2024年甘肃省天水市甘谷县甘谷县永丰中学联片教研中考三模数学试题

2023−2024学年第二学期甘肃省甘谷县永丰中学联片教研九年级数学第三次模拟考试试卷一、选择题（共30分）1.下列四个实数中，最小的是（）A. B.4 C. D.2【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，无理数的估算．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴最小的数是．故选：C．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可．【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、，选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．3.甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，依题意得，故选：A．4.下列函数中，的值随值的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；B.，，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；C.，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；D.，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．5.如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（）A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5【答案】D【解析】【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【详解】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠5，故选：D．【点睛】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．6.如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；∵，∴，∴，∴，∴四边形为菱形，故选项B符合题意；∵，∴，∵，∴，∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．7.如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【详解】解：如图，连接OC、OD．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，∴弧AD=弧CD=弧BC，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=4，∴⊙O的周长=2×4π=8π．故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．．8.如图，在中，，若，则与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键．9.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．解直角三角形可以求出AC和BC的长度，以及AF，EF的长度，因为AE≥AF-EF，可以得出AE的最小值．【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4∴AC＝BC＝∵F是BC的中点∴CF＝∴AF＝∵CD是直径∴∠CED＝∠CEB＝90°∴△CEB是直角三角形∵F是BC的中点∴∵AE≥AF-EF=故选D．【点睛】此题考查了圆与三角形结合的综合性问题，考查了线段的最值问题，找到取BC的中点F，得出AE≥AF-EF是本题的关键．10.已知、、为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据题意画出反比例函数的图像，根据图像结合条件逐项分析即可.【详解】解：根据题意画出反比例函数图像如下所示：A、若，则同号，则同号，但不等确定的正负，故A不符合题意；B、若，则异号，由，可知，但可能为正，也可能为负，则不能判断，故B不符合题意；C、若，则同号，则同号，但不等确定的正负，故A不符合题意；D、若，则异号，由，可知，则，则，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数图像与解析式，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．二、填空题（共24分）11.若，则的值为______．【答案】12【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，，再代入计算即可．【详解】解：，，，，，，故答案为：12．12.分解因式：______．【答案】##【解析】【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）．故答案为：2（m+3）（m-3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.已知方程的一个根是，则m的值是_______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把代入，得，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14.如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则长为____．【答案】10【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，利用平行四边形的性质和勾股定理求的长，进而可求出的长．【详解】∵平行四边形的的对角线与相交于点，，，，，，，故答案为：10．15.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°．【答案】60【解析】【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°.故答案为：60考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质16.如图，在半径为2的中，弦直径，垂足为，，为上一动点，于点．则点在上运动的过程中，线段长度的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．如图，连接，取的中点H，连接，再求出，根据，即，据此即可解答．【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴的最小值为．故答案为：．17.如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．【答案】【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．详解】解∶设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为，∴，解得，，∴故答案为：【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．18.如图，在矩形中，，．将此矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质即可求得；连接，根据勾股定理求得，证得，根据全等的性质得：，根据勾股定理列出关于线段的方程，解方程求得的长，即可求得，然后通过证，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：四边形是矩形，，，；连接，，，，由勾股定理得：，，，在和中，，，，，由题意知：；设，则，在中，，由勾股定理得：，解得：，，，，则：，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题．三、计算题（共8分）19.