上海新课标高一年级上学期数学全部教案

高一上学期数学讲义

1.1集合及其表示法

一、教学内容分析

集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在

今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数

学素养。

本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和

基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集

合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。

二、教学目标设计

知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会

用”列举法〃和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义.

三、教学重点及难点

教学重点：集合的基本概念；

教学难点：用''列举法''和"描述法''表示集合。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、数学史引入

（1）”物以类聚，人以群分“（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；

（4）所有的正有理数；（5）..........

二、学习新课

1.概念辨析

（1）集合的有关概念：

集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简

称集。

我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。我们称集合中的各个对象叫

做这个集合的元素；

集合的分类：有限集、无限集；

集合中元素的特性："确定性"；"互异性"；"无序性"；

（2）集合的表示方法：

集合的符号表示：集合常用大写英文字母.....表示，集合中的元素常用小写英文字母.....

表示

元素与集合的关系：属于与不属于（注意方向和辨析）；

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），且写在大括号内，这种表示集

合的方法叫列举法

描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上

集合中元素所共同具有的特性，即：，这种表示集合的方法叫做描述法.

（3）特殊集合的表示：

常用的集合的特殊表示法：实数集（正实数集）、有理数集（负有理数集）、整数集（正整

数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集；

空集(例：方程的实数解集为).

［说明］描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种

表示方法的理解。

2.例题分析

例1、判断下列各组对象能否组成集合：

(1)不等式的解；

(2)我班中身高较高的同学；

(3)直线上所有的点；

(4)不大于10且不小于1的奇数。

例2、用符号或填空：

(1)2(2)(3)0___

(4)0(5)(6)0

例3、写出下列集合中的元素(并用列举法表示)：

(1)既是质数又是偶数的整数组成的集合答：

(2)大于10而小于20的合数组成的机荷答：

例4、用描述法表示下列集合：

(1)被5除余1的正整数所构成的集合答：

(2)平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合答：

(3)函数的图像上所有的点答：

(4)答：

例5、用列举法表示下列集合：

(1)答：

(2)答：

(3)答：

(3)答：

例6、用符号或填空：

(1)(2)

(3)(4)

［说明］例4一例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点，题目不宜

过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念.

三、巩固练习：课本p7练习1.1

四、课堂小结：集合的概念、表示方法

五、作业布置

(必做题)课本p7习题1.1

(选做题)已知集合，若，判断：是否成立.

六、教学设计说明

1.通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念,

再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。

2.由于本节课文字信息量较大，因此用制作课件，以简化板书工作,增加课堂教学的信息

容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。

L2集合之间的关系

一、教学目标设计

理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念

二、教学重点及难点

教学重点：子集的概念

教学难点：辨析元素与子集、属于与包含的关系

三、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。

（2）集合中元素的特性是什么？

二、引入：观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）：

（1）,；

⑵,；

（3）是XX中学高一年级全体女生组成的集合，是XX中学高一年级全体学生组成的集合.

［说明］给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、

集合相等的概念。

三、学习新课

1.概念辨析

定义1：对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合叫作集合的子

集，记作:或（读作：包含于或包含

注1：（1）有两种可能：①中所有元素是中的一部分元素；②与是中的所有元素都相同；

（2）空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；

（3）判定是的子集，即判定"任意

定义2：对于两个集合a与b,如果且，那么叫做集合等于集合，记作=（读作集合等于集

合）；

注2：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）判定，即判定“任

意，且任意

定义3：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做的真子集，

记作：或，读作真包含于或真包含.

