2023-2024学年高三年级上册1月诊断性测试数学试题（含答案解析）

THUSSAT2023-2024学年高三上学期1月诊断性测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知meR,集合A=B=\a1\a&A\,若C=AB,且C的所有元素和

为12,则机=（）

A.-3B.0C.1D.2

2.已知数列｛《,｝满足q=l,a“-a“+i=2"a"a”+i，则%=（）

A.-—B.工

2'i+12"-

C.-^―D.-^―

2"+12"-1

3.复数z满足（z+2）i=l-i（i为虚数单位），贝IJz的共钝复数的虚部是（）

A.-3B.1C.iD.-i

4.在直三棱柱ABC-A4G中，所有棱长均为1,则点4到平面MC的距离为（）

A.叵B.巫C.叵D.巫

7564

n

5.设（l+2x）〃=g+〃/+〃2%2++anx,若。5=4，则几=（）

A.6B.7C.8D.9

6.若不等式J式_以+5+-8x+17W4的解集为［。回，则的值是（）

A.5B.472C.6D.7

e3

7.已知。=e2/=—In2,c=15—51n5,贝！J（）

2

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.b>a>c

aa11

8.已知x,y〉O,x+y——x——y=3,贝!113%+）的最大值是（）

44

A.15B.18C.20D.24

二、多选题

9.设/⑸/为互不重合的平面，办〃为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若二〃尸〃7,贝ija〃尸

B.若ac/=相，m_L/,则a_Ly,/J_y

C.^m//a,n///3,m//n,则a〃,

D.若a_L/,，_Ly,则a〃夕

10.已知点尸为双曲线C：X-y2=i上的任意一点，过点尸作渐近线的垂线，垂足分别

4-

为E,F,则()

A.\PE\+\PF\=^~

B.

C.PEPF=~—

25

Q

D.LPEF的最大值为成

11.直线4:ax+加+c=0和6：bx+cy+a=0将圆C：a-l)2+(y-l)2=1分成长度相等的四

段弧,则(a-1了+S-1)2+(c-1)2的取值可以是()

48

A.—B.2C.—D.3

33

12.已知sin26Z+sin2〃=2sin(26Z+2〃)，且a+左eZ,则

tan(z+2tan(a+K)+3tan尸的值可能为()

A.—6B.-5C.5\/2D.8

三、填空题

13.设函数外力的定义域为域“X)为偶函数,，(尤+2)-1为奇函数，当xe[2,4]时,

f(x)^a-\og2x+b,若/(0)+/(6)=4,贝1Ja+2Z>=.

22

14.已知居，鸟是椭圆C:j+多=l(〃>b〉0)的左、右焦点，P是。上一点，线段根的

ab

Q

中垂线/过点耳，与椭圆C相交于A,3两点，且=则椭圆C的离心率

为.

15.己知函数g(x)的图象与函数〃x)=e「x的图象关于原点对称，动直线了=。(4工0)

与函数〃x),g(x)的图象分别交于点A,8,函数的图象在A处的切线《与函数

g(x)的图象在3处的切线4相交于点C,则ABC面积的最小值是.

16.对任意的xeR,不等式(炉-7x+14)22m(尤2-6x+13乂x?-8x+17)恒成立，则实

数机的取值范围为.

试卷第2页，共6页

四、解答题

17.数列｛%｝的前”项和为=1,当“22时，S；=a“1s,-;

⑴求证:是等差数列，并求S〃的表达式;

2

⑵设b„=，数列圾｝的前"项和为Tn,不等式T„<m-3m+n对所有的〃©N*恒

2〃+1

成立，求正整数加的最小值.

18.如图所示，在ABC中，AB=1,O是8c上的点，ABAD=-ADAC.

2

(1)若NBAC=m，求证：B

2ADAC

(2)若8。=!。。，求ABC面积的最大值.

4

19.如图所示，一只蚂蚁从正方体ABC。-A与GR的顶点A出发沿棱爬行，记蚂蚁从

一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底

面上的棱爬行的概率为1:，沿正方体的侧棱爬行的概率为三2.

