人教版数学八年级上册教案设计(第十五章分式)

课题名称15.1.1从分数到分式授课类型新授课时1课时

理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间

知识与技能

教的相互关系。

学理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间

目过程与方法

标的相互关系。

情感态度与进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力。

价值观

教

学重点理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法。

重

难难点在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江

创

以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60

设千米所用时间相等，江水的流速为多少？

【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示，让学生感

情

受生活，感受数学.对所提出的问题让学生相互交流，探索解决问

境题的过程、方法，教师巡视，适时参与学生的讨论，最后选取学生

代表展示成果，教师及时提出新问题.教师讲课前，先让学生完成

“自主预习”.

问题1刚才大家通过探讨，获得到这样的式子，它们是整式

合吗？如果不是，区别在哪里？

作思考1(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽为________；

探若长方形的面积为S,长为a,则宽应为________；

究(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器

中，水面高度为________cm；把体积为V的水倒入底面积为S的

圆柱形容器中，水面高度应为________.

思考2式子S/a、V/S与10/7,200/33有什么区别？它们与有

什么共同点？谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述

三个问题进行积极思考，感受整式与分式、分式与分数之间的联系

和区别，初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中，

巡视全场，引导学生关注所给式子的分子，分母的特征，此时可类

比分数分子、分母进行描述.

分式：一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，

那么式子AB叫做分式.问题2(1)使分式有意义，则x的取值有

什么要求？

(2)使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？

【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再

予以总结.

【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有BWO.

运例1指出下列各式中的整式与分式：

用

巩11a+bx32

固m'x+y'2，'.J-1’3-

例2填空：

2

(1)当X_______时，分式一有意义？

3x

(2)当b_______时，分式」一有意义？

5-3b

(3)当x,y满足关系________时，分式上上有意义？

(4)当x_______时，分式3-_______有意义？

x2+l

例3什么条件下，下列分式的值为0?

(1)金；(2)至网；(3)娈拉.

xm+nx—x—6

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.1.1从分数到分式积

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.1.2分式的基本性质授课类型新授课时1课时

知识与技能掌握分式的基本性质，能依据分式的性质进行约分运算。

教

学

通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，

目过程与方法

发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分。

标

情感态度与进一步增强学生的创新思维能力。

价值观

教

学重点理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分。

重

难难点在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘以(或除以)一个不为0的数，

创设

分数的值不变。

情境

思考下列从左到右的变形成立吗？为什么？

入口

作

(I)=(一)分式的基本性质

探

究11分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)

(2』=5

*'7n一个不等于0的整式，分式的值不变.

(3)—=*T.4__A+C

久光(尤-1)B-BC'B-B〉C

试一试

(1)=------------

x2—2.xx-z.

3x2+3xyx+y

6x2一()’

(2}a+b=(_________)_

2

ab~ab，

cicib

2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：

(1)T；(2)^;(3)令.

2y-5j--7丫

3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：

x_x

(1)-0-nT?；(2)2'T-

x-0.4i1

%一~2y

(-)分式的约分

分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，

X_1

如由/-2xx-2,就是分式的约分.

最简分式：分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.

分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式

或整式.

运4.约分：

用

巩—25be—9

固⑴不甘(2)」,。；

13ablcx~+6%+9

c、6x--12xy+6y"

⑶f•

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.1.2分式的基本性质

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.1.3分式的通分授课类型新授课时1课时

(1)能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母；

知识与技能

教(2)能够总结出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算。

学

在分数通分的基础上比较学习分式的通分,在此过程中渗透类比数学思想方法；

目过程与方法

标在如何确定几个异分母分式的最简公分母以及将异分母分式通分的过程中渗透

化归的数学思想方法。

情感态度与鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成

价值观功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心。

教

学重点分式最简公分母的确定。

重

难难点分式最简公分母的确定以及完整的通分。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

创1、同学们学习过分数的计算了，老师想知道你们能不能快速的计

设1Q

算出下面的题：^+-=

35

情

2.同学们做的第一步骤名称叫什么？提问：什么是分数的通分？

境

其根据和关键是什么？分数的通分大家会了，那么分式的通分呢？

(引入新课)

启发：分式的通分与分数的通分类似，那什么是分式的通分呢？根

据又是什么？尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的

定义吗？啖"

abeabc

325

提问：(1)2'4'亘的公分母是如何确定的？

1_________1_________1___

(2)你能确定分数23,3?•5'2'33'52*22-3'54的公分母吗?

