1.3全集与补集 第2课时（4种题型分类基础练+能力提升练）-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第第页1.3全集与补集(第2课时）（4种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】一．补集及其运算（共2小题）1．（2023春•丹阳市校级月考）设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则∁AB＝（）A．（1，3] B．[1，3） C．[1，3] D．（﹣∞，3]【分析】根据条件，利用集合的运算即可求出结果．【解答】解：因为集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，所以∁AB＝（1，3]．故选：A．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．2．（2023春•蓬江区校级月考）已知集合，则∁RA＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜1或x＞2} D．{x|x≤1或x＞2}【分析】先解分式不等式得集合A，再根据补集的定义求解即可．【解答】解：由，得或，解得x≥2或x＜1，即A＝{x|x＜1或x≥2}，故∁UA＝{x|1≤x＜2}．故选：B．【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．二．全集及其运算（共1小题）3．（2021秋•普宁市校级月考）已知全集U＝{x|x2﹣3x+2≥0}，A＝{x||x﹣2|＞1}，B＝，求∁UA，∁UB，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩B．【分析】先对集合U，A，B分别进行化简，得到最简形式，然后就很容易进行关系的判断．【解答】解：由U＝{x|x2﹣3x+2≥0}得：U＝{x|x≤1或x≥2}由A＝{x||x﹣2|＞1}得，A＝{x|x＜1或x＞3}由B＝得，B＝{x|x≤1或x＞2}∴∁UA＝{x|x＝1或2≤x≤3}∁UB＝{x|x＝2}A∩B＝{x|x＜1或x＞3}A∩（∁UB）＝∅（∁UA）∩B＝{x|x＝1或2＜x≤3}【点评】本题考查的是交并补集的混合运算，要想准确得到结果必须先对集合UAB进行化简，属于基础题．三．交、并、补集的混合运算（共3小题）4．（2023春•雁塔区校级期末）设集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|x＞4}，则A∩（∁RB）＝（）A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x＜4} D．{x|2＜x≤4}【分析】先求出∁RB，再求A∩（∁RB）．【解答】解：∵∁RB＝{x|x≤4}，∴A∩（∁RB）＝{x|2＜x≤4}．故选：D．【点评】本题考查集合间的运算，属于基础题．5．（2023春•青铜峡市校级期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则A∪（∁UB）＝（）A．{1，3，5} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}【分析】根据已知条件，结合补集、并集的定义，即可求解．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，则∁UB＝{3，5}，A＝{1，3}，则A∪（∁UB）＝{1，3，5}．故选：A．【点评】本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．6．（2023春•南通期末）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁UB） D．（∁UA）∩B【分析】根据已知条件，结合交集、补集、并集的运算，即可求解．【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB错误；A∩（∁UB）＝{﹣2}，故C正确；（∁UA）∩B＝{3}，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查交集、补集、并集的运算，属于基础题．四．Venn图表达集合的关系及运算（共6小题）7．（2022秋•南平期末）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3，4} B．{2，3，5} C．{2，6} D．{1，6}【分析】根据韦恩图所表示的集合为∁U（M∪N），按照并集和补集的运算求解即可．【解答】解：集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则M∪N＝{2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）＝{1，6}．故选：D．【点评】本题主要考查并集和补集的运算，属于基础题．8．（2022秋•金寨县校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|3≤x≤6} B．{x|﹣1＜x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤﹣1}【分析】由图可得阴影部分表示（∁UB）∩A，然后用补集和交集的定义进行求解．【解答】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，因为A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，所以∁UB＝{x|x≤﹣3或x≥3}，（∁UB）∩A＝{x|3≤x≤6}，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题．9．（2022秋•锦州期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2，2} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），然后根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），∵B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴∁RB＝{x|x≤﹣2或x＞1}，∴A∩（∁RB）＝{﹣2，2}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．10．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（）A．M∩N B．M∪N C．∁UM∩N D．∁U（M∪N）【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．