2022-2023学年河南省南阳市南召县高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市南召县高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知角a的终边经过点P(—2,1),则sina=()

A.卒B.，TC.D.-2

2.若向量五—方=(3,—2)满足演_LB，贝肚=()

A.|B.2C.-|D.-2

3.若sin(a+$=£,则cos(a*)=()

A.一型B.竺IC.-i

333

4.半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()

A.黑兀&B.亨兀R3C.噂?TR3

5.在△28C中，sinC=sin^inB则小人吕。的形状为()

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

sinA.1mle

6.在AABC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,已知型组=—,cosA=--＞贝归=()

a

A-lB-lc4D,

7.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下

判断：

①ED与NF所成的角为60。

②CN〃平面4FB

©BM//DE

④平面BDE〃平面NCF

其中正确判断的序号是()

A.①③

B.②③

C.①②④

D.②③④

8.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形4BCD,点E在下底

面圆周上，且BC=2BE,点尸在母线2B上，点G是线段4C的靠近点4的

四等分点，则EF+FG的最小值为（）

A.江B.3C.4D.I

22

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知向量五=（s讥%cosa）,b=（1,2）,则下列命题正确的是（）

A.若0/B,则tcma=1

B.若419,则tcma=|

C.若/（仇）=a•后取得最大值时，则汝九仇=|

D.「一山的最大值为

10.若函数/（%）=位九2%的图象向右平移着个单位得到函数或乃的图象，那么下列说法正确

的是（）

A.函数g（x）的定义域为{%|%工k"+豆,kEZ}

B.函数g（x）在（一刍总单调递增

C.函数g。）图象的对称中心为佟+巳0）,kez

LO

D.函数g（%）<1的一个充分条件是*<x<l

11.在△ABC中，下列说法正确的是（）

A.若/>B,则sim4>sinB

B.存在△ABC满足cos4+cosB<0

C.若siziA<cosB,则△ABC为钝角三角形

D.若C>则sinC>sin2i4+sin2B

12.如图，在正方体ABCD—Z/iCiDi中，点P在线段BCi上运

动，则下列判断中正确的有（）

A.平面P/。1平面4C£)1

B.2P〃平面4CD1

C.异面直线4P与4D1所成角的取值范围是(0,刍

D.三棱锥2-2PC的体积不变

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知复数(血2一5m+6)+(Tn?-3m)i是纯虚数，则实数m=.

14.已知五=(2,7)1=(与-3),且R与3夹角为钝角，则》的取值范围___.

15.在正四棱柱48CD—2通道也中，E是81cl的中点，AB=2,AA、=C，则BE与平面

BE101。所成角的正弦值为一.

16.已知四棱锥P的底面4BCD是边长为2的正方形，侧面P2B，底面2BC。，且P2=

PB=4,则该四棱锥P—4BCD的外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知复数z=(m2+m—6)+(m2+m—2)i(meR)在复平面内所对应的点为4

(1)若点4在第二象限，求实数zn的取值范围；

(2)求|z|的最小值及此时实数Hl的值.

18.(本小题12.0分)

记AaBC的内角a,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(".+4"。)+二=『

z/+c2

(1)求角a的大小；

(2)若点。在边BC上，2。平分NB4C,AD=2,且b=2c,求a.

19.(本小题12.0分)

如图1,在梯形ABCD中，AD//BC,乙ABC=60°,AB=AD=2,BC=3,点E在线段BC上，

BE=2EC,将△ABE沿4E翻折至△PAE的位置，连接PD,点F为PD中点，连接CF,如图2.

(1)在线段4D上是否存在一点Q,使平面P4E〃平面FQC?若存在，请确定点Q的位置，若不

存在，请说明理由；

(2)当平面PAE_L平面4ECD时，求三棱锥P-4EF的体积.

20.(本小题12.0分)

锐角△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,满足：asinB=bcos(A—c=1.

(1)求4

(2)求AABC面积取值范围.

21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为正方形,侧面PAD是正三角形，侧面PAD，底面

ABCD,M是PD的中点.