(1)若蚂蚁爬行兀次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；

(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.

20.如图所示，已知，ABC是以8c为斜边的等腰直角三角形，点M是边A8的中点，

点、N在边BC上，且BN=3NC.以MN为折痕将比VW折起，使点8到达点。的位置,

且平面DWC_L平面ABC,连接D4,OC.

试卷第4页，共6页

(1)若E是线段DM的中点，求证：NE〃平面D4C；

(2)求二面角AC-3的余弦值.

21.如图所示，已知抛物线>=f-1,加(0,1),43是抛物线与苫轴的交点，过点/作斜

率不为零的直线/与抛物线交于C,D两点，与x轴交于点Q,直线AC与直线8。交于点

P.

⑴求,

的取值范围;

(2)问在平面内是否存在一定点T,使得TPTQ为定值？若存在，求出点T的坐标；若

不存在，请说明理由.

22.已知函数〃%)=/+二一竺-a有两个零点不,x2a<x2).

⑴求实数。的取值范围；

⑵求证：占々<1；

2

(3)求证：x2-xt<\Ja-4<x；-尤;.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】先确定集合B中可能的元素，根据两集合中元素的和求出加的值，再根据集合中元

素的互异性取值.

【详解】集合3中的元素可能为：根,，1,4

因为W,m^l.

若加=1,则4={1,一1,2},B={1,4},则。={1,一1,2,4},元素和不为12；

若〃z=—2,则4={-2,-1,2},B={1,4},则。={-2,-1,2,4},元素和不为12；

当〃zw±l,±2时，6={加,-1,2,优1,4},因为C中所有的元素和为12,

所以加2+m=6,解得机=—3或根=2（舍去）.

综上：m=-3.

故选：A

2.D

【分析】对%-。用=2%/向同时除以％。向可得一匚一工=2〃，再由累加法求解即可得出答

an+\an

案.

【详解】若%=0,则%-%+1=。，则4=4+1=°，

这与q=1矛盾，所以%+1。0,

对为一。用=2%必+1同时除以％%+i,

111111

所以-------=2",则一-一=2"\-------------=2-2,

«„+i%«„-ian_2

上面的n-1式子相加可得：

112(1-2"叫

---------=2+22+23++2"-=-^----------^=2"-2,

a“弓1-2

所以，=2"-2+1=2"-1,所以q=Q,

an2"-1

故选：D.

3.B

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出口即可得到其虚部.

答案第1页，共23页

【详解】解：由（z+2）i=l-i可得：力+2i=l—i,

l-3i(l-3i)i

得z=

ii2

一z=-3+i，

则Z的共辗复数的虚部为1,

故选：B.

4.A

【分析】取AB的中点连接CM,可证CM,平面AB与A，利用等体积法求点到面的距

离.

【详解】取4B的中点连接CM,

因为ABC为等边三角形，则，四,

又因为9_L平面A3C,且CMu平面A3C,则CM_LAa,

且ABcA4j=A,AB,A4,u平面A,可得CM_L平面ARB】A,

由题意可知：AB\=CB\=®,CM=与,

设点4到平面AB.C的距离为d,

因为匕TAC=匕』的，即gxdxjxlxJ（夜『）=gx等x；xlxl,

解得d=叵,

7

所以点A到平面AB,C的距离为叵.

7

故选：A.

5.C

【分析】先求出（1+2犬厂展开式第〃+1项，再由%=%，代入即可求出〃的值.

答案第2页，共23页

【详解】（1+2x）"展开式第r+1项Tr+l=C：（2步=C：23,

•••%=4，.•.C：25=C：2〈,即C；=2C：,

n\八n\

•=2x_________

**5!（n-5）!-6!（n-6）!'

整理得5=3,n=S.

故选：C.

6.C

【分析】将42_©+5+J*_8彳+17转化为点（x,0）与点（2,1）,（4,1）距离的和为4,求出

以（2,1）,（4,1）为焦点，长轴长为4的椭圆方程，则点（％0）不能在椭圆外，进而可得x的范

围，则〃+人的值可求.

