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文档简介
湖南省岳阳市达标名校2023-2024学年高考数学全真模拟密押卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,下列说法中错误的是()A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过400万元2.设,是空间两条不同的直线,,是空间两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,,则;②若,,,则;③若,,,则;④若,,,,则.其中正确的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④3.如图,在中,,且,则()A.1 B. C. D.4.如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B. C. D.15.已知双曲线的焦距为,过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点,若线段的中点在圆上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.7.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B.C. D.8.设且,则下列不等式成立的是()A. B. C. D.9.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或10.已知复数满足,且,则()A.3 B. C. D.11.已知棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面中,最大面积为()A. B. C. D.12.已知,,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.14.若,则=______,=______.15.(5分)国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是,则这五位同学答对题数的方差是____________.16.过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.768381252618.(12分)在平面直角坐标系中,将曲线(为参数)通过伸缩变换,得到曲线,设直线(为参数)与曲线相交于不同两点,.(1)若,求线段的中点的坐标;(2)设点,若,求直线的斜率.19.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为,(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求的极坐标方程和的直角坐标方程;(Ⅱ)设分别交于两点(与原点不重合),求的最小值.21.(12分)已知函数(,),且对任意,都有.(Ⅰ)用含的表达式表示;(Ⅱ)若存在两个极值点,,且,求出的取值范围,并证明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断零点的个数,并说明理由.22.(10分)如图,在三棱锥中,,是的中点,点在上,平面,平面平面,为锐角三角形,求证:(1)是的中点;(2)平面平面.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为,故选项A正确;1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高,故选项B正确;易求得总利润为380万元,众数为30,中位数为30,故选项C正确,选项D错误.故选:.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.2、C【解析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解:①:、也可能相交或异面,故①错②:因为,,所以或,因为,所以,故②对③:或,故③错④:如图因为,,在内过点作直线的垂线,则直线,又因为,设经过和相交的平面与交于直线,则又,所以因为,,所以,所以,故④对.故选:C【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题.3、C【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示,可得到的关系,再由三点共线,又得到一个关于的关系,从而可求得答案【详解】由,则,即,所以,又共线,则.故选:C【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识,结合图形寻找各向量间的关系,属于中档题.4、B【解析】
根据题意可得平面,,则即异面直线与所成的角,连接CG,在中,,易得,所以,所以,故选B.5、C【解析】
设线段的中点为,判断出点的位置,结合双曲线的定义,求得双曲线的离心率.【详解】设线段的中点为,由于直线的斜率是,而圆,所以.由于是线段的中点,所以,而,根据双曲线的定义可知,即,即.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法,考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.6、D【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.7、D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列的实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种:(1)定义法,若()或(),数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.8、A【解析】项,由得到,则,故项正确;项,当时,该不等式不成立,故项错误;项,当,时,,即不等式不成立,故项错误;项,当,时,,即不等式不成立,故项错误.综上所述,故选.9、B【解析】
因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.10、C【解析】
设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.11、B【解析】
由三视图可知,该三棱锥如图,其中底面是等腰直角三角形,平面,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知,该三棱锥如图所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三视图知,因为,,所以,所以,因为为等边三角形,所以,所以该三棱锥的四个面中,最大面积为.故选:B【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积;考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12、C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.14、10【解析】
①根据换底公式计算即可得解;②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:,则;②由①可得:.故答案为:①1,②0【点睛】此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.15、2【解析】
由这五位同学答对的题数分别是,得该组数据的平均数,则方差.16、【解析】
根据与已知直线垂直关系,设出所求直线方程,将已知圆圆心坐标代入,即可求解.【详解】圆心为,所求直线与直线垂直,设为,圆心代入,可得,所以所求的直线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查圆的方程、直线方程求法,注意直线垂直关系的灵活应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)不同的样本的个数为.(2)①分布列见解析,.②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理计算不同的样本数.(2)名学生中物理和数学都优秀的有3名学生,任取3名学生,都优秀的学生人数服从超几何分布,故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算,并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【详解】(1)依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为名,18名男同学中应抽取的人数为名,故不同的样本的个数为.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名,∴的取值为0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列为0123∴.②∵,.∴线性回归方程为.当时,.可预测该同学的物理成绩为96分.【点睛】在计算离散型随机变量的概率时,注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何分布等).18、(1);(2).【解析】
(1)由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和,再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标;(2)利用直线参数方程的几何意义得到,再利用计算即可,但要注意判别式还要大于0.【详解】(1)由已知,曲线的参数方程为(为参数),其普通方程为,当时,将(为参数)代入得,设直线l上A、B两点所对应的参数为,中点M所对应的参数为,则,所以的坐标为;(2)将代入得,则,因为即,所以,故,由得,所以.【点睛】本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识,考查学生的计算能力,是一道中档题.19、(1);(2)16.【解析】
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线的极坐标方程,得出,利用三角形面积公式,结合正弦函数的性质,得出的面积最小值.【详解】(1)曲线:,即化为直角坐标方程为:;(2),即同理∴当且仅当,即()时取等号即的面积最小值为16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用,属于中档题.20、(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定义可直接写出直线的极坐标方程,对曲线同乘可得:,转化成直角坐标为;(Ⅱ)分别联立两直线和曲线的方程,由得,由得,则,结合三角函数即可求解;【详解】(Ⅰ)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得,所以的直角坐标方程为.(Ⅱ)与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时,取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,极坐标中的几何意义,属于中档题21、(1)(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析:利用赋值法求出关系,求函数导数,要求函数有两个极值点,只需在内有两个实根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围,再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.试题解析:(Ⅰ)根据题意:令,可得,所以,经验证,可得当时,对任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在两个极值点,,
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