2024届浙江省杭州市富阳区中考数学最后一模试卷含解析

2024届浙江省杭州市富阳区中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.；的负倒数是（）

11

A.-B.--C.3D.-3

33

2.下列说法不正确的是（）

A.选举中，人们通常最关心的数据是众数

B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大

C.甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4,S乙2=0工，则甲的射击成绩

较稳定

D.数据3,5,4,1,-2的中位数是4

3.如图，在数轴上有点O,A,B,C对应的数分别是0,a,b,c,AO=2,OB=1,BC=2,则下列结论正确的是

（）

AOBC

r~~n_

A.|«|=|c|B.ab>0C.a+c=lD.b—a=l

4.如图，。为直线A3上一点，OE平分N50C,ODLOE于点O,若/8。。=80。，则NAO。的度数是（）

A.70°B.50°C.40°D.35°

5.下列运算正确的是（）

A.（a2）3=a5B.（a-b）2=a2-b23亚一亚=3D.V^27=-3

6.在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系.当存款准备金率为7.5%时,

某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（）

A.20B.25C.30D.35

7.如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上.若AB=6,AD=9,则五边形ABMND

的周长为（）

A

,4E/\D

----'--*----、

•、♦

；N

»J

«••

_______•>._J______

RVC

A.28B.26C.25D.22

8.一小组8位同学一分钟跳绳的次数如下：150,176,168,183,172,164,168,185,则这组数据的中位数为（）

A.172B.171C.170D.168

9.如图，已知。是ABC中的边5c上的一点，ZBAD=/C,NA5C的平分线交边AC于石，交AD于尸，那

么下列结论中错误的是（）

BDC

A.△BAC^ABDAB.ABFA^ABEC

C.△BDF^ABECD.△BDF^>ABAE

10.某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186cm的

队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）

A.平均数变小，方差变小B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小D.平均数变大，方差变大

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任

取一张，那么取到字母b的概率是.

12.有一个正六面体，六个面上分别写有1〜6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3

的倍数的概率是.

13.如图，直线Ux轴于点P,且与反比例函数yi=&（x>0）及y2=4（x>0）的图象分别交于点A,B,连接OA,

OB,已知AOAB的面积为2,则ki-k2=.

14.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩

形ABCD的边CD上，连接CE,则CE的长是

15.因式分解：a2-a=.

16.2018年1月4日在萍乡市第十五届人民代表大会第三次会议报告指出，去年我市城镇居民人均可支配收入33080

元，33080用科学记数法可表示为_.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天,

现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

18.(8分)如图，在nABCD中，NBAC=90。，对角线AC,BD相交于点P,以AB为直径的。O分别交BC,BD于

点E,Q,连接EP并延长交AD于点F.

(1)求证：EF是。O的切线；

(2)求证：EF2=4BP«QP.

7

19.(8分)如图，对称轴为直线x=—的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

2

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边

形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（8分）如图，已知点C是/AOB的边OB上的一点,

求作。P,使它经过O、C两点，且圆心在NAOB的平分线上.

21.（8分）如图，已知点4、。在直线/上，且40=6,0。，/于。点，且。。=6,以0。为直径在0。的左侧

作半圆E,于A,且NC4O=60°.

若半圆E上有一点尸，则AR的最大值

为；向右沿直线/平移NB4C得到NBA'。；

①如图，若4。截半圆E的G”的长为力，求NA'GO的度数;

②当半圆E与的边相切时，求平移距离.

22.（10分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志愿者的支援，每天比原计

划多种25%,结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树?

23.（12分）如图，矩形ABCD中，E是AO的中点，延长CE,5A交于点尸，连接AC,DF.求证：四边形ACD尸

是平行四边形；当CF平分时，写出与CD的数量关系，并说明理由.

BC

24.如图，在RtAA3c中，NC=90。，以BC为直径的。。交A3于点O,DE交AC于点E,且NA=NAOE.求证:

OE是。。的切线；若AZ>=16,DE=10,求5c的长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1,2x1=l.再求出2的相反数即可解答.