注3：（1）空集是任何非空集合的真子集,；

（2）判定，即判定”任意，且存在”；

（3）子集与真子集符号的方向；

（4）易混符号：①""与""②与

2.例题分析

1、写出数集、、、、的包含关系；

2、写出集合的所有真子集；

3、已知集合，写出符合下列条件的的子集：

（1）以集合中的所有质数为元素；

（2）以集合中所有能被3整除的数为元素；

（3）以集合中所有能被2整除的数为元素。

4、设集合，；

（1）判断2分别与、的关系（2）确定、之间的关系

5、确定下列两个集合关系：

（1）,

（2）,

（3）,

四、巩固练习：课本pll练习1.2

五、课堂小结

理解集合之间的包含关系，掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系，掌握他们

的各种符号表示及证明方法。对于两个集合a与b,如果集合a中任何一个元素都属于集合b,

那么集合a叫做集合b的子集，记作，规定空集是任何集合的子集。当集合a是集合b的子

集时，进一步详细讨论，若集合b中至少有一个元素不属于a,那么集合a是集合b的真子

集；若集合b也是集合a的子集，那么集合a与集合b相等。

两个集合之间也不一定存在包含关系，如集合a中任何一个元素都不属于集合b,集合b中

任何一个元素都不属于集合a,等等，这些在集合运算中能得到体现。

六、作业布置

（必做题）课本pll习题1.2

（选做题）设集合，

,求集合的个数.

七、教学设计说明

本节内容是集合这个章节的第二节，是继第一节集合概念后的又一节概念课，通过集合与

集合之间的关系，比较元素与集合的关系，使同学们加深对集合概念的理解。另一方面，用

定义的方法来判定集合与集合的关系，也是本节课的难点之一，需要对概念在理解的基础上

进一步熟练掌握。因此，本节课内容较多，需要同学们通过简单而直观的实例来区分概念，

从而达到熟练掌握的效果。

1.3（1）集合的运算（交集、并集）

一、教学内容分析

本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词"且"、"或"，理

解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解"且或"的含义：求方程组的解集是求各个

方程的解集的交集，求方程的解集，则是求方程和的解集的并集。

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌

握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形

结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、

补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用.

二、教学目标设计

理解交集与并集的概念；掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关

系，会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表

达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点：交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；

交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、子集与真子集的区别。

2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。

二、讲授新课：关于交集

1、概念引入

(1)考察下面集合的元素，并用列举法表示(课P12)

a=b=c=

解答：a={l,2,5,10},b={L3,5,15),c={l,5}

［说明］启发学生观察并发现如下结论：c中元素是a与b中公共元素。

(2)用图示法表示上述集合之间的关系

2,101,53,15

2、概念形成

*交集定义

一般地，由集合a和集合b的所有公共元素所组成的集合，叫做a与b的交集。记作aAb(读

作"a交b"),BP：anb={x|xGa且xGb}(让学生用描述法表示)。

*交集的图示法

*请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

交集的性质(补充)

由交集的定义易知，对任何集合a,b,有：

aCa=a,aCu=a,aC<|>=<］>；②aCba,aAbb；(3)anb=bAa；④aCbCc=(aflb)Ac=a

D(bClc)；⑤aCb=aab。

4、例题解析

例1：已知，b=,求。(补充)

解：

［说明］①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。

例2：设@=&日是等腰三角形},b={x|x是直角三角形},求

aAbo(补充)

解：anb={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}

［说明］:此题运用文氏图，其公共部分即为anb

例3：设a、b两个集合分别为,，求aCb,并且说明它的意义。(课本pll例1)

解：={(3,4)}

［说明］表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。

例4(补充)设@={1,2,3},b={2,5,7},c=例,2,8),

求(aAb)Cc,afl(bAc),aDbrico

解：(aAb)Dc=({1,2,3}D{2,5,7})A{4,2,8}=⑵C{4,2,8}=⑵;aD(b

nc)={1,2,3}n({2,5,7}n{4,2,8})={1,2,3}c{2}={2}；aCbCc=(aAb)n

c=aC(bPIc)=⑵。

三、巩固练习练习1.3(1)

关于并集

1、概念引入

引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示

a=}，b=,c=

答：a=,b={-3}，c={2,-3}

［说明］启发学生观察并发现如下结论：C中元素由a或b的元素构成。

2、概念形成

*并集的定义：一般地，由所有属于a或属于b的元素组成的集合，叫做a与b的并集,

记作aUb（读作"a并b"）,即aUb={x|xGa或xWb}。

*并集的图示法

*请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

*并集的性质（补）

①aUa=a,aUu=u,aU<|>=a；②a（aUb）,b（aUb）；@aUb=bUa；④aCbaUb,当且

仅当a=b时,aAb=aUb；⑤aUb=aba.