(3)若把上面分数中的3,5用尤丁来代替，即分式

]1______1_

2'与’2/尸又如何确定公分母呢?

(4)提问：你能概括最简公分母的定义吗？3、怎么确定的？(同

学们讨论总结最简公分的确定方法。)

指出下列各组分式的最简公分母。

121J____x____5_

(1)ab'be'ac"；(2)2xy‘3伊'’9x'y.

1_______1_

(3)a(x+1)'A(x-1)。

合4、例题：通分(教师板书，让学生知道书写过程)

作

探/、3.a-b

(1)与？

究2a-9bJab'c

/、2x,3x

(2)—与排

x-5x+5

运

当你能正确确定最简公分母后就能顺利进行通分了，我们来解决这

用

巩样的问题。

固

4a%5b

通分5b2c'10。%'-2ac2

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.1.3分式的通分

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.2.1分式的乘除运算授课类型新授课时1课时

知识与技能理解分式乘除法的法则。

教

学

会进行分式乘除运算。

目过程与方法

标

情感态度与透类比转化的数学思想方法。

价值观

教

学重点会用分式乘除的法则进行运算。

重

难难点灵活运用分式乘除的法则进行运算。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

情景引入

创

1.一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器的

设水占容积的%时，求水的高为________.

n

情

2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉

境机的工作效率是小拖拉机的工作效率的_________倍.

你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能

说出分式的乘除法法则吗？

24_52_2工土5^2_

L3X5=-：7X9=-；勺丁声―'

作

探2.我们己经熟悉分数的乘法运算，那么怎样进行分式的乘法运算

究

呢？

类比分数的乘除法运算，可知

AC.AC

---,*，__*—____x■一—_____

BD'B

分式的乘法法则：分式乘分式，用________作为积的分子，

_________作为积的分母.

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母一

后，与被除式相乘.

由此可知，分式的除法运算时转化为分式的乘法运算进行的。

计算初等于（）

运1.

a33xy

用

巩

x22xyx2y3

固A.B.C.D.xy2

aa~7a7

cab2-3a2b2

2.o・_____.

2c~4cd

例2：⑴三24；⑵J+2a

x+3x~-4a~-6a+9a-3a

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.2.1分式的乘方运算

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.2.1分式的乘方运算授课类型新授课时1课时

知识与技能理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算

教

学

通过类比的思想来学习分式乘方的运算

目过程与方法

标

情感态度与在合作探究的过程中，培养学生的类比，归纳能力

价值观

教

学重点熟练地进行分式乘方的运算

重

难难点熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

创讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的

设

法则，计算

情

23

Q2_〃a_a•a_aa_aaa_a-a-a_a

境3

bbbbbh~'bbbbb-b-b

由以上计算的结果你能推出(()"(n为正整数)的结果吗？

顺其自然地推导可得：

合n个n个

作，-----A-----S>

探aaaa-a---aa"口口/。、“,、，十#“>卬

(-)'=--------------------=—,即(一)"=——.(n为正整数

究b一印bnbbn

n个n个

归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.

1.判断下列各式是否成立，并改正.

⑴心々⑵¥W

2a2a22a4/

⑶(立汽笛(4)(三卢学二

-3x9x3x-bx~-b~

运2.计算

用(I)(4)2(2)(半)3(3)(工)2+(一§)3

巩

3y-2c33xy22x2

固

232

(4)().()(5)()・()・(孙)

-zzyx

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.2.1分式的乘方运算

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.2.3分式加减法授课类型新授课时1课时

知识与技能探究同分母分式加减法的运算法则及简单的异分母分式加减法的运算法则。

教

学

通过实际问题的提出，引导学生自己解决问题，采用类比的方法，帮助学生自

目过程与方法

己总结知识点。

标

情感态度与结合已有的学习经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

价值观

教

学重点同分母分式及简单的异分母分式加减法的运算法则。

重

难难点运用运算法则正确求解分式计算问题。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

创1.探究同分母分式加减运算法则（回忆：同分母分数如何相减？）

设做一做你能找到他们的好朋友吗？

情2、问题：

境1231br32

""XXaaX—1X—1

231

上—_____内X

hai

xX—1c

（1）同分母分式如何相加减？（2）异分母分式如何相加减？

类比归纳：同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。

合

作

—ci—I——b—.-a----\-b-—a——b—=-a--—--b-

探cccccc

究

注意：（1）把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式时，要约分.（2）

注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号.归纳：

⑴异分母分式相加减:通分，把异分母分式化为同分母分式。

⑵异分母分式通分时，确定最简公分母。

运1、找找最简公分母：

用

巩

固

ab2a

_2_____a____,_____________­____________1__.

