《自动控制原理》课件第11章

第十一章李亚普诺夫稳定性分析11.1李亚普诺夫关于稳定性的定义

11.2李亚普诺夫第一方法

11.3李亚普诺夫第二方法

11.4线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析小结习题11.1李亚普诺夫关于稳定性的定义

设系统的状态方程为

(11.1)式中,x是系统的n维状态向量;f(x,t)是以状态xi(i=1,2,…,n)和时间t为变量的n维函数向量。假设在给定的初始条件下,式(11.1)有唯一解x=x(t,x0,t0),且x0=x(t0,x0,t0),其中t0,x0分别为初始时刻和初始状态向量。

在式(11.1)所描述的系统中,对所有t,如果总存在

(11.2)则称xe为系统的平衡状态。可见若已知状态方程,令x=0所求出的解就是系统的平衡状态。对于线性定常系统,f(x,t)=Ax,当A为非奇异矩阵时,系统只有一个平衡状态,即原点;当A为奇异矩阵时,系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可以有一个或多个平衡状态。研究系统的稳定性就是研究平衡状态的稳定性。由于任意一个平衡状态xe都可以通过坐标变换转移到原点,因此为了研究方便,研究系统的稳定性一律认为平衡状态为系统原点。

.以平衡状态xe为中心,半径为k的球域可用下式表示

.(11.3)式中‖x-xe‖称为欧几里德范数,其表达式为

设S(δ)是由满足‖x0-xe‖≤δ的所有点构成的一个球域;而S(ε)是由所有满足‖x-xe‖≤ε(t≥t0)的点构成的一个球域,其中δ,ε是给定的常数。t0,x0分别为初始时刻和初始状态向量。

定义10-1

如果系统x=f(x,t)对于任意选定的ε＞0,存在一个δ(ε,t0),使得当‖x0-xe‖≤δ(t=t0)时,恒有‖x-xe‖≤ε(t0≤t≤∞),则称系统的平衡状态xe是稳定的。此定义说明,对于每一个球域S(ε),若存在一个球域S(δ),在t→∞的过程中,从球域S(δ)出发的轨迹不离开球域S(ε),则称此系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的(如图11-1(a)所示)。.

定义10-2

如果平衡状态xe在李亚普诺夫意义下是稳定的,即从S(δ)球域出发的每一条运动轨迹x(t,x0,t0),当t→∞时,都不离开S(ε)球域,且最后都能收敛于xe附近,即

其中μ为任意选定的小量。则称系统的平衡状态xe是渐近稳定的。渐近稳定性是个局部稳定的概念,图11-1(b)中的球域S(δ)是渐近稳定的范围。

定义10-3

对所有的状态(状态空间的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性,则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。即如果状态方程(11.1)在任意初始条件下的解,当t→∞时都收敛于xe,则系统的平衡状态xe称为大范围渐近稳定(见图11-1(c)中的轨迹曲线(1))。大范围稳定是全局性的稳定,其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统如果平衡状态是渐近稳定的,则必为大范围渐近稳定的。对于非线性系统,一般能使平衡状态为渐近稳定的球域S(δ)是不大的,称为小范围渐近稳定。

定义10-4

如果从球域S(δ)出发的轨迹,无论球域S(δ)取得多么小,只要其中有一条轨迹脱离S(ε)球域,则称平衡状态xe为不稳定的(见图11-1(c)中的轨迹曲线(2))。

图

11-1系统的稳定性

11.2李亚普诺夫第一方法

李亚普诺夫第一方法又称为间接法。它适用于线性定常系统和非线性不很严重的实际系统。对于非线性系统,首先要进行线性化,得到一个线性化模型,然后按线性系统稳定的条件分析稳定性。李亚普诺夫第一方法的主要结论如下:(1)线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是,系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。

(2)若线性化系统的系统矩阵A的所有特征值均具有负实部,则实际系统就是渐近稳定的。线性化过程中忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响。

(3)在系统矩阵A的特征值中,只要有一个实部为正的特征值,则实际系统就是不稳定的,并且与被忽略的高阶导数项无关。

(4)在系统矩阵A的特征值中,即使只有一个实部为零,其余的都具有负实部,那么实际系统的稳定性就不能由线性化模型的稳定性判定。这时系统的稳定性将与线性化过程中被忽略的高阶导数项有关。为了判定原系统的稳定性,必须分析原始的非线性模型。可见,李亚普诺夫第一方法是通过判定系统矩阵的特征值实部的符号来判定系统的稳定性的,因此又称为特征值判据。

