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文档简介

高中数学应用问题教学案例

普宁华侨中学黄少玲

[课题]放大镜点燃火柴实验及研究

——抛物线的光学性质的实际应用

[背景资料]高中数学新教材数学1-1,P70阅读材料:

人们已经证明,抛物线有一条重要性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射

后,反射光线平行于抛物线的轴,探照灯也是利用这个原理设计的,应用抛物线的这个性质,

也可以使一束平行于抛物线的轴的光线,经过抛物线的面的反射集中于它的焦点,人们应用

这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶,在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反射

镜,当它的轴与太阳光线平行时,太阳光线经过反射后集中于焦点处,这一点的温度就会很

高。与之相应,为便于同学们操作,我们用放大镜来进行研究,放大镜的镜面正是一个抛物

面,太阳光线通过放大镜凸面,经过折射集中于焦点处,可在焦点处放置火柴,太阳光较强

时可点燃火柴。

[教学目标]

1、通过放大镜点燃火柴实验与研究,进一步理解抛物线的光学性质,学会用待定系数法求

抛物线的方程,进一步领会抛物线方程中p的几何意义。

2、培养积极探索的精神,能用数学方法得出放大镜镜口面与燃点距离S公式(用镜深〃,

口径”,加以表达)即S=/(〃,〃)公式

3、养成研究性学习的习惯,学会对数学问题进行深入探讨,以主动获取知识,应用知识和

解决问题,进一步研究/?,4变化与点燃时间的关系,提出改进太阳能利用中的某些建议。

[教学方式]

从数学的角度对日常生活中出现的问题进行研究,引导学生如何对日常所观察到的现象

提出数学问题,运用数学方法、数学思想,主动解决问题,并对提出的问题进行延伸,注重

学生主动探索、自主学习、亲身体验、合作交流。

[实验器材准备]

1、大小不一放大镜10只

2、玻璃板10块

3、火柴一盒

4、游标卡尺10只(用于测量)

[教学过程]

一、课的引入

1、介绍背景资料:阅读高中数学新教材数学第二册(上)P124阅读材料,圆锥曲线的光学

性质及其应用之有关抛物线部分,观察图1,图2,图3。

2、教师引入:我们今天研究到的放大镜的镜面正是一个抛物面,太阳光线通过放大镜凸面,

经过折射后通过焦点处,可在焦点处放置火柴,太阳光线较强时可点燃火柴。经过教师

引导,学生产生了强烈的实验愿望,有了较强的学习兴趣。

3、教师实验:可在学生中请助手帮忙,在教师与学生助手的实验过程中,学生们一边观察

现象,一边努力思索如何就发生的现象提出一些数学问题。

[实验I将火柴放置于玻璃板上,放大镜与玻璃板间保持一定距离,在太阳光照射下,玻璃

板上出现一个白点,使白点尽量小,并集中于火柴上,几分钟后火柴燃烧,也可要

求助手拿火柴,现象更为明显。

二、问题的提出

1、实验后教师引导:数学是一门关于数量关系和空间形成的科学,那么请同学们思考一下

在此实验中有什么量可以用数学方法加以研究和分析呢?通过教师点拨,引发学生间的

讨论,可分若干小组讨论,并派代表发言。有学生甲会提出:燃点位置的确定是我们可

以研究的问题,而且根据实际情况,燃点必处于与镜口面(平面)垂直的中心轴线上,

关键在于燃点与镜口面的距离5。

2、教师在肯定学生甲的发言后予以表扬,继而提出这个量S与实验中那些因素有直接的联

系呢?要求该因素是可以被测量的,引发学生的第二次发言。通过认真而热烈的讨论,

同学们会提出不同的观点,有学生乙提出:关键是镜深九与口径d,即S主要决定于九

d。

3、教师肯定了学生乙的观点,针对于具体实验,请学yf/

生助手用游标卡尺测得口।

〃=lcm,d=7.4cm提请学生们计算理论上的S值。oRdFX

三、具体问题的解决I\

1、学生们通过5~7分钟的思考与练习,可提出不同的解决方案,将意见集中与抛物线方程

的求解,学生丙提出可建立适当的直角坐标系,求出抛物线方程再行解决,直角坐标系

如图建立:

2、抛物线方程的求出

教师引导学生用待定系数法求解,令抛物线方程为y2=2px因为抛物线过点

372

A(1.5,3,7)则:3.72=1.5x2〃,:.2p=-

3、S的求出

教师引导学生回顾抛物线p的含义:焦点到准线的距离

得出S=|0月一|。却=K-〃=-——1.5«0.78(cm)

26

4、理论值与实际值的比较与分析

教师再请两位同学重做实验,并测得S的实际值,与理论值加以比较,略有误差,请各

小组派代表分析误差产生的原因。

四、问题的延伸

1、分小组实验与研究

分若干小组,按如下步骤合作

⑴测量h,d

⑵计算理论5值

⑶实验并测得实际分组

(4)比较与分析误差产生原因,形成小组报告

2、分析、评价各小组报告,后教师指出:数学家对现实问题的研究总是从具体问题提升为

一般性的结论,有学生丁指出:我们应该研究如何用d,h表示S,即写出S=/(4〃)函

数关系。

3、思考3〜5分钟后,全班同学推荐一名代表来分析:5=/(〃,△)关系。

实际上:令抛物线:/=2px因为抛物线经过点A

4、评价结论S=/(匕〃)=(--/I),得到阶段性成果,表扬同学们的合作与研究精神。

16/?

5、讨论并进一步探究实验有关问题,教师引导学生应努力培养科学探索的意志与毅力,同

学们继续努力,可提出如下思考问题:

思考1:d,打满足什么关系时,燃点F位于镜口面外

[回答]--h>0,即---h>0,即d>4h

216/?

思考2:d,力为何值时,点燃时间最快。

思考题2的说明:实际上,思考题2的解决直接有助于太阳的最佳利用问题,它涉及到

自然学科多方面的问题,可刺激学生产生强烈的求知欲望,培养科学

的探究精神。有两个科学结论是可以得到:

其一、d一定时,随着力的增大,光线反射部分变强,折射后进入部分变弱,点燃火柴

时间则变慢。

其二、九一定时,随着d的增大,收集到的光线更多,折射后进入部分变强,点燃时间

则更快。

五、小结:表扬同学们在本研究中所取得的成功,我们应认识到所学数学知识在解决实际问

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