2024年高三三校联考数学模拟卷详细解析

2024年高三三校联考数学模拟卷参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.复数2满足，（z+，）=2+i,则目=（）

4&B忑C.V5D而

【答案】D

忖林1,b+0=百，则。在〃上的投影向量为（

2.已知)

4旦1C乌17

B.—aD.-b

2222

【答案】D

3.若非空集合A,8,C,。满足：AC=C,BC=D,贝i］（)

A.A^CB.DqAC.ATB=(D

【答案】B

4抛物线丁=2内口＞0）上的点尸（2,2）到焦点的距离为（)

53

A-B.2C..DA

22

【答案】A

5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径

为球缺的高为力，则球缺的体积丫=乃川尺-：

R,.圆锥的高为2,底面半径为1,则以圆锥的高为直

径的球在圆锥外的体积为（）

647r627r21%237r

A.——B.——C.------D.——

75752525

【答案】A

【解析】

作圆锥尸旦的轴截面PAB,轴截面与球O内接圆锥底面交于4用

所求体积即为球缺尸-AQ片与内接圆锥PQ的体积之差

42r

轴截面顶角为戊,sin。=W，设圆锥尸。2底面半径为r，则2=，即厂=

sin。1

2

8TC4I8_1281

则圆锥PQ的高为W，则Vp0,=工।行一375

53

球缺的高为？则v球尸普

••."/缺-/答

6.已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为（）

试卷第1页，共11页

【答案】B

7.已知函数〃尤）=（sinx-Gcosx）cosx,若“X）在区间-三,。上是单调函数，则实数。的取值范围是（）

,「兀兀、c「兀兀、「（兀兀]（兀兀

A.—B.—C.—,-----D.——

\_63）L63J1312」I312」

【答案】C

【解析】

/(x)=sinxcosx-V3cos2x=—sin2x-V3-^+C°S—=—sin2x--cos2x--=sin|2x--j——r

2222213)2

令"Zx-g,贝!Jy=sin%——

TTTV

因为xw--,所以，w-TI,20--

又因为“X）在区间上是单调函数，则尸sinf-正在区间-兀,2"：上是单调函数

_3」2L3_

所以一无<28_&4一色，EP-—<26»<--,

3236312

8.设点加（m,1）,若在圆。：必+>2=1上存在点N,使得NOMN=60，则”的取值范围是（）

_V|V3B.~—C.[-D.[_2,2]

一

【答案】A

【解析】

由圆的性质可知：圆上一点T,与所组成的角/OMT,当与圆相切时，NOMT最大

若圆上存在点N,使得NO"N=60，则NOMT260

由M（私1）和/+/=i可知，过加且与圆相切的一条直线为丁=1,切点T（0,l）

则在直角三角形（WT中，tan°MT=%^6,从而|段|410一走三机《1

叫11333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

22

9.设椭圆C:三+2=1的左、右焦点分别为耳、工，尸是C上的动点，则下列结论正确的是（）

2516

3

4椭圆。的离心率e=y

3.|尸耳|+|尸闯=5

C.△尸片心面积的最大值为12

试卷第2页，共11页

。归耳|的最小值为个

【答案】AC

13.

10.四棱锥P—ABC。的底面为正方形，底面ABCD,PD=AD=1,PE=-PB,PF=—PA,

24

平面AO£i〕平面夕BC=/,PC|平面。斯=G,则（）

4直线/与平面PA。有一个交点

B.PC1DE

C.PG^-PC

5

3

D三棱锥P-EFG的体积为—

80

【答案】BD

【解析】

4取棱PC中点。，连接EQ,DQ

因为E是棱P8的中点，则BC〃E。

因为AD〃8C,则AO〃EQ,即A,D,E,。四点共面，贝鹿为直线EQ

因为ADu平面PAD,E。仁平面PA。，贝!JEQ〃平面PAD,即〃/平面尸AO,/错误

8.因为尸。_L底面ABCD,ADu平面ABC。，则尸。_LAD

因为底面ABC。是正方形，AD±CD,PDcCD=D,则AD_L平面PDC,则A£）_LPC

因为尸D=AO,则△PDC为等腰直角三角形，PC1DQ

因为ADcDQ=。，且AD,OQu平面AOQE,则PC,平面AOQE,则尸CLDE,8正确

EWEAi

c.设——=X,PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=—PF+—PG—2PE

PC32

415一3一

因为ARE,G四点共面，则+2=1,2=-,即PG=£PC,C错误

3Z35

113393

DVp_EFG=VE—PFG-~^B-PFG-XXX^B-PAC=而%-ABC=而，0正确

IL已知％=2",bn=3n-l,数列｛%｝和也｝的公共项由小到大排列组成数列｛%｝,则（）

A.Q-32

3化,｝为等比数列

b

c.数列V）卜的前〃项和S„e[1,5）

D.框、不是任一等差数列的三项

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,Q=128,4错误

5.设4，即c〃=2机=3左一]

q用=2-2皿=2（3左—1）=3（2左—1）+1,不是出｝中的项，即不是｛%｝的项

试卷第3页，共11页

4+2=42拉=4（3左—1）=3（4左—1）—1,是低｝中的项，即是£｝的项

迫=3=4,则g=221,即｛cj为等比数列，8正确

C错位相减法计算得5“=5-”/，且久〉0,S”单调递增，所以

a

2n

D设J5、后、用是等差数列｛"〃｝的第，、j、P项，｛4｝的首项为4,公差为d

友=4+(1”

