离心率为

«2b2

).

A.V10B.3C.2&D.币

【答案】A

【解析】

【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.

22

【详解】双曲线当=1(〃>0/>0)的渐近线方程为y=±-x,

a2b2

又渐近线过点p(3,—9),即—9=—：x3,则3=3,

所以离心率e=£=

a

故选：A.

11.已知函数”X)为偶函数，满足〃x+2)=—7"，且—2WXW0时，=—2,若关于

X的方程/(x)—log“(x+1)=0至少有两解，贝I］。的取值范围为().

B.u[3,+coD.?3

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.

【详解】由已知/(x+2)=—KJ,

则〃x)=一八：2)，则/(x+2)=/(x—2),

可知函数/(九)为周期函数，最小正周期T=4,

又当—2WxW0时，/(%)=—2,

可知函数/(尤)的图象如图所示，且/(X)的值域为[-1』，

关于X的方程/(力—log"(X+1)=0至少有两解，

可得函数y=/(%)与函数y=log”(1+1)的图象至少有两个交点,

当a>l时，log〃(2+l)Wl=log“a,解得a23,即ae[3,+a),

综上所述ae[o,gu[3,+(»),

故选：C.

12.已知函数/(x)=4"+lnx—2的零点为A,g(x)存在零点巧，使|王一々1<3，则g(x)不能是

().

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=甲一〜…

5兀

c.g(x)=cos(x+—)D.g(x)=lg(5x+l)

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出/的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解.

【详解】函数/(%)=平+111》—2定义域为(0,+8),函数/*)在(0,+8)上单调递增，

而/(g)=4^+lng—2=—ln2<0,/(l)=2〉0,因此;<玉<1,

2

对于A,由g(x)=0,得(x+l)(x—1)(3%—2)=0,解得x=—1或x=§或x=l,

显然I玉—耳|</或I%—11<5,A能；

对于B,由g(x)=。，得二•2?”—7•二=。，解得％=；,

422X3

3-3-1r-i31151

/(-)=22+ln——2>22+ln-=-2=2V2-2.5>0,即一<与v—,-<x——<—<-,B能；

44册214613122

ST?ST?7T

对于C,由g(x)=。，得cos(%H----)=0,则%+—=ku—,keZ,

12122

jr兀111兀］

解得尤=航H----,keZ,取左=0,%=—G(一,一),—<玉----<一,C能；

1212436122

对于D,函数g(x)=lg(5x+l)在(―；,+8)上单调递增，g(0)=0,而玉—0>；,D不能.

故选：D

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令/(%)=0,如果能求出解，则有几

个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间句上是连续不断的曲线，且

f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用

图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，

就有几个不同的零点.

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.已知单位向量q，4,向量。二几6一？々，b=2el-^e2,若q_L/?,则实数7=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量垂直的性质即可求解.

［详解］因为〃_Lb，所以a,/?=(&i-2q),(2q+q)=2&］+—4),e2—2^2=24—2=0

故4=1.

故答案为：1

102

14.已知」-［九2一工］的展开式中，含1项的系数为左，(1-Ax)=a0+axx+a2x+十阳”则

q+a?++io—.

【答案】1023

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得左，再通过赋值法先求弱，再求目标即可.

【详解】—的展开式的通项公式为

101X)

5,

令厂=3,则可得含X项的系数左=jxc；x(—1)3=—1,则(1—丘)°=(1+力|°,

10

对(1+x),令％=0,解得/=1；对+令x=l,解得/+%++«10=2=1024,

故%+%++°io=1024—1=1023.

故答案为：1023.

15.某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从

参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图(如图).其

中，成绩分组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的

【解析】

【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数.

【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为

(0.01+0.005+0.01+0.015)x10=0.4,

数学成绩在区间[60,120)的频率为64+0.025x10=0.65,

因此数学成绩的中位数me（110,120）,且0—110）x0.025=0.1,解得m=114,

所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114.

故答案为：114

16.已知椭圆二+/=1（。〉1）的上顶点为A,B、C在椭圆上，AABC为等腰直角三角形，A为直角，若

a'

这样的AABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为

【答案】0,

【解析】

【分析】设直线A3方程为y=Ax+l,直线AC方程为y=—：x+l,求出弦长|人耳,恒。|,根据

14耳=|AC|整理可得（左—1）［左2+（1—〃*=0,由方程有唯一实数解可得1<q<外，然后可得离心

率.