(1)求证：平面PCD；

(2)求侧面PBC与底面4BCD所成二面角的余弦值.

22.(本小题12.0分)

已知方=(sincox,coseox),b=(cos3x,j^cos3x)，f(x)=a-(b->0).函数y=

/(%)的最小正周期为兀.

(1)求函数f(x)在［0,扪内的单调递增区间；

(〃)若关于久的不等式/Q―9>Cmsf+：)—/攵cos。-》在［0,自内恒成立，求实数m

的取值范围.

答案和解析

L【答案】A

【解析】解：因为角a的终边经过点P(—2,1),

1<5

所以ssa=L^=^.

J(-2)2+廿

故选：A.

由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.

本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.

2.【答案】D

【解析1解：a1

3t+(t-1)X(-2)=0,解得t=-2.

故选：D.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：若sin(a+，)=(,贝ljcos(a—勺=cos(a+[-勺=sin(a+，)=(,

。DD。乙OO

故选：D.

由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果.

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：2m■=nR,所以「=亨，则仁粤，所以y=家产八=舒兀R3

故选：A.

求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积.

本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力.

5.【答案】B

【解析】解：••・在A4BC中，sinC=四笔吗

cosA+cosB

c./+Bi4-B

2sin-^—cos-^—

sin(4+B)=焉力B，

2.COS-~COS-2~

.A+B

c.A-\-BZ+Bsin^—

•••2sm—cos-^—=-A+Bf

COS-2-

,*•2cos—-1=0,

・•.cos(i4+B)=0,

・•・A+B=*即C=*

••.△ABC是直角三角形.

故选：B.

利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确

定AABC的形状.

本题考查三角形形状的判断，三角函数公式的应用，属基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为空度sinA

~2b~

所以由正弦定理可得，小=铀2,

故a=2b,

b2+c2—a21c2—3b21c3b1

由余弦定理可得，cosA—J

2bc2bc2"b~2'~c4

解得t=?或t=—2(舍去).

故选：A.

根据正弦定理得到a=2b,再根据余弦定理得唠-I”V，设R3代入计算得到答案.

本题考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：把正方体的平面展开图还原成正方体42C。-EFMN,

在①中，•••NF〃BD,NEDB是ED与NF所成角（或所成角的补角），

・••△EDB是等边三角形，乙EDB=60°,

二ED与NF所成的角为60。，故①正确；

在②中，•••CN//EB,CNC平面4FB,EBu平面4FB,

・•・CN〃平面4FB,故②正确；

在③中，DE与4V相交，・•・BM与OE不平行，故③错误;

在④中，•••NF//BD,CF//DE,NFCCF=F,DECDB=D,

NF、FCu平面CNF,DE、DBu平面BDE,

平面BDE〃平面NCF,故④正确.

故选：C.

在①中，由NF〃BD,知NEDB是ED与NF所成角（或所成角的补角），由AEDB是等边三角形，得

ED与NF所成的角为60。；在②中，由CN〃EB,得CN〃平面4FB；在③中，由〃加V,DE与AN

相交，得BM与DE不平行；在④中，由NF〃BD,CF//DE,得平面BDE〃平面NCF.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论

证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.

8.【答案】A

【解析】解：将A4BE绕直线2B旋转到4BE',并且点E'在BC的反向延长

线上，连接E'G,R\>&、

交48于点F,此时EF+FG最小，如图所示：舜、'、'、'、

:二二A七

因为48=BC=2,所以NACB=J,E

又因为BC=2BE,所以BE=L

又因为AC=V~1AB=26,所以CG=^-AC=率，E'C=E'B+BC=3,

42

由余弦定理得，E'G2=E'C2+CG2-2E'C-CG-cos^ACB=9+|-2x3x当x?=，

解得E，G=亨，即EF+FG的最小值为亨.

故选：A.

将△ABE绕直线旋转到并且点E'在BC的反向延长线上，连接E'G,交48于点F,止匕时EF+

FG最小，求出即可.

