高考数学复习第五章　第一节　任意角和弧度制及三角函数的概念（导学案）

第五章三角函数第一节任意角和弧度制及三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义:一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)分类:按旋转方向不同分为正角、负角、(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.

点睛终边相同的角不一定相等,但是相等的角终边一定相同.(4)象限角:象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}

第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}

2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.

(2)公式:角α的弧度数公式|α|=lr(l角度与弧度的换算①1°=π180②1rad=180π°弧长公式l=|α|r

扇形面积公式S=12lr=12|α|点睛(1)在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用;(2)利用公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=

yx(x≠0)(2)任意角的三角函数的定义(推广)设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sinα=

yr,cosα=

xr,tanα=

yx((3)三角函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanαα点睛三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.1.若角α∈0,π2,则sinα<α<tanα.2.α所在象限与α2α所在象限一二三四α2一、三一、三二、四二、四教材改编结论应用易错易混1,234,51.(教材变式)角-863°的终边所在的象限是 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选C.-863°=-2×360°-143°,-863°和-143°的终边相同,故-863°的终边在第三象限.2.(教材提升)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是 (A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈ZC.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z解析：选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z3.(结论2)设θ是第三象限角,且cosθ2=-cosθ2,则θ2是 (A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析：选B.因为θ是第三象限角,所以π+2kπ<θ<3π2+2kπ,k∈Z,所以π2+kπ<θ2<3π4+kπ,k∈Z,所以θ2的终边落在第二、四象限,又cosθ2=-cosθ2,所以cos4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=(A.-3 B.-4C.-6 D.-10解析：选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=8x2+82=45,解得5.(混淆弧度制和角度制)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为.

解析：因为α=60°=π3,l=αr,所以r=2ππ3=6,所以扇形面积S=12lr答案:6π角的概念的推广角度1区域角[典例1]如图,试用弧度制写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)解析：(方法一)由于终边在y=-x(x≤0)的角的集合为αα=2kπ+3π4,k∈Z,由于终边在x非正半轴的角的集合为{α|(方法二)在[0,2π)内,终边落在阴影部分的角的集合为3π4,π,所以所求角的集合为α3π(2)解析：由于终边在y=-x(x≤0)的角的集合为αα=2kπ+3π4,k∈终边在y=x(x>0)的角的集合为αα终边在y=x(x≤0)的角的集合为ααβπβ5πβπ表示区域角的步骤(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的角α和β的集合;(3)结合起始、终止边界可得区间角集合.提醒根据区域写不等式时,要注意包含边界用≥或≤,不包含边界用>或<.角度2象限角及终边相同的角[典例2]已知α=π3(1)写出与角α终边相同的角的集合,并求出在(-4π,-π)内与角α终边相同的角;(2)若角β与角α终边相同,判断角β2是第几象限的角解析：(1)与角α终边相同的角的集合为θθ令-4π<2kπ+π3<-π,得-136<k<-又k∈Z,所以k=-2,-1,所以在(-4π,-π)内与角α终边相同的角是-11π3,-5π(2)由(1)知,β=2kπ+π3(k∈Z),则β2=kπ+π6(k∈Z),则当k为偶数时,角β2是第一象限角;当k为奇数时,角β1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.确定nα,αn(n∈N*先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或αn的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或αn1.集合αkπ+π4≤解析：选C.当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+π+π2,此时α表示的范围与π+π2.若角α的终边在y轴的负半轴上,则角α+2π3的终边在 (A.第一象限 B.第二象限C.y轴的正半轴上 D.x轴的负半轴上解析：选A.由角α的终边在y轴的负半轴上可知α=3π2+2kπ,k∈Z故α+2π3=3π2+2kπ+2π3=13π6+2kπ,k∈Z,而13π6=2π+π6【加练备选】1.已知角α的终边与5π3的终边重合,则α3的终边不可能在 (A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选A.因为角α的终边与5π3的终边重合,所以α=5π3+2kπ,k∈Z,所以α3=5π9+23kπ,k∈Z,令k=3n(n∈Z),则α3=5π9+2n令k=3n+1(n∈Z),则α3=11π9+2nπ(n∈Z),此时令k=3n+2(n∈Z),则α3=17π9+2nπ(n∈Z),此时α所以α3的终边不可能在第一象限2.若角α的终边与函数f(x)=x-1的图象相交,则角α的集合为 ()A.αB.αC.αD.α解析：选C.当角α的终边与直线y=x重合时,角α的终边与函数f(x)=x-1的图象无交点.又因为角α的终边为射线,所以2kπ-3π4<α<2kπ+π4,k∈角度3角的对称问题[典例3]写出满足下列条件的角.(1)角α的终边与780°角的终边关于x轴对称,且-90°<α<0°,则α=;

解析：因为α=k·360°-780°(k∈Z),又-90°<α<0°,所以α=-60°.答案:-60°(2)角β的终边与780°角的终边关于y轴对称,且450°<β<540°,则β=.