［说明］交集与并集的区别（由学生回答）（补）

交集是属于a且属于b的全体元素的集合。

并集是属于a或属于b的全体元素的集合。

xGa或xGb的“或〃代表了三层含义：即下图所示。

4、例题解析

例5：设2={4,5,6,8},b={3,5,7,8）,求aUb。（补充）

解:，a={4,5,6,8},b={3,5,7,8）,

则aUb={4,5,6,8}U（3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。

［说明］①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元

素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：设a={a,b,c,d},b={b,d,e,f},求aCb,aUb»

（课本pl2例2）

解：aflb={b,d},则aUb={a,b,c,d,e,f}。

例7：设a={x|x是锐角三角形},b={x|x是钝角三角},求aUb。（补充）

解：aUb={x|x是锐角三角形}U{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。

例8：设@=仅|-21或x解：aUb=r

［说明］本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思

想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知a={x|x=2k,kWz或xWb},b={x|x=2k-l,k《z},求aUb。（课本pl2例4）

［说明］解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。

三、巩固练习：1.3（2）

补充练习

1、设a={x|-1解析:利用数轴，将a、b分别表示出来，则阴影部分即为所求.

解：将@=晨|-1aUb={x|-12、a={l,3,x},b={,1},且aL）b={l,3,x}。求x?

3、{0,1}Ua={0,1,2},求a的个数？

4、a={x|-2四、课堂小结

L交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.

2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数

轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.

3、区分交集与并集的关键是"且"与"或"，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个

字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。

五、课后作业

1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9

2、思考题：设集合m={x|x设},p={x|x3、思考题:设集合a={-4,2m-1,m2},b=[9,m-5,

1-m},又aCb={9},求实数m的值.

解：VaAb={9},a={-4,2m-1,m2},b={9,m-5,1-m}..,.2mT=9或m2=9,解得m=5或

m=3或m=-3.

若m=5,则a={-4,9,25}»b={9,0,-4}与aCb={9}矛盾；

若m=3,则b中元素m-5=l-m=-2,与b中元素互异矛盾；

若m=-3,则a={-4,-7,9},b={9,-8,4}满足aAb={9}.；.m=-3。

六、教学设计说明

1、注重数形结合，从集合a和b的文氏图中引出交集、并集的概念在引出交集、并集的概

念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合a和集合b

的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合

之间的交并运算打下基础。

2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交集、

并集的概念还给出

了它们各自的符号语言表示，①②即：对于符号语言的表示要注意它们的区别

和联系，抓住概念中的关键词”且"、〃或"。

①中的，，且，，字，它说明的任一元素都是a与b的公共元素。由此可知，必是a与b的公

共子集，即：。

②式中的"或"字的意义，""这一条件，包括下列三种情况：，，且（很明显，适合第三

种情况的元素构成的集合就是还要注意，a与b的公共元素在中只出现一次。因此，

是由所有至少属于a,b两者之一的元素组成的集合。

由定义可知，a与b都是的子集，联系到都是a,b的子集，可得下面的关系式：

3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教

师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容。见下表：

名称

交集

并集

定义

由所有属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做a与b的交集。

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a与b的并集。

记号

（读作"a交b"）

（读作"a并b"）

简而

言之

a与b的公共元素组成的集合即且

a与b的所有元素组成的集合即或

图示

（一般情形）

（阴影为）

（阴影为）

性

质

4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间

的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）

表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。作一些这方

面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可

不断培养正向思维和逆向思维的能力。

5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求,

但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力.

1.3（2）集合的运算（全集、补集）

一、教学内容分析

子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入

手，给出子集的概念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。

正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始

接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。

补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，

而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。

正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可

以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运

用集合的观点研究、处理数学问题。

因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，

这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区

别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，

结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。

二、教学目标设计

了解全集与补集的意义;掌握补集符号”cua〃,会求一个集合的补集;知道有关补集的性质。

三、教学重点与难点

补集的概念及有关运算。补集的有关性质。

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

1、集合的子集、真子集概念、求法？

2、两个集合相等应满足的条件是什么？

二、讲授新课

1、概念引入

事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。

回答下列问题

例:a=｛班上所有参加足球队的同学｝

b=｛班上没有参加足球队的同学｝

u=｛全班同学｝

那么u、a、b三集合关系如何？

集合b就是集合u中除去集合a之后余下来的集合。即图中阴影部分。

2、概念形成

*全集定义

如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，

记作u。

［说明］①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定

的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集r看作全集u,有时把有理数集q

看作全集u,有时把正整数集合看作全集u.

