2024届高考数学专项函数与导数经典常考压轴大题

2024届高考数学专项函数与导数经典常考压轴大题

善照身导教经舞有考爪独大题

压轴题解读

本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、

不等式存在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨

论、构造函数、等价转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算

量不低.可以说，只要考生啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分

析、直观想象等核心素养.

预计预测2024年高考，函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基

础，其试题的难度呈逐年上升趋势,通过对近十年的高考数学试题,分析并归纳出五大考点：

命题预测

（1）含参函数的单调性、极值与最值；

（2）函数的零点问题；

（3）不等式恒成立与存在性问题；

（4）函数不等式的证明.

（5）导数中含三角函数形式的问题

其中,对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等

式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点.

（1）双变量问题

（2）证明不等式

高频考法（3）不等式恒成立与有解问题

（4）零点问题

（5）导数与三角函数结合问题

高分必抢

•题型01双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化,即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数,再借用导数，判断函数的单调性,从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.•••

^|||目]1](2024•广东•二已知于(x)=-yaa:2+(l-2a)x—21nc,a>0.

(1)求/(,)的单调区间；

(2)函数/(①)的图象上是否存在两点人(如％),3(外,纺)(其中,1力22)，使得直线AB与函数/(,)的图象在:to

=2中处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在,请说明理由.

题目区(2024•四川•模拟预测)已知函数/⑺=(&+1对—a，2+1(旌同.

(1)当。=1时,求曲线g=/(6)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设劣1,N2(/1<力2)是函数g=/(/)的两个零点，求证：宏1+62>2.

〔题目向|(2024•四川德羯•二已知函数/(a)=Inx+x2—2ax,a6R,

(1)当。>0时,讨论了(劣)的单调性；

(2)若函数/(力)有两个极值点61,力2(21<22)，求2/(61)一/(劣2)的最小值.

高分必抢

♦题型02证明不等式

利用导数证明不等式问题，方法如下：

⑴直接构造函数法:证明不等式/(①)>g0)(或/(2)VgQ))转化为证明/(①)一g(2)>0(或

f(x)—g(x)V0),进而构造辅助函数九(工)=f(x)—g(x)；

(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论；

⑶构造“形似”函数，稍作变形再构造,对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

「题目[(2024・青海・模椒颈测)已知质数/(⑼=小1—/+巾3；—机,且曲线,=/(0在点(2J(2))处的切线

方程为4e2a:—y—4e?=0.

⑴求小的值；

(2)证明:对一切x>0,都有/(a:)>e2x2.

:寂目句(2024・山西膏城・二«)己知函数/(，)=Q—a)ex+x+a(aeR).

(1)若a=4,求/Q)的图象在，=0处的切线方程；

(2)若/(c))0对于任意的xG[0,+co)恒成立，求a的取值范围；

(3)若数列{aj满足a产1且*1=-^-(neN*),记数歹U{aj的前几项和为S”,求证：S.+2<

ln[(n+1)(n+2)].

•••

题目瓦|(2024•上海松江•二W已知函数夕=力・111力+0((0为常数)，记沙=/(力)=力・9(/).

(1)若函数g=gQ)在力=1处的切线过原点，求实数a的值；

(2)对于正实数，求证：/(力)+/(力—x)—Hn2+a；

⑶当Q=1时,求证：g(力)+cos/<—.

x

♦题型03不等式恒成立与有解问题

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性，求出最值,从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法

和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参如分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解：

⑴V2eO—4-Q)min；

(2)VxED,m>f(x)Qrn>/0)max；

(3)3xED,^m^f(x)max-,

(4)3xGD,m?f(x)=馆>/(2)min.

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，己知函数沙=/(a?),①e[a,b],y=g{x},xG[c,d].

⑴若V工仔[a,b],VX2E[c,d],有/QI)Vg(g)成立，则/QLaxVg(2)min；

⑵若VgC[a,b],3X2E[c,d],有/QI)Vg(g)成立，则/0)maxVg(2)max；

(3)若三右住[a,b],BX2G有/QI)Vg(°2)成立，则/Q)minVgQ)max；

(4)若V我e[a,b],3X2E[c,d],有/(应)=g(g)成立，则/(①)的值域是g(rc)的值域的子集.

■

［题目|1］(2024•北京朝用•一模)已知函数/⑸=(1—ax)e\aER).

(1)讨论/(,)的单调性；

(2)若关于，的不等式/(,)>O(l-,)无整数解，求a的取值范围.

［题目|2)(2024・黑龙江哈尔滨•-«)己知函数/⑺=4—aex,aCR.

e

(1)当a=0时，求/(,)在c=l处的切线方程；

(2)当a=1时，求/(,)的单调区间和极值；

(3)若对任意ceR,有/(c)W6T恒成立,求a的取值范围.