解析：因为β=(2k+1)·180°-780°(k∈Z),又450°<β<540°,所以β=480°.答案:480°(3)角γ的终边与780°角的终边垂直,则γ=.

解析：γ=k·180°+90°+780°(k∈Z)=n·180°+150°(n∈Z).答案:n·180°+150°(n∈Z)常见的角的对称关系1.若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=k·360°+(180°-α),k∈Z.2.若角α与角β的终边关于x轴对称,则β=k·360°+(-α),k∈Z.3.若角α与角β的终边关于原点对称,则β=k·360°+(180°+α),k∈Z.4.若角α与角β的终边相互垂直,则β=k·180°+(90°+α),k∈Z.1.若角α,β的终边关于y轴对称,则下列等式成立的是 ()A.sinα=sinβ B.cosα=cosβC.tanα=tanβ D.1tanα解析：选A.因为α,β的终边关于y轴对称,设角α终边上一点P(x,y),则点P关于y轴对称的点为P'(-x,y),且点P与点P'到原点的距离相等,设为r,则P'(-x,y)在β的终边上,由三角函数的定义得sinα=yr,sinβ=yr,所以sinα2.(多选题)下列条件中,能使α和β的终边关于y轴对称的是 ()A.α+β=540° B.α+β=360°C.α+β=180° D.α+β=90°解析：选AC.假设α,β为0°~180°内的角,如图所示,由α和β的终边关于y轴对称,所以α+β=180°,又根据终边相同的角的概念,可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)180°,k∈Z,所以A,C满足条件.扇形的弧长及面积公式的应用[典例4](1)一扇形的圆心角α=π3,半径R=10cm,则扇形的面积为解析：由已知得α=π3,R=10cm,所以S扇形=12α·R2=12·π3·102=50π答案:50π3cm(2)如图,点A,B,C是圆O上的点.①若AB=4,∠ACB=π6,求劣弧AB②已知扇形AOB的周长为8,求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.解析：①因为∠ACB=π6,所以∠AOB=2∠ACB=π3,又OA=OB,所以△AOB为等边三角形,所以OA=AB=4,则劣弧AB的长为π3·OA②设圆O的半径为r,扇形AOB的弧长为l,圆心角为α.因为扇形AOB的周长为8,所以2r+l=8.方法一:扇形面积S=12l·r=14l·2r≤14·2r+l22所以当扇形面积取得最大值时,圆心角α=lr=2方法二:扇形面积S=12l·r=12(8-2r)·r=-r2+4r=-(r-2)则当r=2时,S取得最大值,此时l=8-2r=4,所以当扇形面积取得最大值时,圆心角α=lr=2[变式]若本例(1)条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.解析：l=α·R=π3×10=10π3(cm),S弓形=S扇形-S三角形=50π3-12·R2·sinπ3=50π3-50π-7533应用弧度制解决问题的思路1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.提醒一个半径为r的弧长l必须满足0<l<2πr.1.(2023·成都模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的一只手臂长约为π4米,整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:2≈1.414,3≈1.732) (A.1.612米 B.1.768米C.1.868米 D.2.045米解析：选B.由题意得,“弓”所在的弧长为l=π4+π4+π8=5π8(米),R=1所以其所对的圆心角α=lR=5π85所以双手之间的距离d=R2+R2=2×1.2.已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角.解析：设该扇形的圆心角为α,半径为R,由题意得2R+Rα=10,12α【加练备选】1.已知扇形OAB的圆心角为120°,半径长为6cm,求:(1)AB的长;(2)该扇形所含弓形的面积.解析：(1)因为α=120°=120×π180=2π3,所以l=23π×6=4π(cm)(2)如图所示,扇形面积公式S=120π×62360=12π(cm因为∠OBC=30°,r=6,所以OC=3,所以BC=62-32=33,则故S△OAB=12AB·OC=12×63×3=93(cm2所以该扇形所含弓形的面积为S-S△OAB=(12π-93)(cm2).2.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌,该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=2米,OB=x米(0<x<2),线段BA、线段CD与BC、AD的长度之和为6米,圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x的函数解析式;(2)记该宣传牌的面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.