2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院6月中考数学模拟试卷（校四模）

第1页（共1页）2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院6月中考数学模拟试卷（校四模）一、选题题（共10小题，每题3分）1．（3分）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是A．核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全2．（3分）据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（3分）鲁班锁也叫八卦锁、孔明锁，是中国古代传统的土木建筑固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具．如图1是拼装后的三通鲁班锁，如图2是拆解后的三通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是A． B． C． D．4．（3分）已知，则，满足的关系正确的是A． B． C． D．5．（3分）已知数轴上点，，，对应的数字分别为，1，，7，点在线段上且不与端点重合，若线段，，能围成三角形，则的取值范围是A． B． C． D．6．（3分）有如下数列：，，，，，，，，，，，满足，已知，，则A．8 B．6 C．4 D．27．（3分）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得钱，下面两个人各得钱，根据题意可列方程组为A． B． C． D．8．（3分）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点、，将称作、两点间的“拐距”，记作，即．已知点，动点在直线上，横坐标为．当取得最小值时，应满足的条件是A． B． C． D．9．（3分）已知二次函数，，，为常数，且，则下列判断正确的是A．若，当时，则 B．若，当时，则 C．若，当时，则 D．若，当时，则10．（3分）如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将四边形折叠，使与重合，为折痕，则的长度为A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）．12．（3分）点所在的象限是．13．（3分）二次项系数为2，且两根分别为，的一元二次方程为．（写成的形式）14．（3分）一副三角板和如图1摆放，此时、、三点共线，且，，．如图2，三角板绕着点顺时针旋转，若，且当这两块三角尺有一组边互相平行时，．15．（3分）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点，且交于点，点在轴的正半轴上，将沿翻折，点的对应点恰好落在第二象限的图象上，平行轴，若点在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为．16．（3分）如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，设．①则，（用含的代数式表示）；②当时，则．三、解答题（共8题）17．（1）计算：；（2）先化简，再取一个合适的整数，使得分式的值为整数，并求此时分式的值．18．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．（1）如图1，已知，，，①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）②过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；（2）如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为；（3）如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹）19．《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：（1）9.1班学生共有人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人；（2）9.1班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．20．如图，在矩形中，为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点，，交于点，，连结，．（1）判断的形状，并说明理由．（2）若，求，的长．21．如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成的半径是，水面（看成直线）与交于，两点，水车的轴心到的距离为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点，从竹筒刚露出水面开始计时，设运动的时间为秒，解决下列问题：（1）求的长以及扇形的面积；（结果保留（2）当时，求点到直线的距离；（3）若接水槽所在的直线是的切线，且与射线交于点，，当竹筒第一次恰好在所在直线上时，求的值．22．如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．（1）求证：为的切线；（2）若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求．23．已知函数，，，为常数且．（1）若的图象经过点，求该函数的表达式．（2）若函数，的图象始终经过同一定点．①求点的坐标和的值．②若，当时，总有，求的取值范围．24．如图1，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，过点作的垂线，分别与，，相交于点、、，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求．

2024年浙江省宁波市镇海区蛟川书院6月中考数学模拟试卷（校四模）参考答案与试题解析一、选题题（共10小题，每题3分）1．（3分）国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是A．核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：由题意可知，选项的图形能绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，所以选项、、的图形不是中心对称图形．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．2．（3分）据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.9亿，故选：．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（3分）鲁班锁也叫八卦锁、孔明锁，是中国古代传统的土木建筑固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具．