本题考查了几何体中线段长度的最值问题，也考查了空间想象能力与计算能力，以及数形结合思

想，是中档题.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件，两角和的正弦公式，根据向量的坐标求

向量的长度的方法，考查了计算能力，属于中档题.

根据向量平行时的坐标关系即可判断命题4的正误；根据向量垂直的充要条件即可判断命题B的正

误；可得出/(a)=Csin(a+0),其中=2,从而可判断选项C的正误；可得出|五—1|=

yj6—2Qsina+2cosa)—J6—2A/-5sin(<z+y)>其中=从而可判断选项D的正误.

【解答】

解：•­•a=(sina,cosa),b=(1,2),

二若石〃3，则2s讥a-cosa=0,tana=2，即命题A正确；

若N_Lb，则方,b=sina+2cosa=0，,tana=—2,即命题2错误；

若/(a)=a-b=sina+2cosa=V-5sin(<z+0)，(其中tcm/?=2)取得最大值，

则取a+。=',二a=]-S，tana=即命题C正确；

a—b=(sina—1,cosa—2),\a-b\=J{sina—l)2+{cosa—2)2

=J6—2(sina+2cosa)=J6—2A/-5sin(cr+y)>其中tcmy=2,

sin(a+y)=-1时，,一山取得最大值J6+2，亏=，石+1，即命题。正确.

故选：ACD.

10.【答案】BD

【解析】解：•.•函数f(x)=tcm2x的图象向右平移着个单位，得到函数g(x)=tan(2x的图象,

由2x—^力上兀+^,求得x不空+驾kEZ,

3乙L12

可得f(%)的定义域为{x|x*y+§,/cGZ),故A错误；

当xe(一刍涂2%W3),

故函数/(%)单调递增，故3正确；

令2支-岸粤,求得久=1+9kez,

3L46

可得/(%)的图象的对称中心为(生+3,0),k£Z,故C错误；

由g(%)Wl,可得而《<2久一三连+而，可得手—看<%<?+(，

4J-Z1ZZZ4

••■g(%)<1成立的一个充分条件是看<%<：,故。正确，

故选：BD.

由题意利用函数y=4$出(3刀+0)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=4s讥(3X+R)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：4、由大角对大边可得若4>B,则a>b,

由正弦定理可得2Rs讥4>2RsinB,所以si7iA>sinB,故选项A正确；

B、由0<4<兀一B<?r,可得cosA>cos(兀—B)=—cosB,

恒有cosA+cosB>0,故选项B不正确；

C>若sin4<cosB,贝!]cos(5—4)<cosB,

在AABC中，A,B,Ce(0,7T),

TTTTT[

△ABC中，\<C<n,则△ABC为钝角三角形，故C选项正确；

D、由C冶，则4+8<今0<A<^-B<1，

于是sinA<sin(^-B),即0<sinA<cosB.

同理0<sinB<cosA.

此时s讥C=sin(X+B)=sinAcosB+cosAsinB>sinA-sinA+sinB-sinB=sin2X+sin2B,故

。选项正确.

故选：ACD.

由大角对大边可得若a>B,则a>b,进而利用正弦定理即可判断4；由余弦函数的单调性可判

断B；由条件可得sirM<sin(^-B),利用正弦函数的单调性可判断C；由4<B,则4B£(0,兀),

利用余弦函数的单调性即可判断。.

本题主要考查了大角对大边，正弦定理，余弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想的应用,

属于基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4易知名。1平面4CD1，平面PB/,从而平面PB1。1平面ACD〉A正

确；

对于B,易知平面B&Q〃平面AC%,&Pu平面B&Q,所以&P〃平面AC5,故B正确；

对于C,4P与A%所成角即为&P与BG的所成角，=BG=46，当P与线段BCi的两端点

重合时，&P与4/所成角取最小值(当P与线段BCi的中点重合时，&P与4%所成角取最大值*

故4止与所成角的范围是弓,刍，故C不正确；

对于D,由选项B得〃平面AC%,故3cl上任意一点到平面AC5的距离均相等，所以以P为

顶点，三角形AC/为底面，则三棱锥P-ACDi的体积不变，又/L4PC=Vp-AD1c>所以三棱锥外—

4PC的体积不变，故D正确.

