第8讲 指数与指数幂的运算-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

基本初等函数基本初等函数本章综述 本章综述本章对初等函数主要考查函数解析式与函数图像的关系，重点考查识图、用图、画图等方面的能力。多以选择题、填空题的形式出现。函数图像是数形结合的典范，纵观近几年高考试题，函数图像的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常会有新面孔出现，是每年的必考内容。对指对函数的考查是高考的热点，属中档题，主要考查利用指对函数的性质比较大小，求定义域、值域、最值、图像交点等性质。第八讲第八讲指数与指数幂的运算 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.整数指数幂数学运算水平1水平11.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单次方根运算。2.熟练掌握根式与分式指数幂之间的相互转化。3.理解有理数指数幂的意义及其运算性质。【考查内容】根式的性质和指数幂的运算在高考中一般作为函数问题的一个工具进行考查，单独命题时可能涉及求值、化简和指数幂方程的求解。【考查题型】选择题或填空题【分值情况】5分2.根式数学运算水平1水平13.分数指数幂及幂指数数学运算水平1水平14.有理数指数幂的运算性质数学运算水平1水平2知识通关知识通关知识点1根式1．次方根(1)定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.(2)个数：是奇数仅有一个值，记为是偶数有两个值，且互为相反数，记为不存在2．根式(1)定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．(2)性质：，(其中且)．知识点2指数幂及其运算性质1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：负分数指数幂规定：0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2．有理数指数幂的运算性质(1)．(2)(3)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂题型一根式的运算规律方法根式化简与求值的思路及注意点(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．(2)注意点：①正确区分与两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．例1、化简下列各式．（1）；（2）；（3）解析：（1）（2）（3）由题意知，即.原式==【变式训练1】求下列各式的值。(1)；(2).解析：(1)，当时，；当时，.(2)原式.题型二根式与分数指数幂的互化规律方法根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数(1)根指数eq\o(↔,\s\up6(化为))分数指数的分母，被开方数(式)的指数eq\o(↔,\s\up6(化为))分数指数的分子．(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出．例2、用分数指数幂表示下列各式()：(1)；(2)；(3)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(4).解析：(1)原式(2)原式(3)原式.(4)原式.【变式训练2】把下列根式化成分数指数幂的形式()(1)；(2)；(3).解析：(1)原式(2)原式(3)原式题型三指数幂的运算规律方法1.指数幂运算的常用技巧1.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．2．根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式．(2)利用分数指数幂的运算性质求解．例3、计算下列各式：(1)；(2)；(3).解析：(1)原式.(2)原式.(3)原式.【变式训练3】化简下列各式：(1)；(2)．解析：(1)原式.(2)原式.题型四由条件求值规律方法由条件求值问题的解题步骤(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；(2)化简：化简已知条件与所求代数式；(3)把已知条件代入求值．例4、已知，求下列各式的值：(1)；(2).解析：(1)将两边平方，得，即.(2)将两边平方，得，∴.答案（1）7（2）47【变式训练4】设，则＝________.解析：将两边平方，得，即∴即，∴答案思维拓展思维拓展考向一有附加条件的求值问题一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值。但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过整体代入法巧妙地求出代数式的值。规律方法一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值。但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过整体代入法巧妙地求出代数式的值。例5、若，则的值为。解析：∵，∴，∴，由得，∴，∴，∴答案【变式训练5】若是方程的两根，且，则的值为。解析：∵是方程的两根，∴∴∵，∴，∴答案考向二有理数指数幂运算的综合问题规律方法（1）有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁。（1）有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁。（2）对于某些实数指数幂的求值问题，不需要将未知数一一求出来，此时就需要认真分析已知式和所求式的结构特征，通过变形并结合乘法公式把它们联系起来，然后用“整体代换”或“先求值后代换”的方法求值。（3）对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证明。例6、对于正整数和非零实数，若，，求的值。解析：∵，∴同时开次方得∴，同理，，∴，即。又，∴。而为正整数且，∴均不为1.又，∴答案【变式训练6】已知，且，求证：证明：令，∴，又，∴，∴故原等式得证。综合训练综合训练A组基础演练A组基础演练一、选择题1．下列各式正确的是()A.eq\r(－32)＝－3 B.eq\r(4,a4)＝aC.eq\r(22)＝2 D.eq\r(3,－23)＝2解析：由于eq\r(－32)＝3，eq\r(4,a4)＝|a|，eq\r(3,－23)＝－2，故A，B，D错误，故选C.答案C2.的值为()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(7,3)解析：原式＝＝1－(－3)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,3).答案D3．下列各式运算错误的是()A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18解析：对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.答案C4．设，则eq\f(a2＋1,a)＝()A．m2－2 B．2－m2C．m2＋2 D．m2解析：将平方得，即，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋eq\f(1,a)＝m2＋2⇒eq\f(a2＋1,a)＝m2＋2.答案C5.的值是()A．1B．aC．D．a解析：原式＝答案D6．化简的结果为()A．5B.eq\r(5)C．－eq\r(5)D．－5解析：答案B7．若xy≠0，则使eq\r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是()A．x>0，y>0 B．x>0，y<0C．x≥0，y≥0 D．x<0，y<0解析：∵eq\r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy<0，故选B.答案B二、填空题8．若x<0，则|x|－eq\r(x2)＋eq\f(\r(x2),|x|)＝________.解析：由于x<0，所以|x|＝－x，eq\r(x2)＝－x，所以原式＝－x－(－x)＋1＝1.答案19．已知，则________.解析：答案2010．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.解析：∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，∴，，a＝b2.由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3(舍去)．∴，m＝24＝16.答案16三、解答题11．求值：（1）（2）解析：(1)＝1＋eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)＝2.(2)＝eq\f(10,3)－36＋64－eq\f(1,3)＋1＝32.答案（1）2（2）3212．化简解析：原式答案13．化简求值：(1)；(2)；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(4)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,a·b)×3eq\r(b3).解析：(1)原式＝＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)原式＝＝＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(4)原式＝2a÷(4ab)×(3b)＝eq\f(1,2)ab·3b＝eq\f(3,2)ab.答案（1）（2）（3）B组提升突破B组提升突破一、选择题1．化简(a，b>0)的结果是()A.eq\f(b,a) B．abC.eq\f(a,b) D．a2b解析：原式＝答案C2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为()A.eq\f(1,9)B.C．1D.解析：∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.答案B3．()A． B．1－C．3－3 D．3－3解析：由于，，，故原式.答案A4．下列命题中正确的个数为（）①，②，则，③，④A．0 B．1 C．2 D．3解析：①当为偶数时，，①错误；②当时，，则，②正确；③，③错误；④，④错误。答案B5．已知，那么等于（）A． B．C．D．解析：当时，，，此时；当时，，，此时.，因此，.答案C6．已知二次函数的图象如图所示，则的值为（）A． B．