第三节 协方差及相关系数教材

第三节协方差及相关系数对于二维r.v.(X

,Y)。我们除了要讨论X与Y

的均值和方差，还要讨论X

与Y

之间的相互关系的数字特征。意味着若上不等式成立，说明X与Y

存在一定的关系。回忆在第二节中证明方差的性质言下之意是说当X与Y

不独立时已看到如果X与Y

相互独立，则所以我们用上式给出刻划两个r.v.间相关程序的一个重要数字特征：协方差，相关系数.一、概念定义3.1设二维随机变量(X,Y)分量的均值为E(X),E(Y),

若

E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称它为X，Y

的协方差为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，就引出了相关系数。注：1

COV

(X,Y)是能反映X

与Y

之间有某种关系的数字特征。

2协方差的大小在一定程度上反映了X

和Y

相互关系的程度。记为COV(X,Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)]。但它是个有量纲的量，其值受X与Y

本身度量单位的影响。定义3.2

若二维随机变量(X,Y)分量的方差D(X),D(Y)都存在，且D(X)>0,D(Y)>0则称：为r.v.X

和Y的相关系数。定义3.3什么叫相关？待讨论性质时可知其实际意义。二、协方差的性质与计算

1.计算（1）用定义计算（2）用公式在第二节方差性质中已证{用定义计算例2：已知(X,Y)的联合分布率为01210.20.10.330.10.30

XY求COV(X,Y)。解：用公式计算COV(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)先求出X,Y的边缘分布，填入上表中，X~Pi

Y~Pj0.60.40.30.40.3

1求得自己用定义证明注：若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)注：若X,Y

独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)Cov(X,a)=0和协方差0=X与Y独立性质3.3,4)2.0,100(~),2(~.3UVYXVXUbYXYXrp求令相互独立，且与设随机变量例-==三、相关系数的性质。若X,Y

的相关系数存在，则

1.证明1.由于存在，故D(X),D(Y)存在，且都大于零。协方差用性质2方差非负性2.的充分必要条件是：存在常数

a,b

且a0,使得{又由方差性质知，上式成立的充要条件是即即性质2.得证。参考书上证明方法自己看。几点说明：

(1)存在常数a,b,a0,使P{Y=aX+b

}=1

即X和Y以概率1线性相关。当P{Y=aX+b

}=1.这时称X与Y完全正相关(a>0)当P{Y=aX+b

}=1.这时称X与Y完全负相关(a<0)完全正相关和完全负相关统称为完全相关。当X与Y完全相关时，(X,Y)可能取的值概率为1的集中在一条直线上。(2)相关系数是用来刻画X,Y

线性相关程度的一个数量指标。当值越接近1时，X与Y之间越近似有线性关系；当值越较小（接近0）时，X与Y之间不能认为有近似的线性关系；当时，X与Y

不相关，X,Y

之间没有线性关系。可能X,Y

之间有某种非线性的函数关系（如：例5）这时X,Y

之间的关系较复杂；可能

X,Y

相互独立；{例4：设r.v.X

~b(100,0.2)，又Y=AX+B。(A,B

是常数A0)求r.v.X

与常数是独立的。0{可看出：1二维正态随机变量的分布完全可由X,Y

各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。例4：设二维随机变量

可以求得：其证明见参考材料P.133要求知道结果。第三章曾讨论二维正态分布X与Y

相互独立由例5看出：

即X

与Y

不相关，但X

与Y

并不独立，而是Y

与X有严格的非线性函数的关系。故知对二维正态分布(X,Y)而言；X

与Y

不相关等价于X

与Y

相互独立。现在知道。小结：随机变量X,Y

相互独立与相关与否关系：存在存在?不相关与独立与特别二维正态分布YXYXo3第五节矩、协方差矩阵一、矩。定义5.1：设二维随机变量(X,Y),k，m为非负整数。若E(Xk

),k=1,2,…存在，则称它为X

的k阶原点矩。若E[X-E(X)

]k,K=2,3,…存在，则称它为X的k阶中心矩。若E[Xk

Ym],k,m=1,2,…存在，则称它为X和Y的k+m

阶混合矩。若E{[X-E(X)

]k

[Y-E(Y)

]m},k,m=1,2,…存在，则称它为X

和Y的k+m

阶混合中心矩。显然E(X)是X

的一阶原点矩。方差D(X)是X

的二阶中心矩。协方差