【详解】令M=6-4x+5+J无2-8x+17=^-2）2+（0-1）2+J（x-4）2+（0-1/,

则M的值为平面直角坐标系中点（x,0）与点（2,1）,（4,1）距离的和

若M=4,即点（x,0）与点（2,1）,（4,1）距离的和为4,

则点（元,0）为以（2,1）,（4,1）为焦点，长轴长为4的椭圆与x轴的交点，

设以（2,1）,（4,1）为焦点，长轴长为4的椭圆方程为（x?』+（y二=1，

2222

贝U/=4,c=1»b=a—c=3J

故椭圆方程为（x—3）一=i，如图:

43

椭圆内的点到（2,1）,（4,1）的距离和小于4,椭圆外的点到（2,1）,（4,1）的距离和大于4,

答案第3页，共23页

所以点(X,。)不能在椭圆外，即点(x,o)在线段AB上,

所以3一亚X3+河

66

Bn22屈2y/6

即。=3-----,。=3H-----,

66

所以Q+Z?=6.

故选：C.

7.A

【分析】将〃也C的结构变形，根据变形结果构造函数〃x)=e3./，然后分析“X)的单

调性’根据?二?以及e、2。可比较

【详解】因为

3W3

333

Q=e2=e，•,Z?=-ln2=e-,c=15-51n5=e---=e•

e22e3e-e3

y

构造函数〃x)=e3.皿，所以f，(x)=e3.匕学(x>0),

XX

当x«O,e)时，r(x)>0,/(x)单调递增,

当x«e,+x)时，r(x)<0,单调递减，

又因为，=墨，所以a=/(e),b=*2)=/(4),c=/

因为e3>2.7183>20,所以±>4>e,

5

所以〃e)>〃4)>/与，所以a>"c,

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的构造函数比较大小，对学生的转化与计算能力要求

较高，难度较大.解答本题的关键在于：通过所给数值进行合适变形，可由B项中的(作

为突破点，从而构造出函数/(尤)=e3.皿解决问题.

X

8.C

【分析】先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有犬+yx-y的一个等式，然后

答案第4页，共23页

利用配方进行整理即出现含13x+y的式子，即可得出答案.

【详解】利用公式/+9=(x+y)(f一肛+y2)=(x+y)[(x+y『一3M

及=(x+-—(尤-»可得：

4

x、y3=(x+y),一3.('+»二(尤一»,

=(x+yjg£+3(f)1

V744

所以代入已知式化简可得(x+»+3(x+y)(x—y)2—(x+y)=12,

由观察可得：当X—y=l,x+y=2时，即23+3x2x12—2=12成立，

„.31

止匕时x=—,y=—,

所以=%3+)3+\%―312+；y_y2①，

彳一||=3尤2-9元+子■②,

又3

|=y2_y+；③,

则①+②+③可得:

2

|33273r

(x+3)x-|I+(y+i)G1|=x+y——x--y+/>

所以尤3+y3一;无+3）I+(y+i)GI212713r

X_|1x—y—y+7

114--4----44

=（尤+3）甘-3,

I+(y+i)GIj+7=

故原不等式可化为：（x+3）［-11+（y+l）^-1j+”妻=10,

即13.；ygo,故i3x+”20,

此时当x=3=|1时等号成立，即13元+y的最大值是20.

答案第5页，共23页

故选：c.

【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当％y分别为何值时，13x+y可能取得最大值,

根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有x+yx-y的

一个等式，然后利用配方进行整理即出现含13x+y的式子，即可得出答案.

9.AB

【分析】把几何语言转化问文字语言，想象空间模型，得出结论.

【详解】对A：平行于同一个平面的两个平面互相平行，正确；

对B：两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面都垂直于第三个平面.根据面面垂

直的判定定理，该结论正确；

对C：和两条平行直线分别平行的两个平面相交或平行，故C错误；

对D：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交.故D错误.

故选：AB

10.BCD

【分析】对A找到反例即可；对B利用点到直线距离公式计算即可；对C,利用二倍角的

余弦公式和向量数量积的定理计算即可；对D利用三角形的面积公式计算即可.