【解答】解：阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）．故选：D．【点评】本题考查集合并集，补集的定义，属于基础题．11．（2022秋•广东期末）集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，将集合A，B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A． B． C． D．【分析】先求出集合B，再根据图象和集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，对于A，阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，2}，元素个数为3个，故A错误，对于B，阴影部分表示的集合为{4，8}，元素个数为2个，故B正确，对于C，阴影部分表示的集合为{3}，元素个数为1个，故C错误，对于D，阴影部分表示的集合为{4，8，3}，元素个数为3个，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题．12．（2022秋•永川区校级期末）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|2≤x＜3}【分析】根据韦恩图求出A∩（∁UB）即可．【解答】解：由题知图中阴影部分为A∩（∁UB），∴∁UB＝{x|x≥2}，∴A∩（∁UB）＝{x|2≤x＜3}．故选：D．【点评】本题考查韦恩图与集合的运算，属于基础题．【能力提升】一．选择题（共3小题）1．（2022秋•龙岗区校级期中）若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（）A．∅ B．{3，4，5，6，7，8，9} C．{9} D．{1，2}【分析】由补集与并集的概念求解，【解答】解：由题意得∁UA＝{4，6，7，8，9}，∁UB＝{3，5，9}，（∁UA）∪（∁UB）＝{3，4，5，6，7，8，9}．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．2．（2022秋•天津期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0} D．{0}【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得．【解答】解：因为全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，所以A∪B＝{﹣2，1，2}，所以∁U（A∪B）＝{﹣1，0}，故选：C．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．【点评】本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．二．多选题（共3小题）（多选）4．（2022秋•拱墅区校级期中）已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（）A．2 B．6 C．8 D．12【分析】利用（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，可得A∩B中元素个数为12﹣m，进而可得18﹣x≥8，又结合A∪B中共有12个元素，可得x≥6，可得x的范围．【解答】解：∵（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，又全集U＝A∪B中共有12个元素，∴A∩B中元素个数为12﹣m，设集合B中元素个数为x，则x+6﹣（12﹣m）＝12，得m＝18﹣x，又m≥8，∴18﹣x≥8，∴x≤10，又A∪B中共有12个元素，∴x≥6，∴6≤x≤10故选：BC．【点评】本题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，属中档题．（多选）5．（2022秋•荔湾区校级月考）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（）A．（∁IA）∪B＝I B．（∁IA）∪（∁IB）＝I C．A∩（∁IB）＝∅ D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB【分析】先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．【解答】解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，解二：设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且满足A⊆B⊆I．根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，故选：ACD．【点评】本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．（多选）6．（2021秋•屯溪区校级期中）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（）A．赞成A的不赞成B的有9人 B．赞成B的不赞成A的有11人 C．对A、B都赞成的有21人 D．对A、B都不赞成的有8人【分析】记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A，B都赞成的学生人数为x，列出方程能求出结果．【解答】解：赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30+3＝33．如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为+1．赞成A而不赞成B的人数为30﹣x，赞成B而不赞成A的人数为33﹣x．依题意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（+1）＝50，解得x＝21．∴赞成A的不赞成B的有30﹣21＝9人，故A正确；赞成B的不赞成A的有33﹣21＝12人，故B错误；对A、B都赞成的有21人，故C正确；对A、B都不赞成的有＝8人，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查满足条件的学生人数的求法，考查交集、并集、子集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三．填空题（共3小题）7．（2020秋•天津月考）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝﹣3．