解析：(1)根据题意,BC的长度为xθ米,AD的长度为2θ米,所以2(2-x)+xθ+2θ=6,所以θ=2x+2x+2(2)依据题意,可知y=S扇形OAD-S扇形OBC=12θ×22-12θx2,化简得y=-x2+x+2,0<x所以当x=12时,ymax=-122+12+2=9所以当x=12时,y的值最大,且最大值为9三角函数的定义角度1根据定义求三角函数值[典例5]已知角α的终边在函数y=12x(x>0)的图象上,求sinα,cosα的值解析：方法一:在函数y=12x(x>0)的图象上取一点P(2,1),则r=|OP|=5,因此sinα=15=55,cosα=25=255,即sinα=方法二:在函数y=12x的图象上取一点P(2t,t)(t>0),则r=|OP|=(2t因此sinα=t5t=55,cosα=2[变式]已知角α的终边在函数y=12x的图象上,求sinα,cosα的值解析：在函数y=12x的图象上取一点P(2t,t)(t≠0)r=|OP|=(2t)2+t当t>0时,同典例5的方法二.当t<0时,r=-5t.因此sinα=t-5t=-55,cosα=综上所述,sinα=55,cosα=255或sinα=-55,cos三角函数定义的应用(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.提醒若角的终边在一条直线上,用参数设点的坐标时,要注意参数的取值范围.角度2三角函数的符号[典例6]若α是第四象限角,则点Pcosα2,tanα2在 ()A.第二或第四象限B.第一或第三象限C.第三或第四象限D.第一或第二象限解析：选C.因为α是第四象限角,即2kπ-π2<α<2kπ,k∈Z,所以kπ-π4<α2<kπ,k当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π4<α2<2nπ+π,n∈Z,此时则cosα2<0,tanα2<0,点当k=2n(n∈Z)时,2nπ-π4<α2<2nπ,n∈Z,此时则cosα2>0,tanα2<0,点P在第四象限.所以点P三角函数值的符号及角的位置的判断方法已知一角的三角函数值(sinα,cosα,tanα)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.1.若角α满足sinα·cosα<0,cosα-sinα<0,则α在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选B.因为sinα·cosα<0,所以α是第二或第四象限角;当α是第二象限角时,cosα<0,sinα>0,满足cosα-sinα<0;当α是第四象限角时,cosα>0,sinα<0,则cosα-sinα>0,不符合题意;综上所述α是第二象限角.2.(2022·常州模拟)已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3cosα的值为 (A.-610 B.610C.0 D.-310解析：选C.由题知cosα≠0.设角α的终边上一点(a,-3a)(a≠0),则r=a2+9a2=10当a>0时,r=10a,sinα=-3a10cosα=a10a=10sinα+3cosα=-310+310当a<0时,r=-10a,sinα=-3a-10a=3101010sinα+3cosα=310-3103.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-22,求cosα和tanα的值解析：设点M(x1,y1),由题意可知sinα=-22,即y1=-22,因为点M在圆x2+y所以x12+y12=1,即x12+-22±22,所以当x1=22时,cosα=22当x1=-22时,cosα=-22,tanα【加练备选】1.(多选题)已知角α的终边与单位圆交于点P35,m5,则sinα的值可能是 ()A.45 B.35 C.-45 D解析：选AC.由题意可得sinα=m32+m2=m5,解得m=±4.当m=4时,sinα=452.(多选题)在平面直角坐标系中,角α以x正半轴为始边,终边与单位圆(原点为圆心)交于点-12,n,则符合条件的角α可以是 ()A.-π3 B.2π3 C.4π3 解析：选BC.当α=-π3时,cos-π3=12-12,故错误;当α=2π3时,cos2π3=-12,故正确;当α=4π3时,cos4π3=-cosπ3=-12,故正确;当α=7π3时,cos7π3.(1)已知θ是第二象限角,试判断tan(sinθ)tan(cosθ)的符号.(2)若sin(cosθ)cos(sinθ)<0,求θ的终边的位置.解析：(1)因为θ是第二象限角,所以0<sinθ<1<π2,-π2<-1<cosθ<0,所以tan(sinθ)>0,tan(cosθ)<0,所以tan(sinθ)tan(cosθ(2)因为-π2<-1≤sinθ≤1<π所以cos(sinθ)>0.又s