*补集定义

一般地，设u为全集，a是u的一个子集（即au）,则由u中所有不属于a的元素组成的集

合，叫做集合a在全集u中的补集，记作cua,即cua=｛x|xGu,且xa｝,读作"a补”。

（上图阴影部分即表示a在u中补集cua。）

*举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集u,那么有理数集q的补集

cuq就是全体无理数的集合。

3、概念深化

补集的性质（补）

①aAcua=<|>②aUcua=u③cu（cua）=a

［说明］a的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。

4、例题解析

例1、若u42,3,4）,a=｛4,3｝,则cua=。

例2：设u=r,a=,写出cua。（课本pl4例5）

解：cua=

［说明］①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解"的好习惯。②强调补集何时在端点处可以

取得等号，何时不能取得等号。

例3：若集合a=,当全集u分别取下列集合时，写出cua。（补充）

①u=②u=③u=(画数轴)

解：①cua=②u=③圻

［说明］补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集是什么？全集不同，

导致补集不同。

例例设u={a,b,c,d,e},a={a,b},b={b,c,d},

①求cuaCcub,cu(aOb),cu(aUb),cuaUcub(课本pl4例5)

②从上述结论中，你发现有什么结论？(补)

③对任意的集合a,b,请你用集合的图示法说明是否有以上结论。

(习题1.3(3)第2题)

［说明］①通过练习,引导学生发现如下结论：cuaricub=cu(aUb),cuaUcub=cu(anb)。

②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。

三、巩固练习

(l)u={高一(1)班的所有学生},a={高一(1)班的女生},b={高一(1)班的学生干部},

求a,b,的补集并说明其实际意义。(课本pl5习题1.3(3))

(2)若产{三角形},b={锐角三角形},则cub=。

(3)若u={l,2,4,8},a=?,贝!|cua=。

(4)若u={l,3,a2+2a+l},a={l,3},cua={5},贝ija=»

(5)已知a={0,2,4},cua={-l,1},cub={-1,0,2},求b=<,

解答：

(1)：cua={高一(1)班的男生},cub={高一(1)班的所有不是学生干部的学生},cu()

={高一(1)班所有除了学生干部的女生的同学}

(2)：cub={直角三角形或钝角三角形}。

(3)：cua=u

(4)：a2+2a+l=5；a=T±

(5)：利用文恩图，b={l,4}。

四、课堂小结

1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。

2、能熟练求解一个给定集合的补集。

3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。

五、课后作业

1、课本pl5习题1.3—8,9,10

2、思考题：已知全集u={x,a={x

b={x,求的所有元素之积及的所有元素之和。

六、教学设计说明

(1)从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义。

全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的

特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全

集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这

些概念所具有的某些重要性质。

(2)概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，"ua是a在全集u中的补集〃,

不能把它简单地说成ua是a的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合a在不同的全集

中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说

集合a的补集是没有意义的。

(3)要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每

一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运

用这些符号。

举例如下，请同学们思考其结果。

填充：

⑴若s={2,3,4},a={4,3},则csa=。

⑵若s={三角形},a={锐角三角形},则csb=。

⑶若s={l,2,4,8},a=?,则csa=。

⑷若u={l,3,a2+2a+1},a={l,3},贝！|cua={5},贝!Ia=。

⑸已知a={0,2,4},cua={-1,1],贝！jcsb={T,0,2},求b=。

⑹设全集11={2,3,ni2+2m-3},a={|m+l,2},则cua=5,求m=。

⑺设全集u={l,2,3,4},a={x|x2-5x+m=0,x?u},求cua、m»

