2023苏教版新教材高中数学必修第二册同步练习-全书综合测评

全书综合测评

（全卷满分150分，考试用时•120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.若复数z满足（2-i）z=i2022,则5的虚部为（）

A.-iB.-C.-iD.-

5533

2.总体由编号为（）1,02,...,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机

数表第1行的第3列数字开始向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.15C.16D.19

3.下列说法中正确的是（）

A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台

B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

C.若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D.过直线外一点有无数条直线与该直线垂直

4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形ABCD',已知4O，=OE=1,*C=1,则四边形

ABC。的周长为（）

0‘B'/

A.8B.10C.12D.4+2V17

5.下列等式不正确的是（）

A.cos15°-sin15°=—

2

C.sin22°sin38°-cos22°sin520=工

l-cos30°V6-V2

6.已知是平面内互相垂直的单位向量，且〃=i+加k-3汁你则。与〃的夹角夕的余弦值为（）

A.—B.-C.—D.i

7.已知m.n为两条不同的直线,a/为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若tn//ua,则m//n

B.若=〃，则

C若m//p,n//£,且mua,〃ua,则a//

D.若。，则m//n

8.在四棱锥P-ABCD中/3〃。。/3_1_3（；平面PCOJ_平面A3c0/3=802,。=「。=8=4,则二面角P-

AD-C的正切值为（）

A.V6B.2V6C.2V3D.y

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知向量a=（l,2）力=（-2,2）,c=（4闱,则下列说法正确的是（）

A.a的相反向量是-4

B.若（〃+/?）_Lc,则k=-2

C.a在b上的投影向量为（一另）

D.若（a+b）〃c,贝Ik=l

10.下图是某省2015~2019年进出口情况统计图（进、出口额单位:亿元），下列描述正确的是（）

口出口额口进口额-…出口增速一进口增速

A.2015年出口额最少B.出口总额比进口总额多

C.出口增速前四年逐年下降D.2019年进口增速最快

11.在448。中,角4,8,。所对的边分别是凡4°,下列说法正确的是（）

A.若acosA-bcos8,则4ABC一定是等腰三角形

B.若AB=2VX/8=45o,AC=3,则满足条件的三角形有且只有一个

（2.若4ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

D.若说•近＜0,则4ABC一定为钝角三角形

12.在棱长为2的正方体ABCD-AIBIG。中,M为棱BBi的中点，下列说法正确的是（）

A.直线AC与直线所成的角为

B.直线AC与直线B»所成的角为］

C.若平面a过点"，且则平面a截正方体所得的截面图形的周长为3立

D.动点P在侧面BCG8及其边界上运动，且APLBG,则AP与平面BCG囱所成角的正切值的取值范

围是［1,夜］

三、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.一组数据244,6,10的平均数是5,则此组数据的方差为___.

14.设复数2=噌（其中i是虚数单位"GR）,若复数z在复平面内对应的点Z位于第三象限，则m的取值

范围是_____二：复数z的模的取值范围是_

15.在平行四边形ABCD中,垂足为尸,若而.元=6,则|而|=___.

16.如图，正方形ABCD的边长为10,以点A为顶点，引出放射角为押阴影部分区域，其中/E43=x,*W，

记的长度之和为兀r）,则兀r）的最大值为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设实部为正数的复数z,满足|z|=2通,且复数(l+2i)z为纯虚数.

⑴求复数z;

(2)若复数z是关于x的方程士+加叶/尸。。",〃^!^)的根,求实数小和〃的值.

(1)求cosa的值;

(2)求角夕.

19.(本小题满分12分)为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试.

根据测试成绩(总分100分)，将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其

频率直方图如图所示.

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次物理测试成绩的平均分;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(3)该校准备对本次物理测试成绩优异(将成绩从高到低排列,排在前13%的为优异)的学生进行嘉奖，则

受嘉奖的学生成绩不低于多少？

频率

组距

0.015

0.010

0.005

405060708090100成绩/分

20.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-A8C。中,P4J_底面A8CZ),底面A8CO为菱形，点尸为侧棱PC1.

一点.

(1)若求证:PA〃平面BDF-,

⑵若BE,PC,求证:平面BD尸，平面PBC.

21.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,8,C的对边分别是a也ABC的面积为S,且满足(2Rc)cos

A=acosC力cosC+ccosB=\.

(1)求A和。的大小；

(2)若4ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围.

22.(本小题满分12分出町殳aABC的内角A,B,C所对的边是&,瓦如4。为/A4c的平分线，已知

A8=l,而乏而+；近，缁•隽=：,点E/分别为边AB,AC上的动点(E,F均不与A重合)，线段EF交AD于

44\AB\\AC\2

点&且4的面积是4A8C面积的一半.

