第1章空间向量与立体几何章末测试(提升)(原卷版+解析)

第1章空间向量与立体几何章末测试（提升）一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023·全国高二课时练习）已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（）A． B． C． D．2．（2023·福建）若是平面α内的两个向量，则（）A．α内任一向量(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0C．若不共线，则空间任一向量(λ，μ∈R)D．若不共线，则α内任一向量(λ，μ∈R)3．（2023·浙江高二单元测试）已知，则的最小值是（）A． B． C． D．4．（2023·湖北鄂州市·高二期末）已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（）A． B．C．或 D．或5．（2023·浙江高二单元测试）已知给出下列等式：①；②；③④.其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·苏州）在平形六面体，其中，，，，，则的长为（）A． B． C． D．7．（2023·江苏南京市·高二开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）A． B． C． D．8．（2023·天津市）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（）A． B． C． D．二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023·全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（）A．是、共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底10．（2023·江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A． B．C． D．11．（2023·湖南）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是12．（2023·辽宁）已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（）A． B． C． D．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·全国高二课时练习）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．14．（2023·全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．15．（2023·河南高二三模（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．16．（2023·新疆乌鲁木齐市）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且则下列结论：则下列结论：①；②当时，与相交；③始终与平面平行；④异面直线与所成的角为正确的序号是___________.四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）17．（2023·全国高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．18．（2023·河南高二月考（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值.19．（2023·浙江高二期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．（1）若点F为上一点且，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（2023·全国高二专题练习）如图，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．21．（2023·山东）在正六棱柱中，.（1）求到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.22．（2023·江西（理））在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值；（3）若二面角大小为，求的长.第1章空间向量与立体几何章末测试（提升）一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023·全国高二课时练习）已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（）A． B． C． D．答案:D解析：平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.2．（2023·福建）若是平面α内的两个向量，则（）A．α内任一向量(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0C．若不共线，则空间任一向量(λ，μ∈R)D．若不共线，则α内任一向量(λ，μ∈R)答案:D解析：当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．故选：D．3．（2023·浙江高二单元测试）已知，则的最小值是（）A． B． C． D．答案:A解析：由题意可知：所以，则：，当且仅当时取等号．即的最小值是.故选：A4．（2023·湖北鄂州市·高二期末）已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（）A． B．C．或 D．或答案:C解析：设，则，，因为，所以，，，所以，又，解得或，所以或，故选:C5．（2023·浙江高二单元测试）已知给出下列等式：①；②；③④.其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:D解析：由题设可得，则；，，则①正确；因，，故②正确；又因，而，所以，即③正确；又，则，而，故，也即④正确.故选：D．6．（2023·苏州）在平形六面体，其中，，，，，则的长为（）A． B． C． D．答案:B解析：设，，，因为六面体是平行六面体，所以，所以，即所以，所以的长为，故选：B7．（2023·江苏南京市·高二开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）A． B． C． D．答案:A解析：因为四边形是平行四边形，,,,,，即.故选：A8．（2023·天津市）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（）A． B． C． D．答案:B解析：设为直线上任意一点，过作，垂足为，设，，则，，，，即，，即，，，，当时，取得最小值，故直线与之间的距离是.故选：B.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2023·全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（）A．是、共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底答案:ABC解析：对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，若、、、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.10．（2023·江苏常州市）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A． B．C． D．答案:AB解析：对于A，由，，所以点P与A，B，C三点共面.对于B，由，，所以点P与A，B，C三点共面.对于C，由，，所以点P与A，B，C三点不共面.对于D，由，得，而，所以点P与A，B，C三点不共面.故选：AB11．（2023·湖南）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是答案:ABC解析：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；故选：ABC12．（2023·辽宁）已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（）A． B． C． D．答案:BC解析：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图，则，，则，设点，则.设直线与直线所成的角为，则，令，，其中，则，所以，.显然，，.故选：BC填空题（每题5分，4题共20分）13．（2023·全国高二课时练习）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．答案:x=，y=，z=．解析：∵=+=+=++=∴x=，y=，z=．故答案为：x=，y=，z=．14．（2023·全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．答案:①③④解析：对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，四点共面，故③正确；对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，由的唯一性，则，，也是唯一的则，，也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④15．（2023·河南高二三模（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．答案:解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，即，取，则，直线与平面所成角为，，故答案为：.16．（2023·新疆乌鲁木齐市）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且则下列结论：则下列结论：①；②当时，与相交；③始终与平面平行；④异面直线与所成的角为正确的序号是___________.答案:③解析：如图建立空间坐标系，则，0，，，0，，，1，，，1，，，，0，，，，．∴，显然，故①错误；若与相交，则四点共面，又∵在平面，∴当且仅当在平面时，与相交，此时故②错误；平面的法向量为，，此时，∴始终与平面平行，故③正确；设异面直线与所成的角为，∴，∴异面直线与所成的角为故④错误.故答案为：③四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）17．（2023·全国高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．答案:（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.解析：证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，．（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，所以，又因为，所以，所以，即有；（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，因为底面，平面，所以，因为，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，由，取，，，所以平面的一个法向量为，因为，所以，所以平面平面.18．（2023·河南高二月考（理））如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上，，点为中点.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的正弦值.答案:（1）证明见解析；（2）.解析：如图，以为原点，分别以方向为，z轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得，，（1）显然，是平面的一个法向量，，故，即.又因为平面，故直线//平面.（2）设平面的一个法向量为，由，有即不妨取，可得.由已知可得.同理可求平面的一个法向量为.所以，，因此.所以，二面角的正弦值为.19．（2023·浙江高二期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．（1）若点F为上一点且，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案:（1）证明见解析（2）解析：（1）作交于，连接又且且四边形为平行四边形平面，平面平面（2）平面，平面又，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，，设平面的法向量则，令，则，设直线与平面所成角为20．（2023·全国高二专题练习）如图，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．答案:（1），（2）解析：（1）在直四棱柱中，因为平面，平面，平面，所以因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为点为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，则，