如图1是拼装后的三通鲁班锁，如图2是拆解后的三通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：图2中木块的主视图如下：故选：．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．（3分）已知，则，满足的关系正确的是A． B． C． D．【分析】根据幂的乘方解决此题．【解答】解：，．．．故选：．【点评】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解决本题的关键．5．（3分）已知数轴上点，，，对应的数字分别为，1，，7，点在线段上且不与端点重合，若线段，，能围成三角形，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案．【解答】解：由点在数轴上的位置得：，，，由三角形三边关系定理得：，不等式①恒成立，由不等式②得：，由不等式③得：，不等式组的解集是，故选：．【点评】本题考查三角形三边关系定理，数轴，解一元一次不等式组，关键是由三角形三边关系定理得到一元一次不等式组．6．（3分）有如下数列：，，，，，，，，，，，满足，已知，，则A．8 B．6 C．4 D．2【分析】根据题中所给条件，依次求出，，，，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为，所以．又因为，，所以．依次类推，，，，，，，由此可见，这列数按1，2，4，4，2，1循环出现，又因为余2，所以．故选：．【点评】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现这列数按1，2，4，4，2，1循环出现是解题的关键．7．（3分）有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得钱，下面两个人各得钱，根据题意可列方程组为A． B． C． D．【分析】根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组为．【解答】解：根据题意得．故选：．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得正确找出等量关系是解决问题的关键．8．（3分）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点、，将称作、两点间的“拐距”，记作，即．已知点，动点在直线上，横坐标为．当取得最小值时，应满足的条件是A． B． C． D．【分析】由点的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点的坐标为，结合点的坐标，可得出，分，及三种情况，可找出的取值范围或的值，进而可得出当取得最小值时的取值范围．【解答】解：动点在直线上，横坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，．当时，；当时，；当时，，当取得最小值时，应满足的条件是．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，找出取最小值时的取值范围是解题的关键．9．（3分）已知二次函数，，，为常数，且，则下列判断正确的是A．若，当时，则 B．若，当时，则 C．若，当时，则 D．若，当时，则【分析】先计算，再根据各选项给定的条件逐一分析即可得到答案．【解答】解：，，，，，，；；故不符合题意；，，，，，；；故符合题意；，，，，，；；故不符合题意；，，，，，可以比0大，也可以比0小；，的大小不确定；故不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．10．（3分）如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将四边形折叠，使与重合，为折痕，则的长度为A． B． C． D．【分析】过作交延长线于，过作于，设，在中，可得，解得，即得，，，由，可得，设，在中，有，解得，故，，在中，．【解答】解：过作交延长线于，过作于，如图：，，，在中，，，，，设，则，在中，，在中，，，解得：，即，，在中，，，，，，，，设，则，，，，在中，，，解得：，，，在中，，故选：．【点评】本题考查直角三角形，等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边的关系，能熟练应用勾股定理解决问题．二、填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）．【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．12．（3分）点所在的象限是二．【分析】根据非负数的性质，即可判断出点的横坐标与纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点所在象限即可．【解答】解，，为非负数，，点的符号为，点在第二象限．故答案为：二．【点评】本题考查了点的坐标和立方根，牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．13．（3分）二次项系数为2，且两根分别为，的一元二次方程为．（写成的形式）【分析】根据题意得出，进而根据二次项系数为2，求得，的值，即可求解．【解答】解：二次项系数为2，两根分别为，，，，这个方程为：，故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，解答本题的关键是明确根与系数的关系．14．（3分）一副三角板和如图1摆放，此时、、三点共线，且，，．如图2，三角板绕着点顺时针旋转，若，且当这两块三角尺有一组边互相平行时，或．【分析】先根据三角板绕着点顺时针旋转，且，分别作图，进行分类讨论以及运用数形结合思想，列式作答即可．【解答】解：依题意，三角板绕着点顺时针旋转，且，当时，即如图：此时点的对应点在上，，当时，即如图：此时点的对应点，与相交于点，，则，即，，综上：当这两块三角尺有一组边互相平行时，或，故答案为：或．【点评】本题考查了三角板有关的计算以及旋转性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．15．（3分）如图，已知反比例函数第一象限的图象经过的顶点，且交于点，点在轴的正半轴上，将沿翻折，点的对应点恰好落在第二象限的图象上，平行轴，若点在上，且是的重心，连结，已知的面积为4，则的值为12．【分析】由点在上，且是的重心，的面积为4，可得，可得再进一步解答即可．【解答】解：点在上，且是的重心，的面积为4，，，，，由对折可得：，，，，；故答案为：12．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的重心，翻折变换，掌握的几何意义是解题的关键．16．（3分）如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，设．①则，（用含的代数式表示）；②当时，则．【分析】①连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．