(1)求边BC的长度；

⑵当万•前=竺时，求△AG尸的面积.

28

RI)C

答案与解析

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1.B由题得(2-i)z=i2022=(i2)i(rn=_i,.；=m=H=1zi,

•♦•2=等，故2的虚部为最故选B.

2.D利用随机数表法，从第1行的第3列数字开始向右依次选取两个数字，则选出来的样本个体编号为

16,15,08,02,19,所以选出来的第5个个体的编号为19.故选D.

3.D

4.B易得4BH,画出原四边形A8CD如图，易知四边形A8C。为平行四边

形,AB=AO+OB=A'(T+OB=2QC=2O'C'=2a,BC=y/0B2+06:2=3,则四边形ABCD的周长为

2(48+80=10,故选B.

5.Ccos15°-sin15°=V2cos60°=—,A中等式正确;1+1=1：=tan45+：ani5；=tan60。=百®中等式正确;sin

21—tanl51—tan45tanl5

22°sin38°-cos22°-sin52°=sin22°cos52°-cos22°sin52°=sin(-30°)=-|,C中等式错

误；J1-COS3。-,sin215°=sin15。=在二立,D中等式正确.故选C.

N24

6.A不妨设7=(1,0)/=(0,1),则。=1+4=(1,2)力=-3i+4/=(-3,4),则|“|=再，团=5,则cos。=油篙=送『?，故选A-

7.D

8.A取CD的中点E,连接PE,作EFLAD于点F,连接PF,易得NPFE就是二面角P-AD-C的平面角，在

RtAPEF中，易得PE=2®EF=®

二tanZ尸产后="=翠=述，故选A.

EFV2

9.ACA显然正确，易得〃+%=(-1,4),若(〃+/?)_!_c,则・4+4D,解得R,B错误，若(〃+份〃c,则16+60,解得

Q16,故D错误在b上的投影向量为券乃=条2,2)=(-3》故C正确.

10.ABD观察题图中5个白色矩形可知,2()15~2019年中2015年出口额最少，故A正确；

观察题图可得,2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和

2018年出口额都明显高于进口额，故2015-2019年，出口总额比进口总额多，故B正确；

观察题图中虚线折线图可知,2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；

观察题图中实线折线图可知2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确.故选ABD.

11.BC若4cosA=bcos8,则sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

：.A=B或A+B=p.\AABC是等腰三角形或直角三角形,A错误；

•••2鱼＜3,.•.满足条件的三角形有且只有一个,B正确；

若448c不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tanC(tanAtanB-l)+tan

C=tan月tanBtanC,故C正确；

,.,AB-BC=|AB||BC|cos(7t-B)=-|^fi||BC|cosB<0,：.cosAOJB是锐角,△ABC也可能是锐角三角形，故D错

误.

12.BCD连接81cA8,易得故NBCA即为AC与AQ所成的角或其补角，易知△A8C为正

三角形，所以/5。4莒,故直线AC与直线4。所成的角为与故A错误;连接殴易得ACJ_平面

即直线AC与直线8。所成的角为;，故B正确;易得8。」平面A8C,因为aVBD\,

所以a〃平面ABC,取48的中点N,BC的中点Q,连接MQ,NQ,MN,易得平面MNQ〃平面ABC,则

△MNQ即为平面a截正方体所得的截面图形，易得。知=。心知2企，故△MNQ的周长为3企,C正确;易

知点P是线段3C上的动点,AP与平面BCCB所成角为/4P民tanNAPB=,=^^P是线段BC上的

DrDr

动点，得鱼学々2,二正确.

Dr

13.答案8

解析由2工4,6,10的平均数是5,可得A5'5-(2+4+6+10)=3,，此组数据的方差为/<[(2-5)2+(3-5)2+(4-

5)2+(6-5)2+(10-5)2]=8.

14.答案(-1,4);股,2)

俗列木j二.._7n-2i_(7n-2i)(l-2i)_m-42+2m.

Z--

用牛"•1+2i-(i+2i)(i-2i)5-51'

...复数Z在复平面内对应的点为Z("三,-亨)，

尸<0,

则有｛\m+2解得

0,

、5

|z|=|-4)2+(2+2*2=,々57712+20,

又-l</w<4,/.0<ni2<16,

...醇|z|<2,故复数z的模的取值范围为[卓,2).

15.答案V3

解析设AC与80交于点。,：9•前=29•而=6,.♦.而•同=3,由可知而在而上的投影向量

为Q,|而『=3,二|而|=8.