【详解】

根据倒数的定义得：2X』=L

3

因此」的负倒数是-2.

3

故选D.

【点睛】

本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的概念.

2、D

【解析】

试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；

B、从1,2,3,4,5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选

项的说法正确；

C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.%S乙2=0.6,则甲的射击成绩

较稳定，所以C选项的说法正确；

D、数据3,5,4,1,-2由小到大排列为-2,1,3,4,5,所以中位数是3,所以D选项的说法错误.

故选D.

考点：随机事件发生的可能性(概率)的计算方法

3、C

【解析】

根据AO=2,OB=1,BC=2,可得a=-2,b=l,c=3,进行判断即可解答.

【详解】

解：；AO=2,OB=1,BC=2,

/.a=—2,b=l,c=3,

|a|^|c|,ab<0,a+c=l,b—a=l—2)=3,

故选：C.

【点睛】

此题考查有理数的大小比较以及绝对值，解题的关键结合数轴求解.

4、B

【解析】

分析：由OE是NBOC的平分线得NCOE=40。，由OD^OE得NDOC=50。，从而可求出NAOD的度数.

详解：•••()£是/BOC的平分线，NBOC=80。，

11

:.ZCOE=-ZBOC=-x80°=40°，

22

VOD±OE

...NDOE=90°,

，ZDOC=ZDOE-ZCOE=90°-40°=50°,

.,.ZAOD=180°-ZBOC-ZDOC==180o-80o-50o=50°.

故选B.

点睛：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.性

质：若OC是NAOB的平分线则/AOC=NBOC=』ZAOB或/AOB=2/AOC=2/BOC.

2

5、D

【解析】

试题分析：A、原式=a6,错误；B、原式=a2-2ab+b2,错误；C、原式不能合并，错误；

D、原式=-3,正确，故选D

考点：完全平方公式；合并同类项；同底数塞的乘法；平方差公式.

6、B

【解析】

设可贷款总量为y,存款准备金率为x,比例常数为k,则由题意可得：

y=-,左=400x7.5%=30,

X

--30

•*y——，

X

30

・••当x=8%时，y=—=375（亿），

8%

7400-375=25,

.•.该行可贷款总量减少了25亿.

故选B.

7、A

【解析】

如图，运用矩形的性质首先证明CN=3,ZC=90°；运用翻折变换的性质证明BM=MN（设为入），运用勾股定理列出

关于人的方程，求出3即可解决问题.

【详解】

如图，

F

2\D

----------1-----------、--

\\

•«JJ

_______»___J____

RkfC

由题意得：BM=MN（设为入），CN=DN=3；

•.•四边形ABCD为矩形，

；.BC=AD=9,ZC=90°,MC=9-k；

由勾股定理得：12=（9-Z）2+32,

解得：入=5,

，五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28,

故选A.

【点睛】

该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变

换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答.

8、C

【解析】

先把所给数据从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可.

【详解】

从小到大排列：

150,164,168,168,,172,176,183,185,

二中位数为：(168+172)4-2=170.

故选C.

【点睛】

本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位

数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.

9、C

【解析】

根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.

【详解】

；/BAD=NC,

NB=NB,

/.ABACABDA.故A正确.

•/BE平分NABC,

.\ZABE=ZCBE,

.,.△BFA^ABEC.故B正确.

:.ZBFA=ZBEC,

NBFD=NBEA,

/.△BDF^ABAE.故D正确.

而不能证明ABDFs/iBEC,故C错误.

故选C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.

10、A

【解析】

分析：根据平均数的计算公式进行计算即可，根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答

案.