［题目|3)(2024・陕西安康•模拟演测)己知函数/(0=Inx+l,g(0=e-1.

(1)求曲线"=/(/)与y=g(a)的公切线的条数；

22

(2)若Q>0,V力G(―l,+oo),/(a；+1)<ag(x)+a—a+1,求a的取值范围.

♦题型04零点问摩

函数零点问题的常见题型:判断函数是否存在零点或者求零点的个数;根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步:将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与立轴（或直线y=灼在某区间上的

交点问题；

第二步:利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步:结合图像判断零点或根据零点分析参数.

题目H（2024•四川泸州•三模）设函数/㈤=,g⑺=Inc+b.

⑴求函数FQ）=（z—l"Q）的单调区间;

（2）若总存在两条直线和曲线夕=/侬）与y=g（c）都相切，求6的取值范围.

〔题目|2）（2024・北京房山・一模）己知函数加）=eax+^.

（1）当a=0时，求曲线夕=/（0在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）设gQ）=/（02,求函数gQ）的极大值；

（3）若aV-e,求函数/（劣）的零点个数.

•••

题目瓦|(2024•浙江•二定义max{a,b}=，’，已知函数/(2)=max{lno;,—4a?+771a；一1},其中7Tl

[b,a<b

ER.

(1)当m=5时，求过原点的切线方程；

(2)若函数/(,)只有一个零点，求实数小的取值范围.

♦题型05导数与三甭西数结合问题

分段分析法

题ri工)(2024,全国•模拟预测)已知函数/(2)=-^-x3—|■a(a?+2cosa;)+ccosc—sinrc.

(1)讨论/(为的单调性

(2)若Q>0,求证：

①函数/(力)在(0,+8)上只有1个零点；

②于(X)>1^~。3—V^sin(Q+手).

•••

蜃瓦区324•河北沧州•一模）已知函数/（2）=%,a＞。.

e

（1）当。=2时,求函数/（力）的单调区间和极值；

⑵当方＞0时，不等式/（力）—cos[ln/（a?）]＞alnx2-4x恒成立，求a的取值范围.

[题目区（2024•全国・模拟预浏）已知函数人,）=e“一sinm

（1）若/（6）＞ax2-\-l对于任意xE[0,+co）恒成立，求a的取值范围；

（2）若函数A⑶的零点按照从大到小的顺序构成数列{g},neN*,证明：»，＜—（2储+"）兀;

1=1

⑶对于任意正实数为1,劣2,证明：（e"2—电一1）6为＞$111（劣i+g）—sin/i—劣2cos0.

压轴题预测

［题目1］已知函数/（劣）=ax—a>0.

（1）若/（⑼存在零点，求Q的取值范围；

⑵若%0力2为一（二）的零点，且力1<力2,证明：。（61+/2）2>2.

题目2,已知函数/（⑼=3111N—QN.

（1）讨论/（力）的单调性.

（2）已知力1,22是函数/（劣）的两个零点（/1VN2）.

（i）求实数Q的取值范围.

（五"e（0,/）,/3）是/⑺的导函数.证明：丹电+（1—加2］<o.

9

遮目可如图，对于曲线「，存在圆。满足如下条件:

①圆。与曲线「有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆。与曲线「在点A处有相同的切线；

③曲线「的导函数在点A处的导数（即曲线「的二阶导数）等于圆。在点A处的二阶导数（已知圆此-a）2

+⑨—6）2=/在点人（刈跖）处的二阶导数等于_士^）；

（6-y0）

则称圆。为曲线r在力点处的曲率圆,其半径r称为曲率半径.

（1）求抛物线U=疗在原点的曲率圆的方程；

（2）求曲线沙=上的曲率半径的最小值；

X

X1

（3）若曲线g=e'在（如e）和（力2,e"?）（/缶T2）处有相同的曲率半径，求证：x1-\-x2<—ln2.

•••

题目可已知函数/（劣）=。/2+/—]nc—Q.

（1）若Q=1,求/（力）的最小值；

（2）若f（6）有2个零点61，/2,证明：矶力1+62）2+（61+/2）>2.

触目回已知函数/（c）=方621+（。-2）y—2。2.

⑴若曲线U=/0）在（0,Q—处的切线方程为4“力+29+1=0,求。的值及/（力）的单调区间.

（2）若/（⑼的极大值为/（ln2）,求a的取值范围.

（3）当a=0时,求证:/（X）+5ex->-|-x2+xlnx.

•••

（题目及|已知函数/（劣）=-^-x2-\-x+aln（x+1）,aeR.