X'2》2'a_b，b_a，2a_4'2—a'

2、计算：

3(2—159r—1

(1)-+——(2)—+—

<25(2X—11-X

a2labb2

+-3——+丁弓

(3);a2-b2Tb2-a72a2-b2

m-5n6nm

---Z——T------7-------

3、拓展：(1)加一9活9m-n9冽一%

x-2yx-y-x-4y

---------H---------

(2)x+yx+yx+4y

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.2.3分式加减法

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.2.6整数指数累授课类型新授课时1课时

知道负整数指数辱。一"=」7（aWO,n是正整数），会用科学计数法表示小于1

知识与技能a"

教的数

学

目过程与方法通过合作探究的方法，培养学生的思维能力以及归纳总结能力

标

情感态度与通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，

价值观服务于实践。能利用事物之间的类比性解决问题

教

学重点掌握整数指数塞的运算性质

重

难

难点会用科学计数法表示小于1的数

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

1.回忆正整数指数幕的运算性质：（1）同底数的帚的乘法：

创

aa=a（m,n是正整数）；（2）基的乘方：①）="（m,n

设

情是正整数）；（3）积的乘方：^ab）"=a"b"（n是正整数）；（4）同

境

底数的基的除法：=优”"（a#0,m,n是正整数，m>n）；

（-）"=—

（5）商的乘方：b〃（n是正整数）；

2.回忆0指数基的规定，即当aWO时，。°=1.

1

合

2.你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=IO'米吗？

作

探

《.3|

究35s322

3.4.计算当aWO时，C=0,再假设正整数

指数塞的运算性质a"""（aWO,m,n是正整数，m>n）中

1

353-5-2-2-2~

的m>n这个条件去掉，那么。=«.于是得到。=a~

（aWO）

总结：负整数指数事的运算性质：

1

nn

4.当n是正整数时，a-=a（a#0）.（注意：适用于m、n可以

是全体整数.）

运1.填空

用(1)-22=_________(2)(-2)=_________(3)(-2)°=_____

巩(4)2=_________(5)2'__________(6)(-2)-=____

固2.计算

(1)(x3y-2)2(2)x2y2«(x2y)3(3)(3x2y2)24-(x2y)3

(P26)例11.

［分析］是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1

的数.

1.用科学计数法表示下列各数：

0.00004,-0.034,0.00000045,0.003009

2.计算

(1)(3X108)X(4X103)(2)(2X10”+(KT')'

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.2.6整数指数幕

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称科学计数法授课类型新授课时1课时

经历把一个绝对值小于1的非零数表示为科学计数法aX10”的形式的

知识与技能

过程。

教

学会用把一个用科学计数法表示的数写成小数的形式，并体会科学计数

目过程与方法法方便、快捷便于进行计算的优点

标

情感态度与会利用计算器进行科学计数法的有关计算，从而体会数学的实际生活

价值观美丽

教

学重点把一个绝对值小于1的非零数表示为科学计数法

重

难

难点把一个绝对值小于1的非零数表示为科学计数法

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

任务一填写下表

创

10的第表示的意义化为小数前面的个数

设10

1011/100.11

情10-21/1000.012

10-3

境

10"

提出问题：10的负整数指数备用小数表示有什么规律吗？________

任务二

合用科学计数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成______________

作其中__________________________n的绝对值等于____________

探

究用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成土aX10"其中1

WaWlO,A是一个负整数，〃的绝对值等于原数中的第一个非零数字前

面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).

