2019-2020学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年四川省成都市武侯区八年级（下）期末数学试卷

一.选择题（共10小题）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.〃+3>b+3B.3a>3bC.-a<-bD.-A>-巨

22

3.多项式2〃?+4与多项式渥+4%+4的公因式是（）

A.777+2B.m-2C.〃?+4D./n-4

4.将直线y=-4x向下平移2个单位长度，得到的直线的函数表达式为（）

A.y=-4x-2B.y=-4x+2C.y=-4x-8D.y=-4x+8

5.在。ABC。中，已知NA=60°,则NC的度数是（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

6.如图，将等边△ABC向右平移得到其中点E与点C重合，连接B。，若4B=2,

则线段BD的长为（）

D.273

A.对角相等B.对边相等

C.对角线相等D.对角线互相垂直

21

8.若分式ZZL的值为0,则x的值为（

x+1

A.0B.1C.-1D.+1

9.如图，直线力=爪+2与直线丫2=，加相交于点尸（1，"?），则不等式，的解集是

()

y

=mx

A.x<0B.x<\C.0<x<lD.x>\

10.如图，在4X4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个

格点N,P,。中找一点作为旋转中心.将AABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后

的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4X4的网格纸的格点

上，那么满足条件的旋转中心有（）

A.点M,点NB.点M,点QC.点N,点PD.点P,点Q

二.填空题

11.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是边形.

12.如图，在平行四边形A8C。中，对角线4c与B力相交于点O,点E为BC边的中点,

连接OE,若AB=4旄，则线段OE的长为

13.如图，在RtZ\ACB中，NC=90°,AB=2«,以点B为圆心，适当长为半径画弧，

分别交边AB,BC于点E,F,再分别以点£尸为圆心，大于工E尸的长为半径画弧，两

2

弧相交于点P，作射线BP交4c于点若CD=1,则△AB。的面积为

14.已经Rt/XABC的面积为JE，斜边长为救，两直角边长分别为a,4则代数式/〃+/

的值为.

三.解答题

15.(1)因式分解：/-8』+16x.

(2)解方程：2-

x-22-x

x-2(x-3)〉5

16.解不等式组x-3/5x，并把解集表示在下面的数轴上.

46

-4-3-2-101234

17.先化简，再求值：上2+(4+且二鱼)，其中。=百-2.

2a-2a-l

18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy,△

ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,I),C(4,2).

(1)平移△ABC,使得点A的对应点为Ai(2,-1),点B,C的对应点分别为S，C\,

画出平移后的△4SG；

(2)在(1)的基础上，画出△4B1G绕原点。顺时针旋转90°得到的AA282c2,其中

点Ai，Bi，Ci的对应点分别为A2,比，C2，并直接写出点C2的坐标.

19.如图1,在△ABC中，AB=4C,点。，E分别在边AB,AC上，且A£>=AE,连接。E,

现将△AOE绕点4逆时针旋转一定角度(如图2),连接BO,CE.

(1)求证：ZVIB。丝△ACE；

(2)延长8。交CE于点F,若BD=f>,CF=4,求线段QF的长.

图1图2

20.如图，在正方形ABCD中，点E,尸分别在边A8,BC上，4尸与。E相交于点M,且

ZBAF=ZADE.

(1)如图1,求证：AFVDE-,

(2)如图2,AC与BO相交于点O,AC交OE于点G,BD交AF于点H,连接GH,

试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；

(3)在(1)(2)的基础上，若4尸平分NBAC,且△BOE的面积为4+2&,求正方形

ABCD的面积.

图1图2

B卷

21.已知”=%-2日，则代数式/-2而+/的值为.

22.若关于x的不等式组!2&+2-1>0的解集为」工4<-6,则〃?的值是_____.

[2x+15<32

23.若关于x的分式方程"W_=2+2有正整数解，则符合条件的非负整数a的值

2-xx-2

为.

24.如图，已知四边形A8CD是平行四边形，将边AD绕点。逆时针旋转60°得到OE,线

段DE交边BC于点F,连接8E.若/C+NE=150°,BE=2,CD=2百，贝lj线段BC

的长为.

D

25.如图，在矩形A8C。中，ZACB=30°,BC=2y®,点E是边BC上一动点（点E不

与B,C重合），连接AE,AE的中垂线FG分别交AE于点尸，交AC于点G,连接。G,

GE.设AG=a,则点G到BC边的距离为（用含。的代数式表示），△ADG的面

积的最小值为.

