江苏省南京市江浦高级中学2023-2024学年数学高一下期末综合测试试题含解析

江苏省南京市江浦高级中学2023-2024学年数学高一下期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（）A． B． C． D．2．“”是“、、”成等比数列的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要3．已知a，b，c满足，那么下列选项一定正确的是（）A． B． C． D．4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A． B．C． D．5．用区间表示不超过的最大整数，如，设，若方程有且只有3个实数根，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知的内角的对边分别为，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．已知全集，集合，，则为()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}8．用数学归纳法证明n+1n+2⋯n+n=-2A．2k+1 B．22k+1 C．2k+1k+19．某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（）A． B． C． D．410．化简结果为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的取值范围是_______；12．在正项等比数列中，，，则公比________.13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.15．等差数列中，公差.则与的等差中项是_____（用数字作答）16．已知数列的前项和为，，，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校高二年级共有800名学生参加2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛，为了解学生成绩，现随机抽取40名学生的成绩（单位：分），并列成如下表所示的频数分布表：分组频数⑴试估计该年级成绩不低于90分的学生人数；⑵成绩在的5名学生中有3名男生，2名女生，现从中选出2名学生参加访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．18．如图，在△ABC中，cosC＝，角B的平分线BD交AC于点D，设∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的长．19．在△中，所对的边分别为，，．（1）求；（2）若，求,，．20．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.21．如图所示，在中，点在边上，，，，.（1）求的值；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果.【详解】为函数的对称中心，解得：，当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时不单调，错误；当时，，此时单调递增，正确本题正确选项：【点睛】本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.2、B【解析】

利用充分必要条件直接推理即可【详解】若“、、”成等比数列，则；成立反之，若“”，如果a=b=G=0则、、”不成等比数列，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，熟记等比数列的性质是关键，是基础题3、D【解析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性质即可得出．【详解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b与1的大小关系不定．∴满足bc＞ac，ac＜ab，故选D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4、B【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．5、A【解析】

由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k的取值范围，即可得解.【详解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y＝{x}的图象与y＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点，当0≤x＜1时，{x}＝x，当1≤x＜2时，{x}＝x﹣1，当2≤x＜3时，{x}＝x﹣2，当3≤x＜4时，{x}＝x﹣3，以此类推如上图所示，实数k的取值范围为：k，即实数k的取值范围为：（，]，故选A．【点睛】本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题．6、A【解析】中，，所以.由正弦定理得：.所以.所以，即因为为的内角，所以所以为等腰三角形.故选A.7、C【解析】

先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．【详解】由题得，故选C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．8、B【解析】

要分清起止项，以及相邻两项的关系，由此即可分清增加的代数式。【详解】当n=k时，左边=k+1当n=k+1时，左边====k+1∴从k到k+1，左边需要增乘的代数式为22k+1【点睛】本题主要考查学生如何理解数学归纳法中的递推关系。9、C【解析】

由三视图可知：底面，，底面是一个直角梯形，，，均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体求解即可.【详解】由三视图可知：该几何体如图所示，则底面，，底面是一个直角梯形，其中，，，，可得，，均为直角三角形，最长的棱是，.故选：C.【点睛】本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10、A【解析】

根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

本题首先可以根据向量的运算得出，然后等式两边同时平方并化简，得出，最后根据即可得出的取值范围．【详解】设向量与向量的夹角为，因为，所以，即，因为，所以，即，所以的取值范围是．【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积的相关性质，向量的数量积公式，考查计算能力，是简单题．12、【解析】

利用等比中项可求出，再由可求出公比.【详解】因为，，所以，，解得.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.13、【解析】

将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案．【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共个，因此，所求的事件的概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．14、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.15、5【解析】

根据等差中项的性质，以及的值，求出的值即是所求.【详解】根据等差中项的性质可知，的等差中项是，故.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.16、【解析】

先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.【详解】当时，则有，；当时，由得出，上述两式相减得，，得且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，那么，因此，，故答案为.【点睛】本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)300人；(2)【解析】

（1）由频数分布表可得40人中成绩不低于90分的学生人数为15人，由此可计算出该年级成绩不低于90分的学生人数；（2）根据题意写出所有的基本事件，确定基本事件的个数，即可计算出恰好选中一名男生一名女生的概率．【详解】⑴40名学生中成绩不低于90分的学生人数为15人；所以估计该年级成绩不低于90分的学生人数为⑵分别记男生为1,2,3号，女生为4,5号，从中选出2名学生，有如下基本事件（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）因此，共有10个基本事件，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有6个基本事件是选中一名男生一名女生（记为事件），即（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）∴【点睛】本题考查频率分布表以及古典概型的概率计算，，考查学生的运算能力，属于基础题．18、（1）（2）【解析】

（1）根据二倍角公式及同角基本关系式，求出cos∠ABC，进而可求出sinA；（2）根据正弦定理求出AC，BC的关系，利用向量的数量积公式求出AC，可得BC，正弦定理可得答案．【详解】（1）由∠CBD＝θ，且tanθ1，所以θ∈（0，），所以cos∠ABC，则sin∠ABC，由cosC，得：sinC，sinA＝sin[π﹣（∠ABC+∠C）]＝sin（∠ABC+∠C）．（2）由正弦定理，得，即BCAC；又•AC2•21，∴AC＝5，∴ABAC＝4．【点睛】本题考查了二倍角公式、同角基本关系式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．19、（1）（2）【解析】（1）由得则有=得即.（2）由推出；而,即得,则有解得20、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解析】

（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.【详解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），所以圆的半径.所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、（1）