山东省泰安市宁阳第一中学2025届高一数学第二学期期末调研试题含解析_第1页
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文档简介

山东省泰安市宁阳第一中学2025届高一数学第二学期期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,,则B为()A. B.或 C. D.或2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,根据下列频率分布条形图(部分)可知,该校女教师的人数为()A.93 B.123 C.137 D.1673.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A. B. C. D.4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A., B., C., D.,5.某工厂对一批新产品的长度(单位:)进行检测,如下图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数与平均数分别为()A.20,22.5 B.22.5,25 C.22.5,22.75 D.22.75,22.756.设等比数列的前项和为,若,则()A. B.2 C. D.7.已知点A(﹣1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1) B. C. D.8.设是定义在上的偶函数,若当时,,则()A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中,圆:,圆:,点,动点,分别在圆和圆上,且,为线段的中点,则的最小值为A.1 B.2 C.3 D.410.函数的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知,,则当最大时,________.12.向量.若向量,则实数的值是________.13.如图所示,梯形中,,于,,分别是,的中点,将四边形沿折起(不与平面重合),以下结论①面;②;③.则不论折至何位置都有_______.14.已知数列中,,,,则的值为_____.15.从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者,则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________.16.已知数列的通项公式,,前项和达到最大值时,的值为______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性,图中8个三角形都是全等的三角形,设.(1)试用表示的面积;(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时的大小.18.已知数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,设数列的前n项和为,证明.19.在中,分别为内角的对边,且(1)求的大小:(2)若,求的面积.20.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.(1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率;(2)若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球,规定:两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),这样规定公平吗?请说明理由.21.在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,,求的值.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据正弦定理得到,再根据知,得到答案.【详解】根据正弦定理:,即,根据知,故.故选:.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度,多解是容易发生的错误.2、C【解析】.3、D【解析】

在三角形中,利用正弦定理求得,然后在三角形中求得.【详解】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.故选:D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查解直角三角形,属于基础题.4、B【解析】

试题分析:由题意知,样本容量为,其中高中生人数为,高中生的近视人数为,故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图,属于中等题.5、C【解析】

根据平均数的定义即可求出.根据频率分布直方图中,中位数的左右两边频率相等,列出等式,求出中位数即可.【详解】:根据频率分布直方图,得平均数为1(12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03)=22.71,∵0.02×1+0.04×1=0.3<0.1,0.3+0.08×1=0.7>0.1;∴中位数应在20~21内,设中位数为x,则0.3+(x﹣20)×0.08=0.1,解得x=22.1;∴这批产品的中位数是22.1.故选C.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题,是基础题目.6、C【解析】

根据等比数列前项和为带入即可。【详解】当时,不成立。当时,则,选择C【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和,,属于基础题。7、B【解析】

先求得直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由0可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标,①若点M和点A重合,求得b;②若点M在点O和点A之间,求得b;③若点M在点A的左侧,求得b>1.再把以上得到的三个b的范围取并集,可得结果.【详解】由题意可得,三角形ABC的面积为1,由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M(,0),由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,可得b>0,故0,故点M在射线OA上.设直线y=ax+b和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为(,).①若点M和点A重合,如图:则点N为线段BC的中点,故N(,),把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b,求得a=b.②若点M在点O和点A之间,如图:此时b,点N在点B和点C之间,由题意可得三角形NMB的面积等于,即,即,可得a0,求得b,故有b.③若点M在点A的左侧,则b,由点M的横坐标1,求得b>a.设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由求得点P的坐标为(,),此时,由题意可得,三角形CPN的面积等于,即•(1﹣b)•|xN﹣xP|,即(1﹣b)•||,化简可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.由于此时b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2.两边开方可得(1﹣b)1,∴1﹣b,化简可得b>1,故有1b.综上可得b的取值范围应是,故选B.【点睛】本题主要考查确定直线的要素,点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用,还考查了运算能力以及综合分析能力,分类讨论思想,属于难题.8、A【解析】