评析：

例⑴解：csa={2}

主要是比较a及s的区别。

例⑵解：csb={直角三角形或钝角三角形}

注意三角形分类

例⑶解：csa=s空集的定义运用

例⑷解：a2+2a+1=5,a=-1土5利用集合元素的特征。

例⑸解：利用文恩图由a及cua先求u={T,0,1,2,3},再求b={l,4}

例⑹解：由题m2+2m-3=5且|m+l|=3解之m=4或m=2

例⑺解：将x=1,2,3,4代入x2-5x+m=0中，得m=4或m=6

当m=4时，x2-5x+4=0,即@={1,4}

当m=6时，x2-5x+6=0,即a={2,3}

故满足条件：即cua={I,4},m=4；cub={2,3},m=6»此题解决过程中渗透分类讨

论思想。

课堂练习：课本P10练习1、2。

1.4（1）命题的形式及等价关系

一、教学内容分析

命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别

强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重

要的数学思想。

推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义

及符号。

教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命

题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。

本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四

种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。

二、教学目标设计

理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理

解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。

三、教学重点及难点

理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。

四、教学用具准备：多媒体

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、复习回顾

在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。

命题：表示判断的语句。真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

命题”全等三角形的面积相等''的条件与结论各是什么？

本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。

［说明］通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要

学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。

二、讲授新课

1.命题

例1:下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？

为什么？（课本例题）

1•个位数是5的自然数能被5整除；2.凡直角三角形都相似；

3.上课请不要讲话；4.互为补角的两个角不相等；

5.你是高一学生吗？

解：1.真命题：它可以写成10k+5的形式（k是非负整数），而10k+5=5（2k+l）,所以

10k+5能被5整除。

2.假命题：取三个角分别是900、450、450的直角三角形，它与三个角分别是900、600、

300的直角三角形不相似。

3.不是命题不是判断语句。

4.假命题：取一个角为900,另一个角也为9000,它们是互补的，但它们相等了.

5.不是命题是疑问句，不是表示判断的陈述句。

结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）

［说明］:构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或

运用类比手段。

③真命题的确定：作出证明，方法

［说明］:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法.

2、推出关系：

一般地，如果a这件事成立可以推出B这件事也成立，那么就说由a可以推出B,并用记

号a表示，读作"a推出0"。换言之，a表示以a为条件，B为结论的命题是真命题。

例2：设a表示"两个角是对顶角”，B表示为“两个角相等“，问能用〃?”表示a、B之间关

系吗？（补充例题）

解：a?6关系成立，但反过来不行。

例3：在下列各题中，用符号"?"或把a、B这两件事联系起来。（补充例题）

1.a：实数满足，B：或•（"aB"）

2.a：,p：（为全集）。（"a?#）

3.a：,B：。("a6")

4.a：,B：。

3、a与B等价：

如果a?B,B?a,那么记作，叫做a与B等价

4、传递性：a?6,B?Y，则a?y

三、巩固练习：课本p/17练习1.4(1)—1,2

四、课堂小结：

本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系.