【分析】根据全集U和∁UA，容易求出集合A，再根据已知集合A的等式判断出m的值【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}∴A＝{0，3}而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，∴0，3为x2+mx＝0的两个根解得m＝﹣3故答案为﹣3【点评】本题考查集合间的关系，着重考查补集的知识点，最后考查韦达定理，求参数．属于基础题8．（2022秋•长寿区校级期末）某城市数．理．化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数．理．化三科竞赛的有7名，只参加数．物两科的有5名，只参加物．化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有3名．【分析】首先分析题目，发现题目已知条件太多，考虑到画图使条件简化，然后根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门参加3门竞赛的人数加在一起，即可得到参加竞赛的人数，拿总人数减去它即可得到答案．【解答】解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学的人．因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．分别填入图形中又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛．故单独参加数学的有8人、单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，故8+13+5+5+7+4+3＝45是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为48﹣45＝3人．故答案为3．【点评】此题主要考查数形结合思想在解决实际问题中的应用，题目已知条件过多，技巧性较强．同学们做此类题目要注意选择合适的解题方法．9．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．计算A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．【分析】根据题意得出a＜c＜e＜0＜b＜d＜f，计算A∩B、B∩C和C∩A，从而求出A⊙B⊙C．【解答】解：因为A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，所以a+b＜c+d，所以a﹣c＜d﹣b，因为b﹣a＝d﹣c，所以a﹣c＝b﹣d，所以b﹣d＜d﹣b，所以b＜d；同理，d＜f，所以b＜d＜f；由（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e；所以a＜c＜e＜0＜b＜d＜f；所以A∩B＝{x|c＜x＜b}，B∩C＝{x|e＜x＜d}，C∩A＝{x|e＜x＜b}；所以A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．故答案为：{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题．四．解答题（共16小题）10．（2020秋•杏花岭区校级月考）设全集U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{|2a﹣1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．【分析】根据∁UA⊆U，可得a2+2a﹣3＝5，求出a的值，再进行验证，即可求得实数a的值．【解答】解：∵集合U＝{2，3，a2+2a﹣3}，∁UA＝{5}，∴a2+2a﹣3＝5，∴a＝2或﹣4．当a＝2时，A＝{2，3}符合题意．当a＝﹣4时，A＝{9，3}不符合题意，舍去．故a＝2．【点评】本题考查集合的补集运算，考查集合的关系，明确∁UA⊆U是解题的关键．11．（2020秋•集宁区校级月考）若A＝{a，b}，B＝{x|x⊆A}，M＝{A}，求∁BM．【分析】先分别求出集合B和M，由此能求出∁BM．【解答】解：∵A＝{a，b}，∴B＝{x|x⊆A}＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，M＝{A}＝{{a，b}，∴∁BM＝{{a}，{b}，∅}．【点评】本题考查补集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．（2）若B⊆A，求m的取值范围．【分析】（1）先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B，A∪B．（2）由集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，当B＝∅时，2m＞m+3，当B≠∅时，，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．把m＝﹣1代入B中得：﹣2≤x≤2，即B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥﹣2}．（2）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，∴当B＝∅时，2m＞m+3，解得m＞3，当B≠∅时，，解得m≤3．综上，m的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．（2022秋•桂林期末）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：（1）A∩B；（2）∁R（A∪B）．【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，∴A∩B＝{x|4＜x＜7}；（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，∴A∪B＝{x|3≤x＜10}，则∁R（A∪B）＝{x|x＜3或x≥10}．【点评】此题考查了交集及其运算，补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14．（2022秋•泰山区校级月考）设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．（1）若A∩∁RB＝∅，求m，n的值；（2）若对∀x∈B，有x∈A，求m，n的取值范围．【分析】（1）解不等式求出集合A，由A∩∁RB＝∅，得A⊆B，由此能求出结果．（2）若对∀x∈B，有x∈A，则集合B⊆A，分Δ＜0，Δ＝0和Δ＞0，讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．