一个小于零的数字写成一个数字乘以10的负整数指数累的形式，负整数

指数的绝对值是第一个数字前的零的个数。

3、拓展训练

用科学计数法表示下列各数：

(1)0.00002(2)—0.0000307

(3)0.0031(4)0.00567

4、例题解析

安哥拉长毛兔最细的兔毛直径约为5X106将这个数写成小数的形式。

运5、拓展训练将下列各数写成小数：

用(1)3.1X10，⑵28X10"

巩6、例题解析

固一个氧原子的质量约为2.657X10-23克，一个氢原子的质量约为1.67X

IO3克，一个氧原子的质量约为一个氢原子的质量的多少倍？

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.2.7科学计数法

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.3.1分式方程授课类型新授课时1课时

知识与技能理解分式方程的概念,会判断分式方程，会解简单的方式方程。

教

学会解简单的可化为一元一次方程的分式方程。

目过程与方法

标

情感态度与了解分式方程产生增根的原因；掌握解分式方程验根的方法。

价值观

教

学重点正确地解简单的可化为一元一次方程的分式方程。

重

难难点产生增根的原因。

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

创一、回顾交流，情境引入

设（1）提问：1、以前我们学过什么方程？（一元一次方程和二元一

情次方程）

2、你可以分别举一个例子吗？3、你还记得一元一次方程的解法

境

吗？

1、小明用20元买了x支相同的钢笔，则每支钢笔的价钱是

合7Eo

作2、小明用20元买了4支相同的钢笔，求每支钢笔的价钱是多少元？

探如果设每支钢笔的价钱是X元，则可列方程__________________。

究议一议：上面所得到的方程是我们以前所学过的方程吗？（不是）

比一比：以前学过的方程同以上的方程有什么不同？

讨论结果：以前学过的都是整式方程，分母中不含未知数，而上面

这个方程含有分式，且有未知数处在分母的位置上。

说一说：你能尝试给它一个名字吗？

讨论结果：分式方程，因为里面含有分式。

想一想：你能归纳出分式方程的概念吗？

得出结论：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（齐读）

二、尝试练习，探索解法

204

—4

1、问题1：试解分式方程工

讨论：怎样化为整式方程？

（组织学生讨论后，教师再板演解题过程）解：方程两边同乘以X,

得：20=4x

解得：％=5

检验：将x=5代入分式方程，左边=4=右边，

所以v=5是原分式方程的解。

-^=2+^—

2、问题2：试一试：解方程1―3%-3

解：方程两边同乘以（”—3）得

x=2（%-3）+3

解得：x=3

反问：x=3是原分式方程的解吗？

督促学生进行检验、反思。学生通回代发现，x=5时，原方程

的分母为0,分式根本没有意义，产生困惑：问题出在哪里？

组织学生进行讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这

一步，其它步没有问题，捕捉时机，提出问题.

三、总结解分式方程的一般步骤

1.去分母（在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式

方程）.

2.解这个整式方程.

3.检验（把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值

不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分

式方程的解，是增根，必须舍去）.简记成：一化二解三检验

运四、巩固练习

用

57R_Q1

巩解分式方程。)巳=--(2)—-=8

xx-2x-1/-x

固

课堂

通过本节的学习，你有什么收获？还有什么疑惑吗？

小结

15.3.1方式方程

板书

一、引入三、例题五、小结

设计

二、新知四、练习六、作业

教

学

反

思

课题名称15.3.2解分式方程授课类型新授课时1课时

使学生了解分式的概念，使学生能够求出分式有意义的条件，明确分母不得为

知识与技能

零是分式概念的组成部分，理解分式方程必须验根的原因

教

学类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题

目过程与方法

标

情感态度与在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的

价值观进取心，体会数学的应用价值

教

学重点分式方程的解法及其应用

重

难难点明确分母不得为零，理解解分式方程时产生增根的原因，分式方程的应用

点

教学方法合作交流法

教学过程补充

复习巩固：

创

1、什么是一元一次方程？

设2、怎样解一元一次方程？

3、情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批

情

固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际

境每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原

计划任务，原计划每月固沙造林的面积是多少公顷？（1）、这一问

题有哪些等量关系？（2）、如果设原计划每月固沙造林X公顷，那

么原计划完成一期工程需要___________个月，实际完成

公顷。

合4、它们为什么是分式？

作像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们以前学习的分

探式方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中。

究讲解新课：

1、分式方程的意义：（对比讲解整式方程的意义）

2、判断下列各式哪些是分式方程？

x+2_2y-z1

（1）、x+y=l（2）、53（3）、x-2

y-31x-2+x

-——x+—=1——3=----

（4）、x+5⑸、x⑹、75

3、可化为一元一次方程的分式方程解法讨论：

100_601_10

2

举例：解方程（1）20+x20-x（2）x—5X-25

4、讨论：方法相同，为什么一个是方程的解，一个却不是？

5、归纳解分式方程的步骤（三步）：

第一步，找出分式方程的最简公分母；