五、作业布置：

1、书面作业：p/20,习题1.4—1

2、拓展作业：在下列各题中，用符号"?"或或""把a、B这两件事联系起来：

(1)a：适合方程，B:；

(2)a：>P：；

(3)a：,3：；

(4)a:集合，B：。

六、教学设计说明(1)命题的有关概念在初中平面几何中已经学过，因此可以通过具体的例

子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中，要强调命题的

条件和结论,要结合并集的概念强调''或"的三层含义。

(2)理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。

(3)要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在

每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地

运用这些符号。

1.4(2)命题的形式及等价关系

一、教学内容分析

教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真(假)命

题可转化该命题的等价命题(通常是逆否命题)为真(假)命题提供了理论依据。

本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、

逆否命题。接着，通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，

提供了一种证明的方法，并通过具体的例题给出反证法。

二、教学目标设计

(1)理解四种命题的概念；

(2)理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

(3)理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

(4)初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。

三、教学重点及难点

理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。

四、教学用具准备多媒体教室

五、教学流程设计

六、教学过程设计

复习提问：

（1）什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？

（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？

（3）命题”内接于圆的四边形对角互补”的条件与结论各是什么？

二.讲授新课：

关于四种命题

1、概念引入

在命题”内接于圆的四边形对角互补”中，条件是"内接于圆的四边形"，结论是"四边形的对

角互补”。如果我们把以上命题作以下变化：

（1）如果把命题中的结论”四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件”内接于圆的四

边形'’作为结论，则得到了新命题''对角互补的四边形内接于圆"。

我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来

命题的逆命题。并且它们互为逆命题。

（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是"四边形不内接于圆"，结

论是"四边形对角不互补”，那么就可得到一个新命题：”不内接于圆四边形对角不互补”。

像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题

与原来的命题互为否命题。

（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是"四边形对角不互补”,

结论是"四边形不内接于圆”，那么就可得到一个新命题:"对角不互补的四边形不内接于圆〃。

像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且

新命题与原来的命题互为否命题。

2、概念形成

由以上例子归纳出四个命题的一般形式：

原命题：

逆命题：

否命题：

逆否命题：

并在四种命题之间的相互关系如下：

3、概念运用（例题分析）

例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题）

命题a：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；

命题b：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。

（过程略）

［说明］我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同

真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。

4、巩固练习课本pl9,练习1.4（2）

5、概念深化（拓展练习）

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充）

①负数的平方是正数；

②正方形的四条边相等；

③若a=0,则ab=O；

④若a=b,则ac=bc；

⑤全等三角形一定相似；

⑥末位数字是零的自然数能被5整除；

⑦对顶角相等；

⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；

［说明］1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。

3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。并可由此引入等价命题。

关于等价命题

1、概念引入（见上）

2、概念形成

如果，是两个命题，，那么，叫做等价命题。

3、概念运用

已知、分别是的，的角平分线，。求证:。（课本P19）

（过程略）

［说明］1、反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直

接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

2、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从

假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

4、巩固练习

课本p20,练习1.4（3）

三、课堂小结：

1、四种命题的概念及形式

2、四种命题之间的关系及同真同假性。

四种命题的真假关系：原命题为真

四、作业布置课本p20,习题1.4-2,4,8,10。

五、教学设计说明

1）由命题的条件、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

四种命题形式的构成虽然不难理解，但给出一种命题形式，要正确写出它的另外三种命题形

式却不容易。解决这个难点的关键是分清命题的条件和结论。必要时可先将命题改写成''如

果...，那么...”的形式。

2）另外，在写一个已知命题的否命题或逆否命题时,要把一个断语正确地变成它的否定断语，

初学者在这些地方时常出错。一般地，"是"的否定断语为"不是"；""的否定断语为的

否定断语为"L5（1）充分条件与必要条件

一、教学目标设计

通过实例理解充分条件、必要条件的意义。

能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性。

二、教学重点及难点

充分条件、必要条件的判断；充分条件、必要条件的判断方法。

三、教学流程设计

四、教学过程设计

一、概念引入

早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话"有之则必然，无之则未必不然，是为大故“无

之则必不然，有之则未必然，是为小故”。

今天，在日常生活中，常听人说：”这充分说明....."，”没有这个必要”等，在数学中，

也讲"充分"和"必要"，这节课，我们就来学习教材第一章第五节一充分条件与必要条件。

二、概念形成

1、首先请同学们判断下列命题的真假

(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。

(3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。

(4)若ab=O,则a=0o

解答：命题(2)、(3)、(4)为真。命题(4)为假；

2、请同学用推断符号"==>"?”写出上述命题。

解答：(1)两三角形全等==>两三角形的面积相等。

(2)三角形有两个内角相等==>三角形是等腰三角形。

(3)某个整数能够被4整除==>则这个整数必是偶数；

(4)ab=O?a=0«

3、充分条件与必要条件

继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。

*若某个整数能够被4整除==>则这个整数必是偶数中，我们称"某个整数能够被4整除“

是”这个整数必是偶数”的充分条件，可以解释为：只要"某个整数能够被4整除"成立，”这个

整数必是偶数"就一定成立;而称"这个整数必是偶数''是"某个整数能够被4整除”的必要条件,

可以解释成如果”某个整数能够被4整除“成立，就必须要"这个整数必是偶数”成立

*充分条件：一般地，用a、B分别表示两件事，如果a这件事成立，可以推出B这件事

也成立，即a?|3,那么a叫做B的充分条件。［说明］:①可以解释为：为了使B成立，具备

条件a就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为：x=

。是xy=0的充分条件，xy=0不一定要x=0.)