由x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，得x＝2或x＝m+1，若A∩∁RB＝∅，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0，得n＝﹣2，则B＝{x|2x2﹣5x+2＝0，n∈R}＝{2，}，则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2时，得m＝1，综上，m＝，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2；（2）若对∀x∈B，有x∈A，则B⊆A，当Δ＝（3m+1）2﹣16＝0时，m＝，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2，当Δ＝（3n+1）2﹣16＞0时，即n＜，或n＞1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n＝﹣2；当Δ＝（3n+1）2﹣16＜0时，即＜n＜1，B＝∅对m∈R，故成立，综上，或或或．【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．15．（2022秋•中山市校级月考）已知集合A＝{x|（2x+3）（x﹣4）≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，然后分集合C为空集与不是空集讨论，建立不等式关系即可求解．【解答】解：集合A＝{x||（2x+3）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，∁RA＝{x|﹣＜x＜4}，∴（∁RA）∪B＝{x|x＞﹣}；（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，当C＝∅时，m﹣2＞2m，即m＜﹣2满足题意，当C≠∅时，，解得＜m＜2；综上，m的取值范围是{m|m＜﹣2或＜m＜2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．16．（2022秋•高淳区校级月考）设函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}．给出下列条件①“x∈B”是“x∈A”的充分条件；②A∪B＝R；③B∩∁RA＝B．从中选一个作为已知填在横线上，并解答．（1）若，求（∁RA）∩B；（2）设集合A，B满足条件_____，若这样的实数m存在，求m取值范围，若不存在说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）根据已知条件，分别求出集合A，B，再结合交集、并集的定义，即可求解．（2）选①，结合充分条件的定义，即可求解；选②，结合并集的定义，列出不等式组，即可求解；选③，集合补集、交集的定义，即可求解．【解答】解：（1）∵，∴x2﹣3x+2≥0，解得x≥2或x≤1，故∁RA＝{x|1＜x＜2}，若，则集合，故，∴．（2）∵集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}，∴B＝{x|m﹣2≤x≤m}，集合A＝{x≥2或x≤1}，选择①，∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，∴B⫋A，则满足m﹣2≥2或m≤1，解得m≥4或m≤1，∴故m的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）；选择②，∵A∪B＝R，∴，解得2≤m≤3，故m的取值范围为[2，3]；选择③，∵∁RA＝{x|1＜x＜2}，又∵B∩∁RA＝B，∴，解集为∅．【点评】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题．17．（2020秋•郑州期中）已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）求集合∁RP；（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．【分析】（1）由全集为R，以及P，求出P的补集即可；（2）根据P为Q的子集，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；（3）根据P与Q的交集为Q，分Q为空集与Q不为空集时两种情况，求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，∴∁RP＝{x|x＜﹣2或x＞10}；（2）∵P⊆Q，P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，∴，解得：m≥9，则实数m的取值范围是[9，+∞）；（3）由P∩Q＝Q，得到Q⊆P，分两种情况考虑：①当1﹣m＞1+m，即m＜0时，Q＝∅，符合题意；②当1﹣m≤1+m，即m≥0时，需，解得：0≤m≤3，综上得：m≤3，则实数m的取值范围为（﹣∞，3]．【点评】此题考查了补集及其运算，交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若集合A中任意元素ai都满足﹣1＜ai＜1，则称该集合A为收敛集合．对于收敛集合A，定义Γ变换有如下操作：从A中任取两个元素ai、aj（i≠j），由A中除了ai、aj以外的元素构成的集合记为C1，令A1＝C1∪，若集合A1还是收敛集合，则可继续实施Γ变换，得到的新集合记作A2，…，如此经过k次Γ变换后得到的新集合记作Ak．（1）设A＝，请写出A1的所有可能的结果；（2）设A＝{a1，a2，…，a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；（3）设A＝，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak．【分析】（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，分ai，aj为﹣，0，ai，aj为﹣，和ai，aj为0，三种情况，结合集合新定义，可得A1的所有可能结果．（2）由收敛集合的定义推出Ak仍是收敛集合，分∈∁k，∉∁k两种情况，进行Γ变换，可得结果．（3）先根据运算：a∽b＝，满足交换律和结合律，再取﹣和，﹣和，﹣和，﹣和，0和﹣进行a∽b＝运算，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，若取ai，aj为﹣，0，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，}，若取ai，aj为﹣，，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，0}，若取ai，aj为0，，则＝＝，所以A1＝{﹣，}，综上，A1的所有可能结果有{﹣，}，{﹣，0}．