高考数学复习拓展提升课十　阿波罗尼斯圆在解题中的应用（导学案）

培优增分拓展提升课十阿波罗尼斯圆在解题中的应用阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐,此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解.对优化思维过程,提升数学解题能力,培养学生数学核心素养大有裨益.【教材溯源】[题目](选择性必修一P89[拓广探索]第9题)已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为12,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状解析：如图,设点M的坐标为(x,y),根据题设有M∈M|MO||MA|得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0.轨迹是圆心为(-1,0),半径为2的圆.【探究拓广】[探究]如图,已知动点P到两定点A,B的距离之比为λ(λ>0),那么P的轨迹是什么?解析：以直线AB为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略).设|AB|=2a(a>0),P点的坐标为(x,y),则A点的坐标为(-a,0),B点的坐标为(a,0).根据题意有P∈P|(x+a)整理得,(λ2-1)x2+(λ2-1)y2-2a(λ2+1)x=a2(1-λ2).①当λ≠1时,此时方程可化为(x-λ2+1λ即点P的轨迹是以(λ2+1λ2λaλ2-1为半径的圆.②当λ=1时,此时方程可化为x=0,即点P的轨迹为y轴(即线段AB的垂直平分线).◎[结论]一般地,平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”.特殊地,当λ=1时,点P的轨迹是线段AB的垂直平分线.◎[背景]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大前期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.【迁移应用】类型一求轨迹方程及分析点的轨迹[典例1](1)若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹围成区域的面积为 ()A.π B.2π C.3π D.4π解析：选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B(3,0).设M(x,y),依题意有x2+y2(x-3)2+y2=2,化简整理得x2+y2(2)正方形ABCD边长为3,P为正方形ABCD边界及内部的动点,且|PB|=2|PA|,则动点P的轨迹长度为.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),设P(x,y),因为|PB|=2|PA|,所以(x-3化简为x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所以点P的轨迹是以Q(-1,0)为圆心,半径为2的圆.又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点,所以动点P与y轴正半轴的交点为M(0,3),动点P与x轴正半轴的交点为N(1,0),则动点P的轨迹长度为MN的长,在△QMA中,AM=3,MQ=2,所以sin∠MQA=MAMQ=32,即∠MQA=所以MN的长度为π3×2=2π答案:2π【加练备选】若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足|PA||PB|=3,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为;·解析：以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),因为|PA||PB|=3,所以(x+2)2+y2(x-2)2所以点P的轨迹为圆(如图),其面积为12π.·=x2-4+y2=|OP|2-4,如图当点P位于点D时,|OP|2最大,|OP|2最大值为(4+23)2=28+16故·的最大值是24+163.答案:12π24+163类型二求三角形面积的最值问题[典例2](1)若|AB|=2,|AC|=2|BC|,则S△ABC的最大值为.

解析：方法一(直接法):以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立如图的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设点C的坐标为(x,y),因为|AC|=2|BC|,所以(x+1)2+整理得(x-3)2+y2=8,所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,22为半径的圆(除去与x轴的交点).设圆心为M,当CM⊥x轴时,△ABC面积最大,此时|CM|=22,(S△ABC)max=12|AB|·r=答案:22方法二(秒解法):由题意可知,动点C的轨迹是圆M,且半径r=ABλ-1λ=22-12=22(S△ABC)max=12|AB|·r=答案:22(2)(2022·石家庄模拟)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinB,acosB+bcosA=2,则△ABC面积的最大值为.

解析：依题意,sinA=2sinB,得BC=2AC,acosB+bcosA=a2+c2-即AB=2,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B(-1,0),设C(x,y),x≠0,由BC=2AC,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆,其方程为（x-53）2+y2=169,x≠0,边AB高的最大值为43,所以(答案:4【加练备选】(2022·泰安模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=3,则S△ABC的最大值为.

解析：方法一(直接法):以BD中点为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(-32,0),D(32,0设A(x,y),由题意知AB=2AD.即(x+32)2整理得,(x-536)即有|y|≤23所以S△ABC=2S△ABD=BD·|y|≤2,当|y|=23所以S△ABC的最大值为2.答案:2方法二(秒解法):如题图所示,AB=AC,中线BD=3,S△ABC=2S△ABD.又AB=2AD,所以点A的轨迹是以B,D为定点的阿波罗尼斯圆,其半径为r=BDλ-1λ=所以(S△ABC)max=2×12|BD|·r=2×1答案:2类型三求定点、定值问题[典例3](1)(2022·唐山模拟)已知圆O:x2+y2=1和A(-12,0).若定点B(b,0)(b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=,b=解析：设M(x,y),因为|MB|=λ|MA|,所以(x-b)(λ2-1)x2+(λ2+2b)x+(λ2-1)y2=b2-14λ2,它与方程x2+y2=1相同,则λ解得b=答案:2-2(2)已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),在直线OA上(O为坐标原点),是否存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任意点P,都有|PB||PA解析：设P(x0,y0),则y02=9-假设存在这样的点B(t,0)(t≠-5)