②设圆的半径是，，由，求出，得到，因此，推出，得到，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案．【解答】解：①连接，，，弦于点，，，，是等边三角形，，，，，，．故答案为：；②，，，，，，，，直径，，，设圆的半径是，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题．三、解答题（共8题）17．（1）计算：；（2）先化简，再取一个合适的整数，使得分式的值为整数，并求此时分式的值．【分析】（1）先化简负整数指数幂，绝对值，零次幂，余弦值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．（2）先通分，再进行分式的减法，再约分化简，得出，然后把代入，即可作答．【解答】解：（1）；（2），，当时，则．【点评】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．（1）如图1，已知，，，①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）②过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；（2）如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为；（3）如图3，已知四边形中，，，，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹）【分析】（1）①按题意画出的中垂线即可；②设过点能作直线“紫金线”交于点，证出，得出与周长不相等，则可得出结论；（2）由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，证明，得出，则可得出结论；（3）作出的中垂线，记直线与，分别交于点、，连接，．证明直线平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案．【解答】解：（1）①如图，直线即为所求：直线是的垂直平分线，则记与直线与交于点，点为的中点，与等底同高，，，，平分周长，故直线是的一条“紫金线”；②过点不能作出的“紫金线”，设过点能作直线“紫金线”交于点，如图：则点为中点，满足平分面积，，，与周长不相等，故不能平分该图形周长，不能作出的“紫金线”；（2）由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，是的垂直平分线，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，左右两部分梯形面积也一样，即平分周长也平分面积，直线是矩形的“紫金线”，，，，，，故答案为：；（3）如图，直线即为所求：记直线与，分别交于点、，连接，．直线是的垂直平分线，，，，，由勾股定理得：，，解得：，，，，直线平分该图形周长，，，直线平分该图形面积，直线为四边形的“紫金线”．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：（1）9.1班学生共有50人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人；（2）9.1班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．【分析】（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）9.1班学生共有（人．扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为．9.1班参与“做饭”的人数为（人，估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人．故答案为：50；；150．（2）列表如下：男女女女男（男，女）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种，所选同学中有男生的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．20．如图，在矩形中，为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点，，交于点，，连结，．（1）判断的形状，并说明理由．（2）若，求，的长．【分析】（1）先根据线段中垂线性质得，再依据“”判定和全等得，进而得，则，据此可得的形状；（2）根据矩形性质及得，，根据得，则，由勾股定理可得，然后根据（1）的结论得，再证，利用相似三角形性质可得的长，进而可得的长．【解答】解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：是的中垂线，，为等腰三角形，四边形为矩形，，，在和中，，，，，，，为等腰直角三角形；（2），，，由（1）可知：，，，在中，由勾股定理得：，由（1）可知：为等腰直角三角形，又是的中垂线，，，，又，，，即，，．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．21．如图1，水车是一种利用水流动力进行灌溉的装置，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．水车的示意图如图2，水车（看成的半径是，水面（看成直线）与交于，两点，水车的轴心到的距离为，水车上均匀分布着若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点，从竹筒刚露出水面开始计时，设运动的时间为秒，解决下列问题：（1）求的长以及扇形的面积；（结果保留（2）当时，求点到直线的距离；（3）若接水槽所在的直线是的切线，且与射线交于点，，当竹筒第一次恰好在所在直线上时，求的值．【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理解答即可求得，再利用扇形的面积公式解答即可；（2）过点作于点，利用矩形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理求得，则；（3）设所在的直线与的切点为，连接，利用圆的切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理求得，，的度数，进而求得点旋转的角度即可．【解答】解：（1）由题意得：，，，，．，．，为等腰直角三角形，．，，．扇形的面积．（2）过点作于点，如图，，，四边形为矩形，．当时，，．，，，点到直线的距离．（3）设所在的直线与的切点为，连接，如图，所在的直线与相切于点，，，，．，．，．由（1）知：，，从竹筒刚露出水面开始计时，竹筒第一次恰好在所在直线上，即点运动到点位置，点旋转的角度为，水车以每秒的速度逆时针转动，（秒．答：竹筒第一次恰好在所在直线上时，的值为42秒．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．（1）求证：为的切线；（2）若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求．【分析】（1）连接，则，而，所以，由是的直径，得，则，即可证明是的切线；（2）作于点，可证明，则，由，得