（2）对任意的收敛集合Ak﹣1＝{a1，a2，…an}（n∈N，n≥4，k∈N，k≥2），其中两个元素ai＜1，aj＜1，都有ai2＜1，aj2＜1，则||2﹣1＝＝＝﹣＝﹣＜0，即﹣1＜＜1，所以Ak仍是收敛集合，若∈∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少2个，若∉∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少1个，所以对于含有10个元素的集合A，若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素，则至多可进行9次Γ变换，此时A9只含有一个元素，无法进行Γ变换；若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素，则至少可进行5次Γ变换，此时A5只含有一个元素，无法进行Γ变换；所以最多进行9次Γ变换，最少进行5次Γ变换．（3）由于A＝{﹣，﹣，﹣，﹣，，，，}，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，对于满足a，b∈{x|﹣1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a∽b＝，因为a∽b＝，且b∽a＝，所以a∽b＝b∽a，该运算满足交换律，因为a∽（b∽c）＝a∽＝＝，且（a∽b）∽c＝∽c＝＝，所以a∽（b∽c）＝（a∽b）∽c，该运算满足结合律，所以a∽b＝，运算满足交换律和结合律，由于A＝，先取﹣，进行a∽b＝运算，得到A1＝{0，﹣，﹣，﹣，，，}，再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A2＝{0，﹣，﹣，，}，再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A3＝{0，﹣，﹣，}，再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A4＝{0，﹣}，再取0，﹣进行a∽b＝运算，得到A5＝{﹣}，所以＝{﹣}，综上，最终所得集合Ak只有一个元素时，所有满足条件的集合Ak＝{﹣}．【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题．19．（2022秋•南开区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1）}，集合C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}．（1）求A∩B、A∪（∁RB）（R为全集）；（2）若（A∩B）⊆C，求m的取值范围．【分析】（1）求出集合B中y的范围确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B的交集，求出A与B补集的并集即可；（2）根据A与B的交集为C的子集，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）由B中y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1），得到B∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），∵A＝（﹣1，3），∴A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），∵全集为R，∴∁RB＝[﹣，﹣1]，则A∪（∁RB）＝（﹣1，3）；（2）令f（x）＝2x2+mx﹣8，∵C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}，A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），且（A∩B）⊆C，∴，解得：﹣6≤m≤﹣．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．20．（2022秋•沈阳期中）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∁U（A∪B）．【分析】（1）列举出A与B即可；（2）求出A与B的交集，以及A与B并集的补集即可．【解答】解：（1）集合A＝{2，3，4}，B＝{1，2}；（2）A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3，4}，∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，∴∁U（A∪B）＝{0，5，6}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．21．（2022秋•高新区校级月考）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝∅（2）A⊆（A∩B）【分析】（1）根据A∩B＝∅，得出﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16，由此求得a的取值范围；（2）利用分类讨论，建立不等式组，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞14}；（1）若A∩B＝∅，则﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤14或2a+1≥3a﹣5，即，或2a+1≥3a﹣5，解得，或a≤6，即6＜a≤，或a≤6；综上知，a的取值范围是a≤；（2）①当2a+1＜x＜3a﹣5≤﹣1，即2a+1＜3a﹣5，且3a﹣5≤﹣1时，解得a＞6，且a≤，此时无解；②当14≤2a+1＜x＜3a﹣5，即14≤2a+1，且2a+1＜3a﹣5时，解得a≥6.5且a＞6，此时a≥6.5；③当A＝∅时，即2a+1≥3a﹣5，即为a≤6也成立，综上知，a的取值范围是（﹣∞，6]∪[6.5，+∞）．【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，也考查了运算与求解能力，是难题．22．（2022秋•井冈山市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；（Ⅱ）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；（Ⅱ）根据集合关系进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．所以B＝{x|2≤x≤4}，根据题意，由图可得：C＝A∩（∁UB），因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x＞4或x＜2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩（∁UB）＝{x|1≤x＜2}；（Ⅱ）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}