V5-V2=(j-z)^_

石=4+(j-l)dn<2

V2=(p-i)d

A/8=4+(p-l)d

j~i1——

人一是有理数，而-2是无理数

P-i

•••原假设不成立，即私、不是任一等差数列的三项

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2》-1），的二项展开式中%4的系数为.

【答案】一80

13.己知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X,则

E（X）=—,

8

【答案】j

【解析】

X=2,3

A?+/1

X=2,检测的两件产品均为正品或均为次品，则尸（X=2）=f£=,

X=3,只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则

p(x=3)=c；c/=2

A43

E(X)=2x-+3x-=-

v'333

14.己知aeN*,函数〃x）=e'、—/>0恒成立，则。的最大值为

【答案】7

【解析】

试卷第4页，共11页

3]nx

先考虑％w(O,+00)的情况，贝ij/%>x«=>3x>“lnx=>—>——

ax

[ill11_]

令g(X)=—，贝Jg'(x)=——,则g(x)在(o,e)单调递增，(e,+co)单调递减,则g(x)max=g(e)=—

xxe

31

因此一>—,即Q<3ea8.154

ae

当a=8,x——时，显然〃x)>0不成立

3xa

当a=7时，Vxe(-co,0],e>0>x,即〃x)>0恒成立，则4^=7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.某手机A在公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App人数的满意度统计数据如下：

月份X12345

不满意的人数y1201051009580

(1)求不满意人数V与月份》之间的回归直线方程y=bx+a,并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款A配与性别的关系，得到下表：

根据小概率值&=0。1的独立性检验，能否认为是否使用这款A在与性别有关？

使用App不使用App

女性4812

男性2218

附：回归方程方=%+4中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为5=与-------,a^y-bJc

i=\

2n^ad-bc^

“(〃+b)(c+d)(a+c)伍+d)'n=a+b+c+d

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】

_1+2+3+4+5_120+105+100+95+80…

(1)由表中的数据可知:x=------------------=3,y=-------------------------------=100

5

5___

£苍％-5»

1410-1500八

---------------=—9&一解=100-(一9)x3=127

55-45

二所求得回归直线方程为£=-9了+1275分

当x=10时，？=-9x10+127=37

,该小区1。月份的对这款不满意人数预估为37人9分

试卷第5页，共11页

(2)零假设为：是否使用这款A勿与性别无关10分

由表中的数据可得上吧磊掾箸£=尹.心6635f.................................................“分

根据小概率值a=O.Ol的独立性检验，我们推断名不成立，即认为是否使用这款A勿与性别有关，此推断

的错误概率不大于0.0113分

16.己知，ABC中，角A,B,C所对的边分别为a/,c,JLcsin^|^=flsinC.

⑴求A;

(2)若a=3,。为8C边上一点，AD=2,2DB=DC,求ABC的面积.

【解析】

因为由正弦定理得sinCsin0+C=sinAsinC

(1)csin"£=tzsinC,

2

因为Ce(0,7t),可得sinC>0,又因为小«=二一4，可得sin空C=cos4

22222

bI、r.B+CA.A八.AA

所以sm0-=cos一=sinA=2sin-cos一,即cos-=2sin—cos—

222222

AjrAA1Ajrjr

又因为不€(0,彳)，可得cos7>0,所以sin：=7,所以彳=工，可得4=彳.....................6分

22222263

__1__2__

(2)由。知AO=1AC+§A5

贝I],£>(=||AC|2+-|AB|2+-|AB|-|AC|COSZBAC,即4=；〃+：/+jbe

化简得/+4c?+26c=36①.....................................................................................................................................8分

22+l2-25-r2

在△ABO中，由余弦定理得cosNADB=r=土上

2x2x14

7272_A2Q_A2

在.AC。中，由余弦定理得cos/ADC==^―也=—_

2x2x28

5_(-2o_L2

ZADB+ZADC=n,所以cosZADB+cosZADC=0,贝!|=。，即2c?+加=18②••••10分

48

由①②得〃2+4<?+2bc=2(Ze?+/)

由于6片0,得6=2c,代入②得,2=3..............................................................................................................13分

所以ABC的面积为Lbcsin/A4c=dn/BAC=2回.........................................15分

22

17.如图，在直三棱柱ABCAgG中，AB=BC=2,M=3,点D,E分别在棱A4,,CG上，AD^2D\,

qE=2EC,尸为用C1的中点.

