椭圆知识点总结附练习题

椭圆知识点总结椭圆的定义：平面内一动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；

假设，那么动点的轨迹无图形.椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：〔1〕只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

(2〕在椭圆的两种标准方程中，都有和；

(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，椭圆的简单几何性质:椭圆：的简单几何性质

1.对称性：

对于椭圆标准方程：

以轴、轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形

2.范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

3.顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

②因为，所以的取值范围是。越接近1，那么就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

注意：椭圆的图像中线段的几何特征〔如下列图〕：

〔1〕；；；

〔2〕；；；

〔3〕；；；5,通径：〔过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦〕，通径长为.6,设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形——焦点三角形.两种椭圆标准方程的区别和联系：椭圆与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1，求椭圆方程的常用方法〔1〕待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

〔2〕定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，那么c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。3，方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有同号，且时，方程表示椭圆。

当时，椭圆的焦点在轴上；

当时，椭圆的焦点在轴上。4，焦点三角形〔为椭圆上的点〕有关的计算问题令;常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。〔此处信息量较大〕将有关线段，有关角()结合起来，建立，之间的关系.的最大值为；5，椭圆的扁圆程度与离心率的关系离心率，因为，，即。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。6，点与椭圆的位置关系：〔1〕点在椭圆外；点在椭圆上＝1；〔3〕点在椭圆内7，直线与椭圆的位置关系：假设直线与圆锥曲线相交于两点，将直线方程联立曲线方程可得：〔1〕相交：直线与椭圆相交；〔2〕相切：直线与椭圆相切；〔3〕相离：直线与椭圆相离；8，椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.〔2〕过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是9，弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点，那么＝＝；假设弦所在直线方程设为，那么＝。注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点〔详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用〕10，中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率设交点坐标为，，线段的中点为，那么由，将两式相减〔1〕斜率问题：；〔2〕弦中点轨迹问题时：，即；〔3〕要注意：；〔4〕直线的方程:；〔5〕线段的垂直平分线方程：椭圆的几何性质练习一，椭圆的几何性质的简单运用1，椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标。2，求与椭圆有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。3，在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，求的方程。二，求椭圆的离心率1，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的上顶点，是椭圆的右顶点，是椭圆上的一点，且轴，,求此椭圆的离心率。2，椭圆的左焦点是椭圆的两个顶点，假设到直线的距离为，求椭圆的离心率。3，是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，求的离心率。4，设椭圆上存在一点，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围。三，直线与椭圆的位置关系1，椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，且，求椭圆的方程。2，直线过点与椭圆相交于两点，假设为中点，试求直线的方程。3，椭圆的标准方程为，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于直线对称。四，椭圆中的最值问题1，椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？2，点分别是椭圆长轴的左右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，〔1〕求点的坐标；〔2〕设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上点到点的距离的最小值。五，椭圆两种定义的应用1，在直线上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。2，椭圆内有一点是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，使最小。六，综合问题1，过点作直线交椭圆于两点，当得面积最大时，求直线的方程。2，椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设为椭圆上任意一点，且。求证：为定值。3，椭圆的两个焦点为为是椭圆上一点，满足〔1〕求离心率的取值范围；〔2〕当离心率取得最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为，求此时椭圆的方程。4，椭圆，过点作圆的切线交椭圆于两点。〔1〕求椭圆的焦点坐标和离心率；〔2〕将表示为的函数，并求的最大值。5，设椭圆的左右焦点分别为，点满足。〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设直线与椭圆相交于两点，假设直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程。6，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，下顶点为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为〔1〕假设直线平分线段，求的值；〔2〕当时，求点到直线的距离；〔3〕对任意的，求证：7，设分别是椭圆的左右焦点，过斜率为1的直线与椭圆相交于两点，且成等差数列。〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设点满足，求椭圆的方程。作业1，某椭圆中心在原点，焦点在轴上，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为________。2，椭圆与的关系是________。3，椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，那么椭圆的离心率为________。4，假设椭圆的两焦点坐标为在椭圆上，且的最大面积是12，那么椭圆的标准方程为________。5，两个正数1,9的等差中项是，等比中项是且，那么曲线的离心率为________。6，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，那么椭圆的离心率的取值范围是________。7，假设直线与圆没有交点，那么过点的直线与椭圆的交点个数为________。8，椭圆的方程为。如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰为椭圆的右焦点，那么椭圆的离心率为________。9，椭圆内有一点，那么经过并且以为中点的弦所在的直线方程为________。10，椭圆的两个焦点分别为，斜率为的直线过左焦点且与椭圆的交点为，与轴交点为，又为线段的中点，假设，求椭圆离心率的取值范围。11，设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点