2023-2024学年云南省开远一中高一下数学期末学业质量监测试题含解析

2023-2024学年云南省开远一中高一下数学期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度米，拱高米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度大约是（）A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米2．已知是的边上的中点，若向量，，则向量等于（）A． B． C． D．3．设函数,，其中,.若，且的最小正周期大于，则（）A．, B．,C．, D．,4．已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（）A． B．C． D．6．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（）A．， B．，C．， D．，8．设直线l1：3x+2ay-5=0，l2：3a-1x-ay-2=0，若l1与A．-16 B．0或9．过曲线的左焦点且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得,则双曲线离心率e的最小值为（）A． B． C． D．10．过点作抛物线的两条切线，切点为，则的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，且，则的最小值为_______.12．若数列满足，且，则___________.13．若复数z满足z⋅2i=z2+1（其中i14．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.15．已知求______________.16．某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛，现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如下的表格：甲乙丙平均数250240240方差151520根据表中数据，该中学应选__________参加比赛．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.18．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?19．2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．20．已知数列满足：，，数列满足.（1）若数列的前项和为，求的值；（2）求的值.21．已知，且（1）当时，解不等式；（2）在恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将代入圆的方程，可求出支柱的高度【详解】由图以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，，，则圆拱所在圆的方程为，，解得，，圆的方程为，将代入圆的方程，得.故选：A【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.2、C【解析】

根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，，解出向量．【详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解析】

根据周期以及最值点和平衡位置点先分析的值，然后带入最值点计算的值.【详解】因为，，所以，则，所以，即，故；则，代入可得：且，所以.故选B.【点睛】（1）三角函数图象上，最值点和平衡位置的点之间相差奇数个四分之一周期的长度；（2）计算的值时，注意选用最值点或者非特殊位置点，不要选用平衡位置点（容易多解）.4、C【解析】

首先分析题目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整数n．故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到，然后根据数列bn=an﹣1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3an+1+an=4变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整数n=7故选C．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．5、C【解析】

根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.【详解】函数的值域为即，图象在同一周期内过两点故答案选C【点睛】本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.6、D【解析】

利用基本不等式求得的最小值，根据不等式存在性问题，解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】由于，而不等式有解，所以，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查不等式存在性问题的求解，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.7、C【解析】

直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；对于B：由，，得不成立，所以B不正确；对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；对于D：由，，得，∴不成立，所以D不正确；故选：C．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．8、B【解析】

通过两条直线平行的关系，可建立关于a的方程，解方程求得结果。【详解】l1//解得：a=0或-本题正确选项：B【点睛】本题考察直线位置关系问题。关键是通过两直线平行，得到：A19、C【解析】

设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．【详解】设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c，），B（﹣c，），∵△ABC为直角三角形，依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∴∠AOF1≥45°，∴tan∠AOF11，整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，解得：e．即双曲线离心率e的最小值为：．故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF1≥45°是突破口，属于中档题．10、B【解析】设抛物线过点的切线方程为，即，将点代入可得，同理都满足方程，即为直线的方程为，与抛物线联立，可得，点到直线的距离，则的面积为，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及弦长公式与点到直线距离公式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将变换为，展开利用均值不等式得到答案.【详解】若，且，则时等号成立.故答案为【点睛】本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.12、【解析】

对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.13、1【解析】设z=a+bi,a,b∈R，则由z⋅2则-2b=a2+b2+12a=014、【解析】

根据等比通项公式即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题15、23【解析】

直接利用数量积的坐标表示求解.【详解】由题得.故答案为23【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、乙；【解析】

一个看均值，要均值小，成绩好；一个看方差，要方差小，成绩稳定．【详解】乙的均值比甲小，与丙相同，乙的方差与甲相同，但比丙小，即乙成绩好，又稳定，应选乙、故答案为乙．【点睛】本题考查用样本的数据特征来解决实际问题．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的稳定），这样比较易得结论．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）将已知条件凑配成，由此证得数列为等差数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，进而求得的表达式，利用分组求和法求得.【详解】（1）证明：∵∴又∵∴所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，，所以.所以【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.18、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【解析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式求和(2)是数列的前项和，是数列的前项和减去600，利用等差数列和等比数列的前项和公式求出即可(3)作差，利用函数的单调性，即可得出结论【详解】(1)由题意得是等差数列，所以由题意得所以所以是首项为250，公比为的等比数列所以所以(2)是数列的前项和所以是数列的前项和减去600，所以(3)易得此函数当时单调递增且时时所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【点睛】本题考查的是数列的综合知识，包含通项公式的求法、前n项和的求法及数列的单调性.19、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列举出从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件，再列举其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件，最后计算即可．（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意计算该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率．【详解】解：（1）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个．其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概率为．（2）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为5a．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：．故此方案符合国家“保基本”政策．【点睛】本题考查了古典概型在实际生活中的应用，要紧扣题意从题目中抽象出数学计算的模型．20、(1)；(2).【解析】

(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；

(2)由题出现,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.【详解】(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的