11.3李亚普诺夫第二方法

李亚普诺夫第二方法是基于若系统的内部能量随时间推移而衰减,则系统最终将达到静止状态这个思想而建立起来的稳定判据。即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当系统向平衡状态附近运动时,系统储存的能量随时间的推移应逐渐衰减,到达系统平衡状态处时,能量衰减到最小值。因此,如能找到系统的能量函数,只要能量函数对时间的导数是负的,则系统的平衡状态就是渐近稳定的。由于系统的形式是多种多样的,难以找到一种定义“能量函数”的统一形式和简单方法。为克服这一困难,李亚普诺夫引入一个虚构的能量函数,称为李雅普诺夫函数,简称李氏函数。此函数量纲不一定是能量量纲,但反映能量关系。李氏函数是标量函数,用V(x)表示,必须是正定的,通常选用状态变量的二次型函数作为李亚普诺夫函数。

1.标量函数的正定性和负定性

李亚普诺夫稳定性定理是以标量函数的正定和负定为基础的。设V(x)是向量x的标量函数,Ω是状态空间中包含原点的封闭有限区域(x∈Ω)。

1)正定性如果对于所有Ω域中非零的x,有V(x)＞0,且在x=0处有V(x)=0,则称标量函数V(x)在Ω域内是正定的。例如, 。只有x1=x2=0时,V(x)=0;其他情况V(x)＞0,所以V(x)是正定的。

2)半正定性如果在Ω域内,标量函数V(x)除在状态空间原点和某些状态处V(x)=0外,对于其他所有状态均有V(x)＞0,则称V(x)是半正定的。例如,V(x)=(x1+x2)2,x=［x1

x2］T,当x1=x2=0或x1+x2=0时,V(x)=0,其余情况都有V(x)＞0,因此V(x)是半正定的。

3)负定性如果V(x)是正定的,则称-V(x)为负定的。

4)半负定性

如果V(x)是半正定的,则称-V(x)为半负定的。

5)不定性如果无论Ω域取多么小,标量函数V(x)可正可负,则称这类标量函数为不定的。例如, 为不定的。因为对于x=［a-b］T一类状态,在a＞b＞0和b＞a＞0时,V(x)分别为负数和正数。设V(x)为一个二次型函数,则其可表示为

式中,P为实对称矩阵,即pij=pji。根据线性代数知识,

当P的顺序主子式全大于零,即

成立时,称矩阵P是正定矩阵,并可以证明V(x)是正定的。当P的所有主子行列式为非负时,则V(x)是半正定的。

2.李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫第二方法的基本思想是用能量变化的观点分析系统的稳定性。若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐减少,则系统稳定;反之,若系统在运动过程中,不断从外界吸收能量,使其储能越来越大,则系统就不能稳定。用一个大于零的标量函数V(x)表示系统的“能量”,称V(x)为李亚普诺函数。用V(x)就可表示系统能量的变化率,并且当V(x)＜0时,表明系统的能量在运动中随时间的推移而减少;当V(x)＞0时表明能量在运动过程中随时间的推移而增加。

...

李亚普诺夫函数最简单的形式为二次型,但也不一定都是二次型。任何一个标量函数,只要满足李亚普诺夫稳定性判据所假设的条件,都可以作为李亚普诺夫函数。对于给定的系统,V(x)不是唯一的。所以,正确地确定李亚普诺夫函数是利用李亚普诺夫直接法的主要问题。李亚普诺夫直接法分析系统稳定性的判据可以叙述如下:定理

11-1(李亚普诺夫稳定性定理)设系统状态方程为

当选定x≠0(相当于系统受到扰动后的初始状态),V(x)＞0后

(1)若V(x)＜0,则系统是渐近稳定的(如果随着‖x‖→∞,有V(x)→∞,则系统是大范围渐近稳定的);(2)若V(x)＞0,则系统是不稳定的;(3)若V(x)≤0,但V(x)不恒等于零(除了V(0)=0以外),则系统是渐近稳定的;但是若V(x)恒等于零,按照李亚普诺夫关于稳定性的定义,系统是稳定的,但不是渐近稳定的。系统将保持在一个稳定的等幅振荡状态。

......【例

11-1】设系统的状态方程为

试确定该系统的稳定性。

解

先构造一个正定的能量函数,例如:则有

显然,V(x)＜0,所以系统是渐近稳定的。而且选择的V(x)确实是一个李亚普诺夫函数。

.

需要指出的是,关于李亚普诺夫第二方法的稳定判据只是充分条件,而不是必要条件。关于这一点可以解释如下:构造一个能量函数,令V(x)＞0,若V(x)＜0,系统就是渐近稳定的;若V(x)＞0,系统就是不稳定的,这个能量函数可以作为李亚普诺夫函数。如果构造的能量函数不满足上述定理的假设条件(例如V(x)是不定的),那么就不能确定系统的稳定性,因为很可能是还没有构成李亚普诺夫函数。此时,一方面可以继续寻求合适的李亚普诺夫函数,另一方面应考虑采用其他的方法确定系统的稳定性。