故选：ABD.

利用项目垂直判断平面与平面垂直判断4;平面与平面平行的性质判断B；求出异面直线所成角的

范围判断C;几何体的体积判断以

本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的体积以及直线与平面的位置关系的应用，是中

档题.

13.【答案】2

2。时，即［爪=2或根=3

【解析】解：当m—5m+6=>m=2时复数z为纯虚数.

.m2—3m丰0(m力0且m丰3

故答案为：2.

当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0,

本题考查复数代数表示法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件.

14•【答案】｛小〈,且％3*｝

【解析】解：由题意知a与用勺夹角为钝角，

所以五•b=2%—21V0，

所以X(片,

又当a与另共线时，

有2=%

x—3

则X=_母

此时石=(―*—3)=-|(2,7)=-|a,

即日与另反向共线，

即d与狭角为钝角时，x的取值范围为侬无<与且久丰号｝,

故答案为：｛%|x<,且k#一号｝.

由平面向量数量积的运算，结合向量共线的坐标运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量共线的坐标运算，属基础题.

15.【答案】i

【解析】解：设底面4B1GD1的中心为。,则41cli

•­•BB]1平面&B1C1D1，&Ciu平面

•••1BB1,又BBiCBR=B],

ArC±_L平面BDD/i，•••0clJ_平面

取。Bi的中点H,连接EH,贝|EH〃OCi，

•••EH1平面BBiA。,

连接BH,则为BE与平面BBiDiD所成的角，

■-AB=2,AA1=C，

二EH==号,BE=J(A/-7)2+l2=2y/~2'sin乙HBE=瑞=；.

故答案为：

先利用线面垂直的判定定理证得OCi1平面BBiA。，进而得到直线BE与平面BBiA。所成角为

乙HBE,从而解直角三角形即可求得其正弦值.

本题考查线面垂直的判定定理，线面角的求解，解三角形，属中档题.

16.【答案】聘

【解析】解：如图分别作出正方形的中心。1，

三角形P2B的外心G,取48的中点E,连EG,EOr,

分别以EG,EOi为邻边作一个矩形如图，

其中点。就是该外接圆的圆心，

在RtA。。1。中。。2=R2=ool+01c2,可计算得R2=Z|,

即可求得外接圆的表面积为得,

故答案为：4F-

由题意球的底面外接圆的半径及圆心01，过圆心做垂直于底面的垂线。。1，求出三角形P48外接

圆的半径及圆心G,进而求出圆心到2B的距离GE,则GE〃00i再过G做面P4B的垂线交。。1于。，

则。为外接球的球心，连接CO。0C,在三角形。。道中求出外接球的半径，进而求出外接球的表

面积.

考查四棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题.

17.【答案】解：(1)复数z=(而+m-6)+(源+zn-2)i(meR)在复平面内所对应的点为2,

m2+m—6<0

则解得—3<TH<-2或1<THV2,

.m2+m-2>0

故实数机的取值范围为(一3,-2)U(1,2)；

(2)|z|2=(m2+m-6)2+(m2+m—2)2,令m2+m—2=t,tE[—^r,+8),

4

则|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,

所以当t=2,即爪=*工时，|z|有最小值2。.

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数模公式，以及二次函数的性质，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：（1）因为㈣普乎*=1,即口且±上+把）2+儿=炉+c2，

b+c2'2ac2ab7

化简可得小=b2+C2—be,

由余弦定理可得M=b2+c2—2bccosA,

所以2cos/=1ncosA=且/G（0,兀），

则a=p

（2）由⑴知a=l，由余弦定理可得cosa=必+。2-。2,

o2bc

将b=2c代入，化简可得a=V"有c,

又因为an平分ABAC,由角平分线定理可得*=黑，即:=萼今：=萼=⑶=2B。，且。=Cc,

iiC/C»LyDC（JLZ乙LJ

所以CD=亨c,BD=?c,

又因为“DB+^ADC=Ti,

贝IJCOSNAOB=—cosZ-ADC,

4+工。2-。24+，2_4c2__

结合余弦定理可得3仁=——Tk，解得C2=3,所以C=C，

2x2xc2x2x―-c

则a=V-3c=3.

