5.1.1任意角（3种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页5.1.1任意角（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：角的有关概念的判断1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．3.给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．【答案】①【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．4.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.[解]作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．题型二：终边相同的角的表示及应用5．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.6.将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．【答案】(－3)×360°＋195°【解析】－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.7．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°.[解]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．8.写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．[解]与α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.题型三：任意角终边位置的确定和表示9.若α是第一象限角，则－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【解析】因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因为－eq\f(α,2)与eq\f(α,2)的终边关于x轴对称，所以－eq\f(α,2)是第二、四象限角．]10.已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．【能力提升】一、单选题1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.3．设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.表示终边在直线上的角，表示终边在直线上的角，而表示终边在四条射线上的角，

四条射线分别是射线，

它们构成直线、直线，故.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.4.终边在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出终边在上的度数，即可得到结论．【详解】在[0，2π]内终边在直线上的角为和，则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，即{α|α＝kπ，k∈Z}，故选B．【点睛】本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础．5．若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.详解：若是第一象限角，则：位于第一象限，位于第二象限，位于第四象限，位于第三象限，本题选择C选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.二、多选题6．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解【详解】是第三象限的角，则，，所以，；当，，在第一象限；当，，在第三象限；当，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD7．下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点的角的集合是B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角D．，，则【答案】BC【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是，正确；对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是，错误；对于选项C：若，不是第一象限角，错误；对于选项D：而表示的奇数倍，，而表示的整数倍，所以，正确．故选：BC8．若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【分析】用不等式表示的范围，求得的范围后确定其所在象限．【详解】是第二象限的角，则，，，，当时，是第一象限角，当时，是第二象限角，当时，是第四象限角，故选：ABD．【点睛】结论点睛：本题考查象限觚判断，掌握各象限角的表示是解题关键．第一象限角：，，第二象限角：，，第三象限角：，，第四象限角：，．另外还有非象限角，即终边在坐标轴的轴线角．三、填空题9．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________．（2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________．【答案】

【解析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间．（2）→→【详解】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转，分针每小时转，每分钟转、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即小时，故时针转过的角度数为；分针转过的角度数为．（2）由角的定义可得．故答案为：；；．【点睛】本题考查任意角的概念，注意角的正负与顺逆时针旋转的规定．10．已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则________.【答案】或【解析】根据2秒到达第三象限，可确定，结合得范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得，联立条件即可求出.【详解】且,必有,.又,,,即,或5.故或.故答案为：或【点睛】本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题.四、解答题11．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s达到第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.【答案】或.【分析】由题得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解.【详解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z，则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝，从而90°<<135°，∴<n<，∴n＝4或5.当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝.所以或.12．（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.13.若是第一象限角，问，，是第几象限角？【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．【详解】因为是第一象限角，所以，所以，所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；，所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；．当时，，所以是第一象限角；当时，，所以是第二象限角；当时，，所以是第三象限角．综上可知：是第一、二或第三象限角．【点睛】方法点睛：若已知角是第几象限角，判断等是第几象限角，主要方法是解不等式并对进行分类讨论，考察角的终边的位置．14.（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；（2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置；（3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形).【答案】（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限；【分析】（1）当角的终边在第二象限，得，则，分k是奇数和是偶数进行讨论；（2）确定的终边在第一、二、三、四象限时，得出的范围，进而确定的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可；（3）同理（1）（2），讨论的终边位置.【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则，当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限.（2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图：终边在第一象限

终边在第二象限

终边在第三象限

终边在第四象限（3）当的终边在第一象限时，即，，则，当时，的终边在第一象限；当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第三象限；的终边在第一或第二或第三象限，推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一