...【例

11-2】设系统的状态方程为

试判断其稳定性。

解

假设选择能量函数为

它是正定的,但是

是不定的,因此不能立刻判断系统的稳定性。继续寻找李亚普诺夫函数,假设选

它是正定的,而

是一个半负定的标量函数,即V(x)≤0,但是V(x)不恒等于零,因为对于

..的x1,x2有

由状态方程有

可知,只要x1≠0,即使x2=0,也不会等于零。即在x1≠0时,x2不会恒等于零,则V(x)不恒等于零。根据定理11-1的条件(3)可确定系统是渐近稳定的。假设选取正定标量函数

.则有

因此系统是渐近稳定的。

另外,根据系统矩阵的特征值 ,由李亚普诺夫第一方法可知系统是渐近稳定的。上述例子表明,应用李亚普诺夫第二方法确定系统的稳定性,关键在于如何找到李亚普诺夫函数。但是李亚普诺夫稳定性理论并没有提供构造李亚普诺夫函数的方法。上面的例子还说明,对于给定系统,如果存在李亚普诺夫函数,它不是唯一的。

11.4线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析

11.4.1线性定常连续系统的李亚普诺夫稳定性分析设线性定常系统的状态方程为

(11.4)设所选取的李亚普诺夫函数为二次型函数,即

其中,P为n×n实对称矩阵,x为n×1列向量。

则有

其中,则有

(11.5)

如果能够找到满足式(11.5)的正定矩阵P和Q,那么有V(x)＞0,V(x)＜0,系统就是渐近稳定的。式(11.5)是一个矩阵代数方程,称为李亚普诺夫方程。

根据上面的推导可知,判断线性定常连续系统稳定性的步骤应该是先假定一个正定的实对称矩阵P,然后利用式(11.5)计算Q,如果Q是正定的,则表明系统是渐近稳定的。但是上述的计算步骤在实际使用中是比较麻烦的,所以在实际应用时,通常是取一个正定的实对称矩阵Q,而且为了简便,常取Q＝I,然后根据式(11.5)求出矩阵P(求解时可设P为对称矩阵),然后判断P是否为正定来确定系统的稳定性。因此有如下定理:

定理11-2

线性定常连续系统(11.4)渐近稳定的充分必要条件是:给定一个正定对称矩阵Q,存在一个正定对称矩阵P,使其满足李亚普诺夫方程(即式(11.5)):且标量函数V(x)=xTPx是系统的一个李亚普诺夫函数。

【例

11-3】判断系统

的稳定性。

解

选Q＝I,设P为对称矩阵。根据式(11.5)有

展开求解上述矩阵方程可得

因为矩阵P的各阶主子行列式均大于零,所以P是正定的,从而给定的系统是渐近稳定的。

【例11-4】

判断系统的稳定性。

解

选Q＝I,设P为对称矩阵。根据式(11.5)可求得

因为矩阵P为非正定的,所以系统不稳定(P的一阶主子行列式小于零,而二阶主子行列式大于零,因此P是负定的)。上面的例子也可以用系数矩阵A的特征值来判断系统的稳定性。

11.4.2线性定常离散系统的李亚普诺夫稳定性分析

对于线性定常离散系统也可以用李亚普诺夫第二方法分析其稳定性。设线性定常离散系统的状态方程为

取正定二次型函数

设

对于离散系统,用ΔV［x(k)］代替连续系统中的V(x),只要ΔV［x(k)］是负定的,系统就是渐近稳定的。

令

(11.7)则有

Q矩阵正定意味着ΔV［x(k)］负定,即系统是渐近稳定的。并称V［x(k)］为系统的一个李亚普诺夫函数,式(11.7)称为离散的李亚普诺夫方程。

定理11-3

线性定常离散系统(11.6)渐近稳定的充分必要条件是:给定一个正定对称矩阵Q,存在一个正定对称矩阵P,使其满足离散的李亚普诺夫方程,即式(11.7)。

【例

11-5】线性定常离散系统的状态方程为

试分析系统的稳定性。

解

选Q＝I,设P为对称矩阵。

根据式(11.7)可求得

显见,矩阵P是正定的,从而系统是渐近稳定的。

11.4.3用MATLAB分析线性定常系统的稳定性

【例

11-6】

试用MATLAB分析例11-3系统的稳定性。解取Q＝I,求取对称矩阵P的程序为

%ex-11-6A=［-44;2-6］;A=A′;Q=［10;01］;P=lyap(A,Q)运行结果为

P=0.17500.10000.10000.1500【例11-7】

试用MATLAB分析例11-5系统的稳定性。解取Q＝I,求取对称矩阵P的程序为

%ex-11-7A=［01;0.50］;A=A′;Q=［10;01］;P=dlyap(A,Q)运行结果为

P=1.66670.00000.00002.6667由于P是正定的,所以系统是渐近稳定的。

小

结

本章进一步讨论了系统的稳定性问题,采用李亚普诺夫方法分析了系统的稳定性。李亚普诺夫将判断系统稳定性的方法分为两类:第一方法(间接法)和第二方法(直接法)。本章就系统的稳定性问题研究了以下主要内容:(1)李亚普诺夫意义下稳定和渐近稳定的含义