*必要条件：如果B?a,那么a叫做B的必要条件。

［说明］:①可以解释为若B?a,则a叫做0的必要条件，B是a的充分条件。②无它不行，

有它也不一定行③结合实例解释为：如xy=0是x=0的必要条件，若xyWO,则一定有

xWO；若xy=0也不一定有x=0。

回答上述问题(1)>(2)中的条件关系。

(1)中：”两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；”两三角形的面积相等"

是"两三角形全等”的必要条件。

(2)中：”三角形有两个内角相等"是"三角形是等腰三角形”的充分条件；”三角形是等腰

三角形”是"三角形有两个内角相等”的必要条件。

4、拓广引申

把命题:''若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作a与B,

那么，原命题与逆命题的真假同a与B之间有什么关系呢？

关系可分为四类：

(1)充分不必要条件，即a?B,而B?a；

(2)必要不充分条件，即a?B,而B?a；

(3)既充分又必要条件，即a?B,又有6?a；

(4)既不充分也不必要条件，即a?B,又有B?a。

三、典型例题(概念运用)

例1：(1)己知四边形abed是凸四边形，那么"ac=bd"是"四边形abed是矩形"的什么条件？

为什么？（课本例题p22例4）

（2）是的什么条件。

（3）“a+b>2"是"a>l,b>l”什么条件。

解：（1）"ac=bd"是"四边形abed是矩形”的必要不充分条件。

（2）充分不必要条件。

（3）必要不充分条件。

［说明］①如果把命题条件与结论分别记作a与B,则既要对"a?6”进行判断，又要对”

B?a”进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。

例2：判断下列电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合；q：灯亮。（补充例题）

［说明］①图中含有两个开关时，P表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之

间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。

例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）

（1）头发长，见识短。（2）骄兵必败。

（3）有志者事竟成。（4）春回大地，万物复苏。

（5）不入虎穴、焉得虎子（6）四肢发达，头脑简单

［说明］通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。

四、巩固练习1、课本p/22一练习1.5（1）

2：填表（补充）

P

q

P是q的

什么条件

q是P的

什么条件

两个角相等

两个角是对顶角

内错角相等

两直线平行

四边形对角线相等

四边形是平行边形

a=b

ac=bc

［说明］通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。

五、课堂小结

1、本节课主要研究的内容：

推断符号==〉，?

充分条件的意义命题充分性、必要性的判断。

必要条件的意义

2.充分条件、必要条件判别步骤：①认清条件和结论。

②考察pq和qP的真假。

3、充分条件、必要条件判别技巧：①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即

可。

③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

六、课后作业书面作业：课本p/24习题1.5—1,2,3。

七、教学设计说明

1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支,

用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义，并能判断简单的充分条

件与必要条件。

2、由于"充要条件''与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时

可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入”充分条

件”的概念，进而引入“必要条件〃的概念。

3、教材中对"充分条件"、"必要条件〃的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定

义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识”

充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出"必要条件"的概念。

4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的

学习兴趣是关键。教学中始终要注意以学生为主，结合相关学科及学生生活经验让学生在自

我思考、相互交流中去给概念"下定义"，去体会概念的本质属性。

1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）

一、教学目标设计

理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性;掌握判断命题的条件

的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。

二、教学重点与难点

理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本

节难点。

三、教学流程设计

四、教学过程设计

一、复习引入

问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？

答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。

练习：判断下列各命题条件的充分性和必要性

(1)若x>0则x2>0(充分不必要条件)。

(2)若两个角相等，则两个角是对顶角。(必要不充分条件)。

(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件)

(4)若x是4的倍数，则x是6的倍数(既不充分又不必要条件)

(5)若a,b为实数，，则。(充分必要条件)