【解析】⑴根据余弦定理化简即可得到角A的大小；

（2）由角平分线定理可得CD=2BD,由cos4WB=-cos乙4DC,结合余项定理化简即可求得结果.

本题考查三角形中的几何运算，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：（1）当Q是2D的中点时，平面P4E〃平面FQC,理由如下:

如图，连接FQ,CQ,

依题意得2D〃EC,且4。=2,EC=1,

贝MQ〃CE,AQ=CE,

所以四边形4ECQ是平行四边形,

则4E〃CQ,

又AEu平面PAE,CQC平面PAE,

所以CQ〃平面P4E,

因为Q，F分别为4。，P。的中点，

所以P4〃QF,

又24u平面PAE,QFC平面PAE,

所以QF〃平面P4E,

因为QF,CQu平面FQC,QFCCQ=Q,

所以平面P4E〃平面FQC,

(2)取4E的中点M,连接。M,

因为BE=2EC,BC=3,^ABC=60°,

则BE=2=AB,

所以△PAE为边长为2的等边三角形，

则SAPAE=5x2x2x=73,

因为AM=1,AD=2,^MAD=60°,

所以由余弦定理得MD=Jl+4-2xlx2x|=，百，

所以在AAMD中，MD2+AM2=AD2,

则1MD,

因为平面PAE1平面4ECD,平面PAEfl平面AECD=AE,MDu平面4ECD,

所以MO，平面P4E,

因为尸为PD的中点，

所以尸到平面P4E的距离八=^MD=

所以Vp-4EF=^F-PAE—3S"4E'=3XX=了

【解析】(1)利用线面平行与面面平行的判定定理证明即可；

(2)利用余弦定理与勾股定理证得4E1MD,进而利用线面垂直的判定定理证得MD，平面P4E,

从而得到尸到平面P4E的距离，再利用等体积法即可得解.

本题考查空间中线线，线面，面面间的平行关系，考查三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力和

运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为asinB=bcos(A一方,

所以由正弦定理得sinAsinB=sinBcos(A-

因为B£(0,兀)，sinB丰0,

所以siziA=cosM—7)=?cosA+《sinA，

6LL

化简得siziA=V"?cos/,

所以tcmA=，？，

因为AG(O,TT),

所以4=/

（2）由正弦定理七=白，得6=学,

sinCsinesine

Gsin@-C)

Ye1.人V-3V_3sinBV-3sin(7r—i4—C)

乂S—BC=ob7esinA=—b7=---—

以244sinC4sinC4sinC

、~~1

/3丁:。$<+/九<_£3户1k_31二,

4sinC4(2tanC2，8tanC8

因为锐角△ABC,

0<c

所以《，解得Ce

0<B=y-C%)

则tanCE(—,+oo),

所以se年,三）.

oZ

【解析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得s讥4=，百C0S4即位加4=，石，结合

角度范围即可得角4

（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角C的正切函数，根据锐角得角C的范围，即可求

得△ABC面积取值范围.

本题考查三角函数与解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】（1）证明：在正方形4BCD中，CD14D,

又侧面PAD_L底面4BCD,侧面PADC底面ABC。=AD,CDu平面

ABCD,

所以CD1平面24。，又AMu平面PAD,

所以CD1AM,

因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，贝耐MLPD,

又CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以4M1平面PCD；

(2)解：取a。，BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,

则EF=CD,EF//CD,所以EF1AD,

在正△「?!£)中，PE1AD,

因为EFCiPE=E,EF,PEu平面PEF,

则4。_L平面PEF,

在正方形2BCD中，ADIIBC,

故3cl平面PEF,

所以NPFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由CD1平面PAD,EF//CD,

则EF1平面PEF,又PEu平面P4D,

所以EF1PE,

设正方形2BCD的边长AD=2a,贝!]EF=2a,PE=y/~la,

所以PF=VPE2+EF2