_180+184+188+190+192+194

详解：换人前6名队员身高的平均数为Y=-----------------=-1-8-8-,---------

方差为82=-[(180-188)2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(192-188)2+(194-188)2%—；

6LJ3

180+184+188+190+186+194

换人后6名队员身高的平均数为%==187,

6

方差为s2=-1Fr(180-187)2+(184-187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-187)2+(194-187)2%—

6LL」3

6859

V188>187,—>—,

33

平均数变小，方差变小,

故选：A.

_1-

点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n个数据，XI,X2,…Xn的平均数为了,则方差S2=—［（XI-%）2+

n

（X2;）2+…+（Xn-x）叽它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

2

11、—

11

【解析】

分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率.

2

详解：•••英文单词”。如瓦〃。中，一共有11个字母，其中字母b有2个，.•.任取一张，那么取到字母b的概率为百.

2

故答案为百.

点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

12、二

【解析】

•.•投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、

4、6共4种情况,

...其概率是■!=4.

63

【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=旦

n

13、2

【解析】

试题分析：反比例函数（X>1）及%=与（X>1）的图象均在第一象限内,

XX

Akx>1,左2>L

•AP_Lx轴，・・SAOAP=-k、,SAOBP=—k,,

2122

••SAOAB=SAOAP-SAOBP=~-k?)=2,

解得:K-k2=2.

故答案为2.

14、巫

5

【解析】

解：连接AG,由旋转变换的性质可知，ZABG=ZCBE,BA=BG=5,BC=BE,由勾股定理得，CG=^BG2-BC2=4>

：.DG=DC-CG=1,贝！IAG=7AD2+DG2=A/10，

BABG

V=——，ZABG=ZCBE,

BCBE

.♦.△ABGsACBE,

.CEBC3

"AG-AB_5,

解得，CE=^2,

5

故答案为巫.

5

【点睛】

本题考查的是旋转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关

键.

15、a(a-1)

【解析】

直接提取公因式a,进而分解因式得出答案

【详解】

a2-a=a(a-1).

故答案为a(a-1).

【点睛】

此题考查公因式，难度不大

16、3.308x1.

【解析】

正确用科学计数法表示即可.

【详解】

解：33080=3.308x1

【点睛】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了

多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数；当原数的绝对值小于1时,n是负数.

三、解答题(共8题，共72分)

17、15天

【解析】

试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需(x-1)天，乙工程队单独做需(x+6)天，根据题意可得

等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1,根据等量关系列出方程，解方程即可.

试题解析：设工程期限为X天.

x4

根据题意得，--+—=1

x+6x-1

解得：x=15.

经检验x=15是原分式方程的解.

答：工程期限为15天.

18、(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)连接OE,AE,由AB是。。的直径，得到NAEB=NAEC=90。，根据四边形ABCD是平行四边形，

得到PA=PC推出NOEP=NOAC=90。，根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)由AB是。O的直径，得到NAQB=90。根据相似三角形的性质得到RV=PB・PQ,根据全等三角形的性质得到

PF=PE,求得PA=PE=』EF,等量代换即可得到结论.

2

试题解析：(1)连接OE,AE,TAB是。O的直径，.•.NAEB=NAEC=90。，；四边形ABCD是平行四边形，，PA=PC,

/.PA=PC=PE,/.ZPAE=ZPEA,VOA^E,ZOAE=ZOEA,/.ZOEP=ZOAC=90°,；.EF是。O的切线；

PApo

(2)；AB是。O的直径，/.ZAQB=90°,/.AArQ^ABPA,:.—=—,APA2=PB«PQ,在△AFP与△CEP

BPPA

中，VZPAF=ZPCE,ZAPF=ZCPE,PA=PC,/.AAFP^ACEP,.\PF=PE,/.PA=PE=-EF,/.£F2=4BP»QP.

考点：切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质.

97257

19、(1)抛物线解析式为y=—(x——)2——,顶点为；(2)S=—4(x-一y+25,1<%<1；(3)①四边形OE3

3262

是菱形；②不存在，理由见解析

【解析】

(1)已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可.