二、概念形成

1、结合问题进行说明：命题(3)中：因为三角形的三条边相等==>三角形的三个角相等,

所以"三角形的三条边相等‘'是"三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相

等==>三角形的三条边相等，所以"三角形的三条边相等‘'又是"三角形的三个角相等”的必要条

件。因此"三角形的三条边相等“是"三角形的三个角相等"既充分又必要的条件。

2、充要条件定义

一般地，如果既有a?B,又有6?a,就记作：a?B("?"叫做等价符号)，那么a既是B

的充分条件，又是8的必要条件，我们称为a是B的充分而且必要条件，简称充要条件。

［说明］①可以解释为a?B,a与B互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无

它必不行。③可以结合实例解释为：如|x|=|y|与x2=y2互为充要条件，即若|x|=|y|,

则一定有x2=y2；若|x|W|y|,则一定有x2Wy2»

三、概念运用与深化(例题解析)

例1：指出下列各组命题中，a是B的什么条件(在〃充分而不必要条件"、”必要而不充

分条件"、"充要条件"、”既不充分也不必要条件”中选出一种)？(补充例题)

(1)a:(x-2)(x-3)=0；B：x-2=0.

(2)a：同位角相等；P：两直线平行。

(3)a：x=3；B：x2=9»

(4)a：四边形的对角线相等；B：四边形是平形四边形。

解：(1)因x-2=0==>(x-2)(x-3)=0,而:(x-2)(x-3)=0?x-2=0.

所以a是B的必要而不充分条件。

(2)因同位角相等?两直线平行，所以a是B的充要条件。

(3)因x=3==>x2=9,而x2=9?x=3,所以a是B的充分而不必要条件。

(4)因四边形的对角线相等？四边形是平行四边形，又四边形是平四边形？四边形的对角线

相等。所以a是B的既不充分也不必要条件。

［说明］①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要

条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一

种基本方法。

例2：已知实系数一元二次方程()，""是"方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？

(课本例题p21例5)

解：方程变形为.

•••"是"方程有两个相等的实数根”的充分条件。

反过来，方程有两个相等的实数根，那么根据方程根与系数关系得

是"方程有两个相等的实数根”的必要条件。

综上所述是''方程有两个相等的实数根”的充要条件。

［说明］充分性证明：条件?结论；必要性证明：结论?条件。

四、巩固练习

课本p/22一练习1.5(2)1,2

补充练习

1、判断下列各命题条件是否是充要条件：

(Dx是6的倍数，则x是2的倍数。(充分不必要条件)

(2)x是2的倍数，则x是6的倍数。(必要不充分条件)

(3)x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。(充要条件)

(4)x是4的倍数，则x是6的倍数。(既不充分又不必要条件)

2、完成下列表格

a

B

a是0的什么条件

abWO

a¥0

(x+1)(y-2)=0

x=-l或y=2

方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个不相等实根

△=b2-4ac>0

x=l或x=-3

x2+2x-3=0

a2-b2=0

a=0

m是4的倍数

m是2的倍数

五、课堂小结

内容小结

本节课的主要内容是"充要条件"的判定方法，即如果a?B,又有B?a,则a是6的充要

条件。

方法小结：如何判断充要条件

判别步骤：

①认清条件和结论。②考察P?q和q?P的真假。

判别技巧：

①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即可。

③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

六、课后作业

1、书面作业：习题1.5——4,5,6,7,8,9

2、完成下列表格

a

a是B的什么条件

n是自然数

n是整数

x>5

x>3

m、n是奇数

m+n是偶数

a>b

a2>b2

3、思考题：设集合111=以鼠>2}3=收除七、设计说明

1.在理解充要条件意义时，应明确若a是B的充要条件，则B也是a的充要条件。

2.由于''充要条件‘'与''原命题、逆命题、否命题、逆否命题〃紧密相关。而学生在这之前已

经学习了原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的。为此，在实际教学中，可通过等价

命题进行判断。

3.回答a是B的什么条件时，应从a是S的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要

条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述。

4.由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯燥无味。为此，激发学生的

学习兴趣是关键。把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学

题，自我感知数字美，从而培养学生的数学能力。

1.6子集与推出关系

一、教学内容分析

《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，

它安排在第

一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。这节内容的增加对第一章中集合、

条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识

在现代数学中的重要作用。

二、教学目标

1、理解集