【详解】对A,当尸趋近于无穷远处时|尸耳+|「同一+8,故A错误；

对B,设点尸(1,%),满足亨一火=1,即x；-4y；=4,

又两条渐近线方程分别为y=土;x,即尤±2y=O,故有

M_4yLM故B正确；

111175V555

对C,设渐近线下=3^的倾斜角为a,则

[十2o

cos/EPF=cos(K-/EOF)=-cos/EOF=-cos2a=------叫。=——，

1+tana5

所以=|尸耳・|尸耳85/£//=。[一||=一||,故C正确；

对D,由C可知，sinZEPF=,所以

1Q

SPEF=-\PE\-\PF\-sinZEPF=—为定值，故D正确.

故选：BCD.

答案第6页，共23页

11.CD

【分析】考虑两种情况，第一种4和4垂直且过圆心c(U),第二种4和4平行，圆心c(U)

到直线4和4的距离都等于受，分别求解即可.

2

【详解】①若4和，2相交，由题意可知，圆心C(1,1)应该是两直线的交点，所以〃+6+。=0,

7T

由于4和4将圆。分成长度相等的四段弧，所以每段弧所对的圆心角都为万，

所以直线4：依+力+。=0和12:fcr+cy+a=0垂直，

所以必+bc=0,所以Z?(a+c)=。，再由〃+b+c=0,

可得：〃+。=0*=0,

所以(a-1)2+(b-1)2+(c-1)?=(〃_]_)+1+(-a—I)2=3+2/23

②若4和4平行，则廿二ac,

由于4和4将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以每段弧所对的圆心角都为

所以圆心到直线4和。的距离都等于正，

一2

\a+b+c\J2\b+c+a\J2

即22=:，/22所以/+从=/+从，即/=

7a+b27c+b2

答案第7页，共23页

又因为Z?2=ac>0,所以，，。同号，贝！Ja=c,

|3司3A/2

当。=c=b时，/•=,不满足题意，所以a=c=->,

，〃+Q2

所以m—iy+s—iy+g—iy=3/_2a+3=3+|>|,

综上①②，可知CD正确.

故选：CD.

12.ACD

2

【分析】借助二倍角公式及两角和差公式化简，得到4tani+——，再利用基本不等式得

tana

到其取值范围，从而得到答案.

【详解】因为sin2a+sin2/?=2sin(2a+2/?)

所以sin[(a+£)+(a-£)]+sin](a+£)-(a-£)]=2sin(2a+2£),

2sin(a+/?)cos(a-/?)=2sin(2a+27?),

sin(a+/?)cos(a-0^=2sin(a+/?)cos(a+/?),

因为a+左wZ,所以sin(a+/?)wO,

所以cos(a-7?)=2cos(a+尸),

cosacosP+sinasinp=2coscrcos^—2sincrsin0,

3sinasin/3=cosacos13,又cosecos尸wO,

所以tanatan尸=L,即tan[3=——-——,

33tana

所以tana+2tan(cr+尸)+3tan/?

入tana+tan£C

=tana+2--------------------F3tan/?

1-tancrtanf3

1

tana-\----------1

=tana+2-----------叫人+3」

l-tan«—3tana

3tana

/2

=4tana+-------,

tana

2I2

当tana>0时，4tanad-------->2.4tana---------=4后，

tanaytana

答案第8页，共23页

当且仅当41血々=°一,即tanc=变等号成立；

tana2

当tana<0时，(-4tana)+[----->2^(-4tan6/)-^------)=4夜，

BP4tan«+^-<-4>/2,当且仅当-4tanc=-一—,即tana=-也时的等号成立，

tanatana2

综上，4tanad——-—G^-oo,-4A/2Ju|^4A/2,+ooj,即

tana+2tan(cr+分)+3tan/7eoo,—40忘,+ooj,

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：灵活变换，利用2a=3+,)+(a_0,2'=3+0_(a_0,两角

和与差公式化简已知的等式是解本题的关键.

13.4

【分析】根据奇函数、偶函数的性质求出"2)=1及f(尤-2)+/•(尤+2)=2,赋值即可得解.