计算及解方程（1）计算（2）解方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值计算即可；（2）分别求解各不等式后即可得解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：，解不等式得，解不等式得，∴原不等式组的解集为．．【点睛】本题考查了负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值，一元一次方不等式组的解法，熟练掌握知识点是解题的关键．四、作图题（共4分）20.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图1中，先在上画点D，使得，再在上画点E，使得；（2）先将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点P，使的值最小．【答案】（1）图见解析（2）图见解析【解析】【分析】（1）利用矩形对角线互相平分的性质作出点D，满足，再利用作出，使得，在上利用相同的方法(矩形对角线互相平分的性质)，得到，即，连接，交于点，得到，即满足；（2）利用作出，再结合轴对称作和关于对称，连接，与的交点即为点P．【小问1详解】解：点D，点E如图所示，且满足；【小问2详解】解：线段，点P，如图所示，且满足的值最小．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形判定，网格作图，全等三角形性质，旋转作图，轴对称表示最值，灵活运用以上知识点作图是做出本题的关键．五、解答题（共52分）21.如图，小肖同学从滑雪台处开始向下滑至处．已知滑雪台的高度为14米，滑雪台整体的水平距离比滑雪台的长度短2米，则滑雪台的长度为多少米？【答案】滑雪台的长度为50米【解析】【分析】本题考查勾股定理，设的长为米，则的长为米，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：设的长为米．则的长为米．米，是直角三角形，，，，解得．答：滑雪台的长度为50米．22.如图，在矩形中，相交于点，过点分别作，，连接．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．（1）先证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质和一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可；（2）菱形的性质，求出的长，证明是等边三角形，求出的值，再利用勾股定理尽心求解即可．【小问1详解】证明：，，，，四边形是平行四边形．四边形是矩形，，四边形是菱形．【小问2详解】，且四边形是菱形，，．，，是等边三角形，．在中，，，．23.某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？（2）若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生（2）最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．（1）设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可；（2）①根据（1）所求可得方程，求出方程的非负整数解即可得到两种方案，求出两种方案的花费即可得到答案．【小问1详解】解：设小客车能坐a名学生，大客车能坐b名学生，由题意得，解得，每辆小客车和每辆大客车各能坐20名学生，45名学生；【小问2详解】解：由题意得，，∴，∵都是整数，∴一定是整数，∴y一定是4的倍数，∴或，∴一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车0辆；方案二：租用小客车8辆，大客车4辆；方案一的费用为（元），方案二的费用为（元），∵，∴最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元．24.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE（1）求证：△ADE≌△CBF.（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，该判断当BE的长度为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ADE=∠CBF，AD=BC，利用SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，利用勾股定理可求出DE的长，即可用x表示出OE和OB的长，由菱形的性质可得AC⊥EF，即可证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，分别利用勾股定理表示出OA2，列方程求出x的值即可得答案.【详解】（1）∵平行四边形ABCD，∴AD//BC，∴∠∠ADE=∠CBF，AD=BC，又∵BF=DE，∴△ADE≌△CBF.（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.理由如下：连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，∴BF=DE==5，∴OE=，OB=，∵四边形AECF为菱形，∴AC⊥EF，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2，即42-()2=32-()2，解得：x=.∴BE的长度为时，四边形AECF为菱形.【点睛】本题考查了全等三角形的判定、菱形的判定与性质，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出平行四边形ABCD是菱形，进而求出AB的长是解题关键.25.如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠OBD，由角平分线的性质得出∠OBD=∠CBD，则∠ODB=∠CBD，证出∠ADO=∠ACB=90°，则可得出结论；（2）由勾股定理求出AB=5，证明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【小问1详解】证明：连接，，，平分，，，∴OD∥BC，，，是⊙O的切线；【小问2详解】解：设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，．∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得，，∴AE＝AB－BE＝.【点睛】本题考查了切线判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解题的关键．26.如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，，延长交于点H．（1）求证：；（2）求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识：（1）连接，则，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证；（2）过点H作于点E，连接，设，则，根据勾股定理可得，从而得到，然后圆周角定理，即可求解．【小问1详解】证明：如图，连接，则，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】解：如图，过点H作于点E，连接，∵，∴，∵D是的中点，∴，设，则，∴，∴，∵，∴．27.在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m的取值范围．【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．【解析】【分析】（1）先解得点A的坐标，再代入二次函数解析式中，求得抛物线与x轴的两个交点，根据题意解得m的值即可；（2）作PMy轴交直线l于点M，先求一次函数与y轴的交点B，证得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定义解得PQ=PM，设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标