【详解】由椭圆鼻+y2=1（。〉1）可知4（0,1）,

a

易知，直线与AC的斜率存在且不为0,

故可设直线A5方程为丁=区+1,直线AC方程为y=—4》+1,

k

联立匕2消元得左2+1）尤2+2〃依=（）,

x~+ay-=a、'

2a2k

解得x=—

Ba2k2+1

1,,

y——x+12ak

同理，联立《-k可解得%=半\

x2+a2y2=a2a~+k~

由题知，|的=|AC|,

所以J1+42|xB|=jl+-^-|xc|）即J1+42，2］」=

2

VKClK"T1cr+k

整理得（左一1）［k2+0_〃）左+i］=0,

因为％=1为上述方程的根,

所以，要使满足条件的△ABC有且只有一个，方程42+（1-左+i=o没有实数解，或者有两个相等的

根％=1.

当A=（l—/丫―4<0时，解得1<。<6，

当小二。—/1—4=0时，解得a=JL此时方程左2+（1一4）左+1=0的根为i.

综上，l<a<6.

【点睛】求离心率的方法主要有：

（1）定义法：根据题意求出mc,然后由离心率公式直接求解;

（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得/力2,0?的关系式，利用尸=〃—02消去

b-，然后两边同时除以/转化为关于e的方程或不等式即可求解.

三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题.第22,23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分.

17.已知各项均为正数的等比数列｛4｝,满足2%+16%=3,2a3a6=说.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）设〃=£log24,数列｛；｝的前〃项和为T”.求证：—2<qW—1.

z=l么

【答案】（1）

（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；

（2）先根据等差数列求和公式求，然后利用裂项相消法求备即可得证.

【小问1详解】

记数列｛4｝的公比为4,

”2

2%+16〃I9=3解得q=q=：,

・%q5_

【小问2详解】

由（）可得,—n，

1log2an=log2

1

所以么=Sog2=E(-0=———

i=li=l/

12_I22

所以厂=

b”n(n+l)I"n+1

:—卜,,+[:卜〔2-£

所以（=—=-2+—

n+1

2

因为〃EN*,所以0<——<1,

n+1

2

所以—2<-------2<-l,即—2<7；K—1.

n+1

18.已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、。所对的边分别为服b、c,且

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+B),a<c,b<c.

36

(1)求tan(A+i?)的值;

（2）若AABC的面积为12出，求。的最小值.

【答案】（1）73

⑵12

【解析】

【分析】(1)由三角恒等变换化简可得sinC,再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；

(2)由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.

【小问1详解】

O.r兀兀ryXI7TI兀

因为sin?C=sin2B+sinl—+B)cos(—+5)=sin25+—sin—+2B+sin—

362^2)6

=sin2B+—\cos25+—|=sin2B+—(l-2sin2—,

2(2)2V744

因为sinC〉0,所以sinC=43,

2

由AABC为钝角三角形且q<c,5<c知，。为钝角，

所以cosC=—万，即tanC=—\/3，

所以tan(A+3)=tan(兀一C)=_tanC=G.

【小问2详解】

因为S^ABC=gabsinC=^-ab=12G,

所以ab=48,

由余弦定理，=a2+b~-labcosC=a2+b~+ab>3ab=144，

当且仅当a=〃=46时，等号成立，

此时02的最小值为144,所以c的最小值为12.

19.如图所示多面体£咒-45。0中，四边形ABCD和四边形ACEP均为正方形，棱AFLBD,G为EF

的中点.

(1)求证：CEJ■平面A8CZ)；

（2）求二面角A—CG—5的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明”，平面A2CD,再利用A尸〃CE即可证得结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A-CG-3的余弦值即可.

【小问1详解】

证明：四边形A2C。和四边形ACEF均为正方形.

AF±AC,又且AC与瓦）是平面ABCD上的两条相交直线.

平面ABCD

由ACEF为正方形，得A尸〃CE,

.•.CE，平面ABCD

【小问2详解】

由题意知，直线A3、AD,AF两两互相垂直.分别以直线A3、AD.AF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

系A-孙z.

设AB=2,则AC=2啦,

于是，有A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,£＞（0,2,0）,E（2,2,2吟,F（0,0,272）,

G（l,1,272）,

.•.BG=（-1,1,2V2）,BC=（0,2,0）,DB=（2,-2,0）.

设平面BCG的一个法向量为行=（玉,%,zj,

fi-BG=-X]+X+20Z]=0%=°,r

则〈ni—，令Z]=l,得X]=2j2,

n•BC-2M=0x[=272Z[

所以“=(2忘,0,11

AF±DB,DBLAC,AFAC=AAfACu平面ACEF,

.^.JDB，平面ACEF，即平面ACG

：.DB=(2,-2,0)是平面ACG的一个法向量.