【详解】因为/(x+2)-1为奇函数，所以解(0+2)-1=0,即/⑵=1,

因为当xe[2,4]时，f^x)=a-\og2x+b,

所以f(2)=a+"l,

由〃x+2)T为奇函数，可得/(-x+2)-1+/(尤+2)-1=0,

即/(一尤+2)+/(尤+2)=2,

又F3为偶函数,所以f(x-2)+f(x+2)=2,

令x=2,可得f(0)+/(4)=2,

令x=4,可得〃2)+〃6)=2,

两式相加可得，/(2)+/(4)+/(0)+/(6)=4,

由〃0)+〃6)=4,可得/(2)+/(4)=0,

由"2)=1,可得/(4)=—1,即2。+6=-1,

[a+b=l

联立《可得〃=-2/=3,故a+2Z?=4.

[2a+b=-l

故答案为：4

答案第9页，共23页

【分析】设直线/方程y=M*+c)，然后与椭圆联立，再利用根与系数关系求出弦长|AB|,

再结合题中几何关系得到以上为中间元的关于c的等式，化简从而求解.

【详解】由题意得兄(-c,0),8(c,0),设直线/的方程为y=%(x+c),B(x2,y2),

22222222

联立方程f2得（匕2+jx+2«A:CX+aA:c-ab=0,

口十万=1

由根与系数关系得%+%=-之繇a2k2c2-a2b2

b2+a2k2

所以弦长

2/（1+左2）9

吐Ea=E厝存1-42二萨b2+a2k25a

①，

EF

tanZEFF=2

由题意知，设直线/与尸乙的交点为E,如图，所以在Rt环耳中,x2函

又由椭圆定义知|「置+|尸阊=2a,因为直线/是尸后的中垂线,

所以1M|=|耳阊=2c,|尸q=2|%|=2（a-c）,

,/J7Z7Z7a-C,

所以2小=环=性”蛾=5

联立①②得5/+1302-18a=0，所以13e2-18e+5=0,解得e=2或e=l（舍）.

故答案为：—.

【点睛】方法点睛：通过直线与椭圆联立及结合弦长公式求出关于左的表达式，再结合题中

答案第10页，共23页

的几何条件从而建立以上为中间元的关于a，。的等式，从而求解.

15.2

【分析】先利用两个函数对称求出解析式，再利用导数求函数的切线方程，利用基本不等式

可求答案.

【详解】因为函数g(x)的图象与函数=的图象关于原点对称，

所以g(%)=-/(-X)=—「-X,所以I-g(fl)|=e0+,

(x)=e*-1,g，(x)=e-工-1,—(a)=e"Tg'㈤=T,

所以直线4：y-(efl-a)=(efl-l)(x-a),即y=(e"-l)x+(l-a)e"；

直线A：y+(e-"+")=(己"即y=(e-a-l)x-(l+a)e-a.

—+(〃+l)e

得天=

Q0+Q-a

所以点C到x=<7(<7H0)的距离为d=工~—

i,、4ae+e

设,ABC的面积为S,则5=上/+尸+e~-----L

2、7ea-e-fl2|ea-e^

令f=e"—e',则(e"+片。y=(e"-e"7+4=〃+4,

闻42月=2,当且仅当MJ,M=2

即卜。--卜2时，取到等号.

故答案为：2

(r

16.12j

【分析】设"=尤2-6%+13=(无一3)2+424,v=x2-8x+17=(x-4)2+1>1,将不等式恒成

立问题转化成""2),构造/3=("+”2)-,根据单调性求最值.

4«vv7

L」min4uv

【详解】^M=X2-6X+13=(X-3)2+4>4,

v=x2—Sx+17=(X-4)2+1>1,

贝Uf—7x+14=g(〃+u—2),

答案第11页，共23页

贝1|(犬-7天+14丫N根(d-6x+13)(x2-8尤+17)恒成立可化为:("+V-2)22相av恒成立,

Hn(〃+-2丫后出一,,,("+"2)2

即机＜---------恒成工，故机(---------

—4uv

L4MV」mm

入2色-5+,-2)2」-("一2『+2_

设“v)=

4wv4uv4wv7

易知/(v)在2时递减，在v>a-2时递增，

所以y3L,=〃“一2)=巴r=1一■|=g(〃)，

而g(")显然在»>4时单调递增，所以g3mm=g(4)=；,

1f〃=4

故〃?4；,当且仅当c时，即x=3时，等号成立，

2[v=2

所以实数机的取值范围为(-哈；.

