高考数学第一轮复习复习第3节　不等式的性质、一元二次不等式（讲义）

第3节不等式的性质、一元二次不等式[课程标准要求]1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实a-b>0⇔a>b(a,b∈R),a-b=0⇔a=b(a,b∈R),a-b<0⇔a<b(a,b∈R).2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒性质1(对称性)a>b⇔b<a⇔性质2(传递性)a>b,b>c⇒a>c⇒性质3(可加性)a>b⇔a+c>b+c⇔性质4(可乘性)a>bc>0⇒注意c的符号a>bc<0⇒续表性质性质内容特别提醒性质5(同向可加性)a>bc>d⇒⇒性质6(同向同正可乘性)a>b>0c>d>0⇒⇒性质7(可乘方性)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)a,b同为正数3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}1.若ab>0,且a>b⇔1a<12.若a>b>0,m>0⇒ba<b若b>a>0,m>0⇒ba>b1.(必修第一册P53练习T1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(A)A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.2.(必修第一册P43习题T8改编)已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是(D)A.lna<lnb B.1a>C.a2<b2 D.a3<b3解析:对于A,当a<b<0时,不等式无意义,故A错误.对于B,当a<0<b时,1a<1b,故B错误.对于C,当a<b<0时,a2>b2,故C错误.对于D,当a<b时,a3<b3.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式正确的是(ABC)A.a12<b12 C.a+2b+2>ab 解析:因为y=x1所以a12<因为y=1x所以1a>1因为a+2b+2-a所以a+2b+2当c=0时,ac3=bc3,所以D不正确.4.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.

解析:因为-1<x<4,2<y<3,所以-6<-2y<-4,所以-7<x-2y<0.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,8<4y<12,所以5<3x+4y<24.答案:(-7,0)(5,24)不等式的性质及应用1.(2022·江西上饶联考)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(D)A.若a>b,则a2>b2B.若a>b,则1a<C.若a>b>c>0,则ab<D.若a>b>c>0,则ba-解析:对于A,若a=1,b=-2,则a2=1<b2=4,所以A错误.对于B,若a=1,b=-2,则1a=1>1b=-12,所以B错误.对于C,若a=3,b=2,c=1,则ab=32>a+cb+c=2.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4,且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(D)A.y>x≥z B.z≥x>yC.y>z≥x D.z≥y>x解析:由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y;由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),则y-x=y2+2+y=(y+12)2+7综上所述,z≥y>x.3.已知a∈(-3,-2),b∈(2,4),则ba的取值范围是解析:因为a∈(-3,-2),所以1a∈(-12,-13),故-1a∈(13,1所以ba∈(-2,-2答案:(-2,-234.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是.

解析:设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,所以m-n3x-2y=12(x+y)+5因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以3x-2y=12(x+y)+5答案:[2,8](1)根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.(2)当两个数(或式子)的正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.(3)已知x,y的范围,求由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.(4)已知由ax,by(ab≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx±dy(cd≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx±dy用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y的范围后求cx±dy的范围,由于a>b,c>d⇒a+c>b+d不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及应用一元二次不等式与一元二次方程的关系[例1]已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12},求不等式ax2解:由条件知-2,-12是方程ax2所以-2-12=-ba,(-2)×(-12所以b=52从而不等式ax2-bx+c>0,即为a(x2-52因为a<0,所以原不等式等价于2x2-5x+2<0,即(x-2)(2x-1)<0,解得12所以不等式的解集为{x|12(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.含参数一元二次不等式的解法[例2]解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).解:原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以(x-1a所以当a>1时,解得1a当a=1时,解集为;当0<a<1时,解得1<x<1a综上,当0<a<1时,不等式的解集为{x|1<x<1a当a=1时,不等式的解集为;当a>1时,不等式的解集为{x|1a对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.[针对训练]1.不等式-3<4x-4x2≤0的解集为()A.{x|-12<x<3B.{x|-12<x≤0或1≤x≤3C.{x|1≤x<32D.{x|-12<x≤0或1≤x<3解析:原不等式可化为4解4x-4x2>-3,得-12<x<3解4x-4x2≤0,得x≤0或x≥1.所以原不等式的解集为{x|-12<x≤0或1≤x<32.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是()A.a>0B.bx-c>0的解集是{x|x>32C.cx2+ax-b>0的解集是{x|x<-23D.a+b<c解析:不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),则a即abx-c>0,即-2ax+3a>0,所以x>32cx2+ax-b>0,即-3ax2+ax+2a>0,即3x2-x-2>0,解集是{x|x<-23因为x=-1∈{x|x<-23所以c-a-b>0,即a+b<c.故选BCD.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式在R上的恒成立问题[例3]若不等式2kx2+kx-38A.(-3,0) B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0]解析:当k=0时,显然成立;当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-38则k解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx2+kx-38一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例4]若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是()A.(-∞,-3] B.(-∞,0]C.[1,+∞) D.(-∞,1]解析:法一令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得f(-法二当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3.故选A.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题[例5](2023·江苏宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析:不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),可得f所以x<-1或x>3.故选D.给定参数范围的恒成立问题,一般采用变换主元法,即求谁的范围,谁就是参数.[针对训练]1.(2023·北京模拟)已知不等式x2+ax+4≥0的解集为R,则a的取值范围是()A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4]∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析:不等式x2+ax+4≥0的解集为R,所以Δ=a2-4×1×4≤0,解得-4≤a≤4.所以a的取值范围是[-4,4].故选A.2.已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为()A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)解析:把不等式的左端看成关于a的函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组x2故选C.3.(2023·浙江宁波模拟)若对任意的t∈[1,2],函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是.

解析:函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点等价于方程t2x2-(t+1)x+a=0的根的判别式Δ=[-(t+1)]2-4at2≥0对任意的t∈[1,2]恒成立,所以a≤(t令g(t)=(t+1)24t2因为t∈[1,2],所以1t∈[1所以g(t)∈[916,1],即(t+1故实数a的取值范围是(-∞,916答案:(-∞,916[例1]若a<0,b<0,则p=b2a+A.p<q B.p≤qC.p>q D.p≥q解析:p-q=b2a+a2b-a-b=b2-a2a+a2-b2b=(b[例2]若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为()A.[-1,4] B.[0,53C.[-1,0]∪[53,4] D.[-1,0)∪(5解析:命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,其否定为真命题,即“∀a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.令g(a)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0,则