利用函数的为偶函数,可得,代入解析式即可求解.【详解】是定义在上的偶函数,则,又当时,,所以.故选:A【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值,属于基础题.9、A【解析】

由得,根据向量的运算和两点间的距离公式,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系,即可求解的最小值,得到答案.【详解】设,,,由得,即,由题意可知,MN为Rt△AMB斜边上的中线,所以,则又由,则,可得,化简得,∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3,∵M在圆C3内,∴MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离,即,故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用,以及点圆的最值问题,其中解答中根据圆的性质,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.10、C【解析】

去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状.【详解】由题意得,所以其图象的大体形状如选项C所示.故选C.【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值,将函数化为基本函数后再求解,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】

根据正切的和角公式,将用的函数表示出来,利用均值不等式求最值,求得取得最大值的,再用倍角公式即可求解.【详解】故可得则当且仅当,即时,此时有故答案为:.【点睛】本题考查正切的和角公式,以及倍角公式,涉及均值不等式的使用.12、-3【解析】

试题分析:∵,∴,又∵,∴,∴,∴考点:本题考查了向量的坐标运算点评:熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键,属基础题13、①②【解析】

根据题意作出折起后的几何图形,再根据线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理,异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假.【详解】作出折起后的几何图形,如图所示:.因为,分别是,的中点,所以是的中位线,所以.而面,所以面,①正确;无论怎样折起,始终有,所以面,即有,而,所以,②正确;折起后,面,面,且,故与是异面直线,③错误.故答案为:①②.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理,异面直线的判定定理等知识的应用,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于基础题.14、1275【解析】

根据递推关系式可求得,从而利用并项求和的方法将所求的和转化为,利用等差数列求和公式求得结果.【详解】由得:则,即本题正确结果:【点睛】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用,关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系,从而采用并项的方式来进行求解.15、【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种,而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种,所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为.16、或【解析】

令,求出的取值范围,即可得出达到最大值时对应的值.【详解】令,解得,因此,当或时,前项和达到最大值.故答案为:或.【点睛】本题考查等差数列前项和最值的求解,可以利用关于的二次函数,由二次函数的基本性质求得,也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),.(2)时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】

(1)注意到,从而的周长为,故,所以,注意.(2)令,则,根据可求最大值.【详解】(1)设为,,,,,(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为,当,即时,达到最大,此时八角形所覆盖面积为16+4最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和,则可令后利用把三角函数式变成关于的函数,注意换元后的范围.18、(1);(2)见解析.【解析】【试题分析】(1)借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;(2)依据(1)的结论运用错位相减法求解,再借助简单缩放法推证:(1)当时,得,当时,得,所以,(2)由(1)得:,又①得②两式相减得:,故,所以.点睛:解答本题的思路是充分借助题设条件,先探求数列的的通项公式,再运用错位相减法求解前项和.解答第一问时,先借助题设中的数列递推式探求数列通项之间的关系,再运用等比数列的定义求得通项公式;解答第二问时,先依据(1)中的结论求得,运用错位相减求和法求得,使得问题获解.19、(1)(2)【解析】

(1)根据正弦定理将,角化为边得,即,再由余弦定理求解(2)根据,由正弦定理,求边b,又,然后代入公式求解.【详解】(1)因为,由正弦定理得:,即,,又,.(2)因为由正弦定理得,又,所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20、(1)(2)这样规定公平,详见解析【解析】

(1)利用列举法求得基本事件的总数,利用古典概型的概率计算公式,即可求解;(2)利用古典概型及其概率的计算公式,求得的概率,即可得到结论.【详解】由题意,设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为x、y.用表示抽取结果,可得,则所有可能的结果有16种,(1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A,则,事件A由4个基本事件组成,故所求概率.(2)设“甲获胜”为事件B,“乙获胜”为事件C,则,.可得,即甲获胜的概率是,乙获胜的概率也是,所以这样规定公平.【点睛】本题主要考查了古典

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