【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法求

最值.

17.⑴证明见解析，S„=-^-

2n—l

(2)3

【分析】(1)根据《，S“的关系可得为等差数列，即可利用等差数列的通项求解,

(2)根据分组求和以及裂项求和化简北，即可由数列的单调性求解最值求解.

【详解】(1)当“22时，数列｛。“｝的前”项和为九满足

即染=(S"一S1-一，=野一;5.一S“S,T+1S,-,

整理可得2s.si=S.「S“

S1=l,贝1]2邑S]=S|-S2，ip2S2=l-S2,可得S2=g

211

由2邑S3=Sz-S3,即§S3=rM，可得$3=?，…，

以此类推可知,对任意的〃WN*,S“>O,

答案第12页，共23页

1=2

在等式2S“S,T=S,I-用两边同时除以工工-可得不一£

为等差数列，且其首项为g=l,公差为2

所以数列

^-=l+2（«-l）

1

⑵b

n=2〃+12〃+1

n111，+斗一1

=­I—1_1+...+

48M+352n-l2〃+148(2/t+l

3及1

不等式(工用2-3加+〃对所有的恒成立，一"—+~1—-工病-3小对所有的

4o2n+l

weN*恒成立,

记〜我1」

,则

2H+1

—平+g1-1311

——n+—i__L-3+<0

2n+3482n+l4（2n+l）（2n+3）

2

所以a+1-匕＜。，故当〃=1时，匕取最大值

2

因止匕加2—3m+—>0,

3

、9+屈^9-757

BnPm>----------或根<-------

66

因此，满足条件的正整数机的最小值为3

18.(1)证明见解析

⑵小66-9

【分析】(1)由题意结合面积公式计算即可得；

(2)设=结合题意由正弦定理可将.ABC面积表示出来，设出函数，结合导数得

到该函数单调性可得该函数的最大值，即可得，A6C面积的最大值.

711ITJT

【详解】(1)由N3AC=—,N5AD=—ZDAC,知N3AO=—,NDAC=—，

2263

IJT17T1

S=S+S=—ABADsin—+—AOACsin—=—ABAC,

ADRCCADRLn)ACLnf与/CCC

2o232

结合题设，即AO+Ji4D-AC=2AC,

答案第13页，共23页

21r-

两边同除以AZ),AC,M-rr———;-；

ADAC

(2)设NA4D=c,则ZZMC=2cr,

△ABD中，由正弦定理，得.」?~二巫①,

smZBDAsin。

ACDC

ACD中，由正弦定理，得

sinZCDAsin2a

②：①，结合sinZBDA=sinNCDA,OC=45r),得AC=------,

cosa

014n4〃•csin3a3sina—4sii?。_..

S=—AB•AC-sin3a=-------=--------------------=3tancr-4tancr•sm2a

AABC2cos。cosa

日n3tancr(sin2cr+cos2cr)-4tancr-sin2cr

即SA”=3tana-4tane•sin2a=-----------------------------------------------

ADCsi-n2cr+cos2a

_tana(-tan2a+3)_3130&1祈3a

tan2cr+1tan2cr+1

设tana=/e（0,⑹,即求函数/⑺=占。e仅,⑹的最大值,

（3—3产）（1+产1（3一产）2/（24一3-产）（2省+3+»）

广⑺=

产e（0,2必3）时,（（/）＞0,函数单调递增,

〃€（2百-3,3）时，/'。）＜0,函数单调递减,

当/=2括-3时，函数有最大值,

此时4）=向可雷个旬=底小e仅，⑹,

ABC面积的最大值为76-73-9•

n-1

19•⑴匕=沁

Zo

Q

（2）分布列见解析，三

【分析】（1）记蚂蚁爬行”次在底面43。9的概率为月，则它前一步只有两种情况：在下底

面或在上底面，找到关系构造等比数列可得答案.