(2)平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标,

那么E点纵坐标的绝对值即为4OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而

可得出S与x的函数关系式.

(3)①将S=24代入S,x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE,OA的长；如果平行四边形OEAF

是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形.

②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为(3,-3)将其代入抛物

线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点.

【详解】

77

(1)由抛物线的对称轴是x=5,可设解析式为y=a(x-»了+跣

把A、B两点坐标代入上式，得

7

(6——)924+左=0,cy

,2…始2,25

{解之，得a=3,k=——.

(0-^)2a+k=4.36

故抛物线解析式为丁=彳7口-7=)2—?-5，顶点为(7£_?一5).

32626

(2)•.•点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

/.y<0,Bp-y>0,-y表示点E到OA的距离.

；OA是,OE4E的对角线，

17

2

S=2S0As=2x—xOA-|y|=—6y=—4(x——)+25.

因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)的(1,0),所以，自变量x的

取值范围是IVXVI.

7

(3)①根据题意，当S=24时，即—4(x—5>+25=24.

71

化简，得(x—彳)2=:.解之，得石=3,々=4.

故所求的点E有两个，分别为Ei(3,-4),E2(4,-4).

点Ei(3,-4)满足OE=AE,所以OEAF是菱形；

点E2(4,—4)不满足OE=AE,所以ORW不是菱形.

②当OALEF,且OA=EF时，OEAF是正方形，

此时点E的坐标只能是(3,-3).

而坐标为(3,—3)的点不在抛物线上，

故不存在这样的点E,使OE4E为正方形.

20、答案见解析

【解析】

首先作出NAOB的角平分线，再作出OC的垂直平分线，两线的交点就是圆心P,再以P为圆心，PC长为半径画圆

即可.

【详解】

解：如图所示:

【点睛】

本题考查基本作图，掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键..

21、(1)6立；(2)①75。；©3A/3

【解析】

(1)由图可知当点F与点。重合时，AF最大，根据勾股定理即可求出此时A尸的长；

(2)①连接EG、EH.根据GH的长为万可求得NGEH=60。，可得△GEH是等边三角形，根据等边三角形的三个角

都等于60。得出NHGE=60。，可得EG//4O,求得NGEO=90。，得出△GEO是等腰直角三角形，求得/EGO=45。，根

据平角的定义即可求出N4GO的度数；

②分。⑷与半圆相切和方⑷与半圆相切两种情况进行讨论，利用切线的性质、勾股定理、切斜长定理等知识进行解答

即可得出答案.

【详解】

解：

(1)当点厂与点。重合时，AF最大，

A尸量大=40=y/o^+OD1=60，

故答案为：6^/2;

(2)①连接EG、EH.

-ZGEH.

/GH=-------*乃*3=%,

180

NGEH=60°.

'：GE=GH,

:.AGEH是等边三角形,

:.ZHGE=ZEHG=60°.

■:NC'4O=60°=ZHGE,

：.EG//A'O,

；.NGEO+NEOA'=180。,

,：ZEOA'=90°,

：.NGEO=90。,

'：GE=EO,

；.NEGO=NEOG=45。,

AZA'GO=75°.

②当C'4切半圆E于。时，连接EQ,则NEQ4=90。.

VZEOA'=90°,

；・A'O切半圆E于。点，

：.ZEA'O^ZEA'Q^30°.

'：OE=3,

••.40=36，

.•.平移距离为AA，=6-3V3.

当3'A'切半圆E于N时，连接EN并延长/于P点，

VZOA'B'=150°,ZENA'=90°,ZEOA'=9Q0,

；.NPEO=30°,

"：OE=3,

:.EP=273,

'：EN=3,

ANP=2百-3,

'：ZNA'P=30°,

：.A'N=6-30

•:A'O=A'N=6-36，

•*.4A=33.

【点睛】

本题主要考查了弧长公式、勾股定理、切线的性质，作出过切点的半径构造出直角三角形是解决此题的关