§7-4-向量的数量积

§7.4平面向量的数量积及运算律问题其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.θ

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？一、向量的数量积概念平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即

0．（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定

（2）

a·

b不能写成

a×b，a×b

表示向量的另一种运算．已知两个非零向量

和

，它们的夹角为

，我们把数量

叫做

与

的数量积（或内积），记作

，

即向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10。例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB例题讲解例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ACB向量的数量积的几何意义（1）投影的概念如图所示：B过B作垂直OA，垂足为,则，在方向上的投影

叫做向量

OA

叫做向量

在方向上的投影BOAab投影是向量还是数量？θ为钝角时，|b|cosθ＜0OABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0OABabθ为直角时，|b|cosθ=0向量的数量积的几何意义（2）数量积的几何意义数量积等于的长度的几何意义是

与在方向上的投影的乘积例3、，，与的夹角为，则在方向上的投影为。平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.讨论总结性质：（4）(判断两向量垂直的依据)设与都是非零向量，为与的夹角(2)当与同向时，当与反向时，（3）或（5）平面向量的数量积的运算律已知向量，，和实数，则（1）。（交换律）（2）

=。（3）。（与数乘的结合律）（分配律）例题讲解例：

已知向量与的夹角为，且求：（1）（2）（3）例题讲解

例：

已知非零向量与，满足，且与垂直，求证：证明：原式=课堂检测1、若，则与的夹角的取值范围是（）A、B、C、D、A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列等式中正确的个数是（）①②③④CB课堂检测3、若，与的夹角为，则=。

4、，与的夹角为，则在方向上的投影为。课堂检测5、已知，，当（1）（2）时，求解：（1）时当与同向时当与反向时（2）时有以下两种情况例题讲解例：

已知非零向量与，满足，求与的夹角二、向量数量积的坐标表示设向量a=ax+ay，b=bx+by，由于，，（7-7）公式（7-7）称为向量数量积的坐标表示式，即两向量数量积等于它们对应坐标乘积之和.所以特别于是（7-8）由式（7-7）及式（7-8）可得：即（7-9）式（7-9）称为两非零向量，夹角余弦的坐标表示式.设向量

，若，有，则.故即：两个向量垂直的充要条件是它们对应分量坐标乘积之和等于0.

巩固知识例2设，，求解：=5×(

6)+(

7)×(

4)=

30+28=

2例3已知，，则a与b的夹角是多少?解：由于，，有，，记与的夹角为θ，则又因为