（2）结合题意易知X=0,1,2,求出对应得概率,列出分布列，计算期望即可.

答案第14页，共23页

【详解】(1)记蚂蚁爬行〃次在底面ABCQ的概率为4,则它前一步只有两种情况：在下底

面或在上底面,

21?

结合题意易得，片只+”-勺),

1，［匕-是等比数列，首项为1:，公比为-21,

Pn+l~2

2，6633

n—1In—1

(2)结合题意易得：X=0,1,2,

当X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在C处,

221111i

P（X=2）=、〃一+二-x4—X—+—X—+—X—

663636636336666

当X=1时，蚂蚁第3次在C处或第5次在C处,

设蚂蚁第3次在C处的概率为P,,

212cl12cl1515211

片=—x—x2x—|—x—x2x—|—x—x2x—X—X——I——X——I——X—

663636636666633ii'

设蚂蚁第5次在C处的概率为P2,

设蚂蚁不过点C且第3次在2的概率为P3,设蚂蚁不过点C且第3次在B,的概率为4，

设蚂蚁不过点C且第3次在A的概率为P,,由对称性知，月=乙,

n111/212。13.n121-22211

P&——x_x_x4H—x-x-x3二—,3^A二—x—x—x6+—x—x—=—,

366636354563633327

17117

得已=2Rx—x—x2+Qx—x—x2=—

21236356654

...P（X=1）=4+2=2,

41

尸（X=0）=l—尸（X=l）—尸（X=2）=互

Q

X的数学期望E（X）=0XP（X=0）+1XP（X=1）+2XP（X=2）=3：

20.(1)证明见解析

答案第15页，共23页

⑵迪

【分析】(1)过点E作AM的平行线交AD于点尸，过点N作的平行线交AC于点G,

连接FG,即可证明四边形E/GN是平行四边形，从而得到NE//FG,即可得证；

(2)解法1,以点A为原点，A民AC所在的直线为x轴、y轴，过点A垂直于平面A3C的

直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法2,过点8作直线MN的

垂线交于点/,交直线CM于点再过点目作AC的垂线交于点。，连接。0,即可证明

/D0H是二面角。-AC-3的平面角，最后利用平面几何的知识解得即可.

【详解】(1)过点£作4欣的平行线交AD于点尸，过点N作的平行线交AC于点G,

连接FG.

因为点E是线段DM的中点，BN=3NC,

所以且所=’43,GN//AB^.GN=-AB,又M为A8的中点，

24

:.EF=NG=-AM,且砂〃NG,四边形跳GN是平行四边形.

2

所以NE/IFG,NEU平面D4C,FGu平面D4C,

.•.NE〃平面D4c.

(2)解法1：以点A为原点，AB,AC所在的直线为x轴、y轴，过点A垂直于平面ABC的

直线为z轴，建立空间直角坐标系.

答案第16页，共23页

设AB=AC=2,则A（0,0,0）,M（1,0,0）,N[K（）J,设D（x,y,z）,

因为平面DMC，平面ABC,所以点。在平面ABC上的射影落在直线CM上,

=1Q）,

2

由题意可知，DM=1,DN=^V2,/.（x-1）2+y2+z2=1@,

8

7

2822vH

由①②③解得＜

77757

8162而

7

设平面ACD的法向量为n=（x,y,z）,

4x-y+\/TTz=0

取x=VH,y=0,z=—4,则〃=（而,0,-4）,

CDn=04x-8y+y/l1z=0

取平面ABC的法向量根=（0,0,1）.

设二面角D-AC-3的平面角为。，显然二面角O-AC-3为锐角,

,.\m-n\4\/3

贝UcosO=|cosm,n|=-pp-p=------,

即二面角AC-3的余弦值为华.

解法2：如图，过点B作直线的垂线交于点/,交直线CM于点H.

由题意知，点。在底面A3C上的射影在直线3/上且在直线MC上，

所以点H即点。在底面上的射影，即DHL平面