16.答案10V6

解析易得短就产号=嬴鼻;

20

cosz+A/Ssinx)

贝U3=工一一=竺"业苜1

Jcosxcosx+V3sinz2cos(2x-)+l，

K

令sin^x+则会[、6：V2,i],cos(2x—g)=cos[2-]

=-cos2（%+^=2sin2^x+^-l=2z2-l,

._40VIsin（s+（）_40藤_40VI

，2cos（2x-j）+l2（2t2-l）+l4t~*

当仁渔警时,ymax=10倔故段）max=10传

4

17.解析（1）设z=a+b\{a,b£R/z>0）,

则（1+2i）z=（l+2i）（a+0i）=a-2b+S+2a）i,

因为（1+2i）z为纯虚数，所以〃・2匕=08+2存0.（2分）

又|z|二2西，所以6Z2+Z?2=20,（3分）

，a—2b=0,

联立“z+i2：2。°；门得〃二4力=2,故z=4+2i.（5分）

a，+b"=20,

<a>0,

（2）因为z=4+2i是关于x的方程x2+/n^4-zz=0（/n,/?£R）的根，

所以（4+2。2+〃?（4+2。+〃=0,艮［112+4“+〃+（16+2m）i=0,（7分）

所以{氏廿°（8分）

解得小=-8,〃=20.（10分）

18.解析（1）因为ae（0（）,所以a?W（—热£），

又-V7s•i（®-吟3J—36__________

所以cos（a-%J1-siM（a一-第系（2分）

所以cosa=cos［（a-；）+外（4分）

=cos（a—泉cosg-sin（a—^jsin^=1.（6分）

（2）因为a/为锐角，所以0<a+夕5,则sin（«+/?）>0,

因为cos（a+式）=-*所以sin（a+4）=Jl-cos2（a+0）=等.（8分）

因为a为锐角,cosa=：,所以sina=Vl—cos2a=^.（9分）

故sinP=sin［（a+夕）-a］=sin（a+夕）cosa-cos（a+夕）sina=¥x*£x¥=与，（11分）

因为少为锐角，所以夕=今（12分）

19.解析（1）由（0.005+0.010+0.015x2+a+0.030）x10=1,

解得a=0.025.（3分）

⑵本次物理测试成绩的平均分约为45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71（分）.（6

分）

（3）设受嘉奖的学生成绩不低于x分，（7分）

因为成绩在区间［80,90）,［90,100］上对应的频率分别为0.15,0.1,（8分）

所以（90-x）x0.015+0.1=0.13,（10分）

解得k88.（11分）

故受嘉奖的学生成绩不低于88分.（12分）

20.证明⑴连接AC,交BD于点O,连接OF,

因为底面ABC。为菱形，

所以。为AC的中点，（2分）

又PF=FC,

所以PA//OF.（3分）

因为OFu平面平面BDF,

所以PA〃平面3OF.（5分）

（2）因为底面ABCD为菱形，所以BDLAC.

因为PA，平面A8CO,8Ou平面ABCD,

所以80,PA,（6分）

又ACnPA=A>AC,PAu平面PAC,

所以8。_L平面PAC,所以PC,（8分）

又BFSC,BDCBF=B,BD,BFu平面BDF,

所以PC,平面80F,（10分）

又PCu平面PBC,所以平面BDF_L平面PBC.（12分）

21.解析（1）因为（2/7-c）cosA=acosC,

所以由正弦定理可得（2sin8-sinC）cosA=sinAcosC,（1分）

所以2sinBcosA=sinCeosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sin（C+A）=sinB,

-1

易知sin3和,所以cosAg（2分）

因为AG。兀），所以A=g.（3分）

因为bcosC+ccosB=1,

所以由余弦定理可得b1,

正2a空b黑存2ac上

解得。=1.（5分）

（2）由⑴知A=pa=1,由正弦定理得，

7asinB2.八asinC2.—2./2nQ“八、

b-——=-n=sinB,c=—.-=-7=smC=-7=sin---B1.（6分）

sinAy/3'sin4y/3x/3\3）v7

因为△ABC为锐角三角形，

所以8G（0*）,C号-BG（0,»

所以姓渡）.（7分）

S=/csin4=/sinB-sin（手—B）=*inB-QsinB+与cosB）

=—（-sin2F4-—sinBcosB）=—f1-cos2/74--sin2F）

二噂gsin28—Icos2F）唔邛，山侬一加I，（1。分）

因为BGe9所以所汽涔）,

所以sin（2B-#&1],所以Se得片

故△ABC的面积的取值范围为（今耳（12分