（1）讨论/（劣）的单调性；

（2）证明：当a<-1时，a2+/（x）>1.

题目工）已知函数/（力）=力ln/+Q力+l（aG_R）.

（1）若/（力）>0恒成立，求Q的取值范围；

（2）当力>1时，证明：exlnx>e（a;-1）.

•fl

I题目回已知函数/(/1InQ+D-a/f.

(1)判断函数/(0的单调性

(2)证明:①当a>0时,/(040；

②sin—+sin—H-----Fsin-7—<ln2,nGN,.

n+1n+22n

;题目回牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先

猜想某个方程/（，）=0的其中一个根r在c=g的附近，如图6所示，然后在点（，。,〃，。））处作/（c）的切线，

切线与工轴交点的横坐标就是电，用电代替g重复上面的过程得到电；一直继续下去,得到x0,X1,x2,

xn.从图形上我们可以看到为较g接近r,电较，1接近r,等等.显然,它们会越来越逼近r.于是，求r近似解

的过程转化为求与，若设精度为£,则把首次满足旧“-吗」＜£的与称为r的近似解.

已知函数/（2）=x3—x+1,aER.

（1）试用牛顿迭代法求方程/（2）=0满足精度e=0.5的近似解（取g=-1,且结果保留小数点后第二位）；

L35

⑵若/⑺+3^+62；+5+ae”W0对任意①CR都成立,求整数a的最大值.（计算参考数值：e七2.72,e«

3.86,e04.48,1.353^2.46,1.352^1.82）

••

题目］^已知函数/(2)=Inc—aa?+1,aeR.

(1)讨论/Q)的单调性；

(2)若Va;>0,/(t)Wxe2x-2ax恒成立，求实数a的取值范围.

题目己知函数/(力)=/—2aln;c—2(aC/?).

(1)讨论/Q)的单调性；

(2)若不等式/(①)42。112)?+"—2a;在区间(1,+s)上有解，求实数a的取值范围.

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题目亘已知函数/(,)=?,其中e=2.71828…为自然对数的底数.

e

(1)求函数/(N)的单调区间；

⑵证明：/Q)&e*-l；

2xx2

(3)设gQ)=/Q)—e+2ae—4：a+l(<aER),若存在实数g使得g(g)>0,求Q的最大值.

题目工。已知函数/(力)=e“—1—a力(aGR).

(1)若函数/(/)在点(1,/(1))处的切线与直线力+2ey+1=0垂直，求a的值;

(2)当力G(0,2］时，讨论函数F(力)=/(力)一/In力零点的个数.

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题目已知函数/(力)=©2*-(2Q-l)e'-Qc.

(1)讨论/(⑼的单调性；

(2)若/Q)有两个零点，求Q的取值范围.

题目15)已知函数/(力)=ex-x2-\-a,xGR,(p(x)=/(力)+x2—x.

(1)若8(%)的最小值为0,求Q的值；

⑵当aV0.25时,证明:方程f(%)=26在(0,+8)上有解.

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叵已知/(c)=£,g(c)=个.

(1)求函数沙=/原)、y=g(c)的单调区间和极值；

(2)请严格证明曲线g=/(6)、y=gQ)有唯一交点；

⑶对于常数aG(0,9)，若直线和曲线"=/(4)、O=gQ)共有三个不同交点(/I,Q)、(/2，。)、(力3，。)，其

中力1<劣2〈力3，求证：力1、力2、力3成等比数列.

o17)已知函数/(0)=sine—ax-cosx,a6R.

(1)当a=1时，求函数/(乃在c='处的切线方程;

⑵cC(0号)时；

(i)若/(劣)+sin2/>0,求a的取值范围；

(五)证明：sin之力•tanrr>x3.

•••

［题目逗/（0=72sm（x+0）—a+,少C（0昼），已知/㈤的图象在（0,/（0））处的切线与田轴平行或重合.

⑴求3的值；

（2）若对V，＞0,/（7）＜0恒成立,求a的取值范围；

157,

（3）利用如表数据证明：＞＞in籍＜106.

fc=i

7878K797r79K

e盅产e31兀4e-we314e-w

1.0100.9902.1820.4582.2040.454

•••

1题目包数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支,其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平

‘QnQ12。13…

面向量日=侬,妨，其模定义为同=耳7.类似地，对于n行n列的矩阵人““=密电2电3-电“，其

。31。32。33…a3n

V：：：：7

模可由向量模拓展为A=犷（其中为为矩阵中第i行第，列的数，X为求和符号），记作4,我们称这

样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数,例如对于矩阵42=（a"㈣=（：B，其矩阵模4=固编了=

\。210-22'35/

V22+42+32+52=3函.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.