设二面角A—CG—5的大小为a,结合图形，知々为锐角,

।I|小。44也4A/22

cosa=cosn,DB\=~~~(——y=,———

\n\]DB\J(20+fx百+(—2)23x2e3

2

.1二面角A-CG-B的余弦值为］.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线5：/=2勿(°〉0),其焦点为F,过点F的直线/交抛物线S

于A和B两点，角夕=60°(如图).

(1)求抛物线S的方程;

(2)在抛物线S上是否存在关于直线/对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)Y=4〉；

(2)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)求出直线/的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出。即得.

(2)假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得.

【小问1详解】

抛物线S:炉=2刀的焦点F(0,4)，直线/方程为y=1%+2，

■2732

设A（王，%）,5（%2，%），

由<32消去>得：3x?-26px-3P2=。,则西+%2=----P9

x2=2py3

yi+y2=^.（Xi+X2）-+p=lp,\AB\=\AF\+\BF\=yi+y2+p=^p,于是|p=?,解得

2=2,

所以抛物线S的方程为d=4y.

【小问2详解】

由(1)知直线/：y=—x+1，

3

假设在抛物线S上存在关于直线/对称的相异两点，设这两点坐标为M(X],予川仁,.)

22

%1x2

于是直线MN的斜率kMN=X2Z=%+%）=—6,解得为+%2=T,

x1-x24

线段MN的中点(—2退,为)在直线/上，则为=T，而(—24,为)应在线段A3上，必有为>0与

为=T矛盾，

所以在抛物线S上不存在关于直线/对称的相异两点.

【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点,

可直接使用公式|43|=为+%+。(或|AB|=%+%+0)，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

kx

21.2知函数/(%)=ln(x+l)+----(左wR).

x+2

(1)若/(九)在其定义域上单调递增，求上的取值范围；

(2)证明：对D〃£N+，-^―+—-—+——++—<In2.

〃+1n+2几+32n

【答案】(1)[-2,+co)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函

数/(%)单调递增=>/(％注0恒成立，令导数/'(x”0,过程中对参数上进行分离参数得左2—

2(x+l)

在(-1,+8)上恒成立，再将问题转化成研究具体函数丸(力=—E±*(x〉—1)的最值问题即可.

2y

⑵由(1)知，当左=—2时，"％)在(一L+8)上单调递增得ln(x+l)>「，再根据所需求证不等式

4I乙

。IO1-111

的特征令a=一匚不等式变成In—>a,再根据所需依次令a=——,——,——，-，一(九6乂)进

x+22-an+1n+2n+3In)

行研究即可得到.

小问1详解】

由题"％)的定义域为(―1,小),

1人(x+2)—Ax(x+2)~+2左(x+1)

/'(x)=(x>

x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2

f(x)(T+8)上单调递增时，((x)20在(―1,T8)上恒成立,

(x+2『

得(1+2)2+2左(X+1)>0在(一L”)恒成立，即左2—在(-L+8)上恒成立,

2(x+l)

、n./\(x+2)-/、,,/、12(x+2)(x+l)_(x+2)x(x+2)

J2(x+l)\)-2(x+1)-2(x+l)2

由"(x)=0,得％=0,或％=-2(舍去),

当一1<%<0时，〃(x)>o,〃⑴在(—1,0)上单调道增；当x>0时，〃(x)<0,

力⑴在(o,+8)上单调递增，

.•/(尤)在％=o处取得极大值也是最大值，即［〃(%)［■=〃(°)=一2,

kN—2,

\"X)在其定义域上单调递增时，上的取值范围为［-2,+8).

【小问2详解】

由(1)知，当左=—2时，/(%)在(一1,”)上单调递增.

・•・当左二一2,%>0时，/(x)=ln(x+l)----->/(0)=0,即In(%+1)>----.①

x+2x+2

令4=工，则X=工，代入①，整理得In”2>原②

x+22—a2—a

在②中‘依次令』

,^2〃+31]2〃+512n+7114n+l1

顺次得ZF到(1In------->——，In-------->-------，I1n-------->------In------->一.

2n+l〃+12〃+3〃+22〃+5n+34n—12n

将以上各不等式两边分别相加并整理，得

1111।4n+l,(1「「一

----+-----+++一<In-------=ln2----------<ln2.证毕.

〃+1〃+2n+3-------In2M+112n+lJ

【点睛】方法点睛：导数与单调性关系:

(1)在函数定义域内，不等式/(九)〉0的解即为函数>=/(%)的增区间；不等式/'(%)<0的解即为函数

>=/(%)的减区间.

(2)若函数丫=/(尤)在区间(。力)(区间端点也可闭)内单调递增，则f0)20对xe(a,Z?)恒成立；若

函数y=/(x)在区间(。力)(区间端点也可闭)内单调递减，则/(x)<0对xe(a,〃)恒成立.

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

［选修4-4：极坐标与参数方程］