(1)求证：AB]〃平面DEF；

(2)当三棱柱ABCA4G的体积最大时，求平面DEF与平面ABC夹角的余弦值.

【解析】

试卷第6页，共11页

(1)连接AC交OE于点M,连接板、AE、DC、、AB,

9

因为AO=2£>4，QE=2EC,所以^。二^石二目明=2

因为AD//£E,所以四边形4Z)GE为平行四边形，所以A"=MG

因为B/=FG，所以MF7/AB1

因为MEu平面DEB,AB]<z平面。EF,所以44〃平面。EF6分

(2)因为匕吟Mg=S.诋,BB[=3S.枷

又因为s.ABC=gA2•BCsin/ABC=2sin/ABC

TT

所以当ZABC=m时5ABe取最大值2

即当AB时直三棱柱ABCA4。的体积最大................9分

又84,平面ABC,AB,8Cu平面A5C,所以叫，AB,BBt1BC

如图建立空间直角坐标系，则0(2,0,2),£(0,2,1),下(0,1,3)

所以。E=(-2,2,-1),£F=(O,-l,2)

设平面OEF的法向量为九=(x,y,z)

n-DE=—2x+2y-z=0(3、

则，取〃=7，2,1............................................,无..................12分

n-EF=-y+2z-G12)

又平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)............................................................................................................13分

cos0=M.

设平面OEF与平面ABC夹角为6,则|m|-|n|

所以平面DEF与平面ABC夹角的余弦值为2叵

15分

29

18.已知双曲线E：=1的渐近线为>=±2x,焦距为2石，直线/与E的右支及渐近线的交点自上

ab-

至下依次为C、A、B、D.

⑴求E的方程；

(2)证明：[47|=忸0；

(3)求SAOC的取值范围.

试卷第7页，共11页

【解析】

c二

〃=1

b必上=1

(1)由题意知：＜2，则《b=2,则屈4分

a4

c2=a2+/c=y/~5

(2)易知/的斜率为0时不成立

设/:x=^y+%,%>0

x=my+t

2y20（4m2-1）y2+Smty+4〃-4=0

Y—匕=1

4

/.A]=16（4疗+/-1）>0,-Smt4/一4

力+%=;^~~pyy=~；6分

4m-1AAB4m-1

x=my+t

2y2=>（4疗_]）y2+8冲y+4/=0

x----二0

4

2

2-Smt4t

A2=16t>0,无+如8分

4m2-1

..yA+yB_yc+yp

22

，线段N8、CD的中点重合

：.\AC\=\BD\......................................................................10分

I.„i|CD|—|AB|1ri—-\/4m2+Z2—1

⑶..............................

O到直线AC的距离d=~^=

Vl+m

,2V

SA"=gx“|xd=VP"-14疗-1+广t2

x"=石----14分

22H-----2--

|4m-ll4m-174m-1

t>Q

A〕=16（4/+广一i）〉o

—2t八

XA+^B=—->0

4m2-1

-4m2-t2_

X/B=/21〉0

4m-1

:•令p=<-l

4m2-1

试卷第8页，共11页

19.已知函数/(x)=sinx+ln(l+x)_ox,aeR.

(1)当a=0时，求/(x)在区间(-1,2万)内极值点的个数;

(2)若〃x)<0恒成立，求。的值;

3.(1、》2n-l,c

(3)求证：/,sinI-~-<21n-------In2,〃22,〃£N*.

,=«+1V-Un-\

【解析】

(l)a=O时，/(x)=sinx+ln(l+x)

/(x)在单调递增，在xe|三,2〃J内单调递增

:•当时，/⑺单调递减，‘⑸=」万〉°，/⑺=T+?^<0

V2J1+51+%

，

f(x1)=0,“X)在信xj单调递增，(X/)单调递减....................2分

-sinx-

(1+X)2

・•・当?］时,/'⑺单调递增,/'⑺=_(］+［『<0,♦QJ-l11+四)

/'(々)=°，/(％)在(肛马)单调递减，卜2,彳)单调递增

尸(万)<0,

2

试卷第9页，共11页

，/伍)=0，/(x)在(肛W)单调递减，卜3,苫

单调递增4分

综上，/(%)在(TxJ单调递增，(.七)单调递减，(马，2万)单调递增，共2个极值点..........5分

(2);/(0)=0,/(%)<0

.“=0是〃》)的极大值点

,1•f'(x\-cosxH——----a

')l+x

.(0)=2—a=0,即a