26.全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有1800个床位

的方舱医院的工程.已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2.且甲公司

单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要少用20小时，

（1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量；

（2）甲，乙两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时

间的工，求乙公司至少工作多少小时？

2

27.如图，在菱形ABC。中，NABC=120°,48=4依，E为对角线AC上的动点（点£

不与A,C重合），连接BE,将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AO于点尺

（1）如图1,当AE=4尸时，求NAEB的度数；

（2）如图2,分别过点B,尸作BE的平行线，且两直线相交于点G.

/）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形8GFE的周长的最小值；

ii）连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解

28.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2%+6交x轴于点A,交轴于点3,过点8

的直线交x轴负半轴于点C,且AB=8C.

（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；

（2）点D（a,2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接£>£

(i)若NBDE=45°,求△BOE的面积；

(ii)在点E的运动过程中，以OE为边作正方形。EGF,当点F落在直线BC上时，求

满足条件的点E的坐标.

备用图

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A./^\等边三角形B.//平行四边形

C.IL.D.正五边形

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.

故选：C.

2.已知。<匕，下列不等关系式中正确的是（）

A.a+3>b+3B.3a>3bC.-a<-bD.一旦〉一巨

22

【分析】根据不等式的性质，可得答案.

【解答】解：A、不等式两边都加3,不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合

题意；

8、不等式两边都乘以3,不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；

C、不等式两边都乘-1,不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；

。、不等式两边都除以-2,不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意：

故选：D.

3.多项式2m+4与多项式m2+4〃?+4的公因式是（）

A.m+2B.m-2C.ZH+4D.m-4

【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项.

【解答】解：2/n+4=2（，刀+2）,渥+4m+4=（m+2）2,

.，・多项式2/%+4与多项式/J+4加+4的公因式是（m+2）,

故选：A.

4.将直线y=-4x向下平移2个单位长度，得到的直线的函数表达式为（）

A.y=-4x-2B.y=-4x+2C.y=-4x-8D.y=-41+8

【分析】上下平移时左值不变，匕值是上加下减，依此求解即可.

【解答】解：将直线y=-4x向下平移2个单位长度，得到直线y=-4x-2；

故选：A.

5.在。ABCQ中，已知NA=60°,则NC的度数是（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案.

【解答】解：•.•四边形A8CD是平行四边形，

.•.NC=NA=60°；

故选：B.

6.如图，将等边△ABC向右平移得到△£>£下,其中点E与点C重合，连接8£）,若AB=2,

则线段BD的长为（）

A.2B.4C.V3D.2M

【分析】过点。作。HLCF于H,由平移的性质可得△Z）EF是等边三角形，由等边三角

形的性质可求CH=1,DH=g由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，过点。作CWLCF于”，

：将等边4ABC向右平移得到△£）££

；.△£>£：/是等边三角形，

:.DF=CF=2,NOFC=60°,

"：DH±CF,

：.ZFDH=30°,CH=HF=\,

:.DH=\[^HF=M，BH=BC+CH=3,

BD=+DH2=V3+9=2我，

故选：D.

7.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（

A.对角相等B.对边相等

C.对角线相等D.对角线互相垂直

【分析】根据菱形和矩形的性质即可判断.

【解答】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等;

菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直.

所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.

故选：C.

21

8.若分式三二L的值为0,则x的值为（）

x+1

A.0B.1C.-1D.±1

【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可.

21

【解答】解：・・•分式工的值为零，

x+l

’2

X-1=0,解得x=l.

.x+l卉0

故选：B.

9.如图，直线巾=丘+2与直线>2=7加相交于点尸（1，机），则不等式〃比〈区+2的解集是

（）

C.0<x<lD.x>\

【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案.

【解答】解：,直线力=履+2与直线=相交于点P（1，"2），

不等式twc<kx+2的解集是x<1,

故选：B.

10.如图，在4X4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个

格点M,N,P,。中找一点作为旋转中心.将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后

的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4X4的网格纸的格点

上，那么满足条件的旋转中心有（）

A.点M,点NB.点M,点QC.点N,点PD.点P,点Q

【分析】画出中心对称图形即可判断

【解答】解：观察图象可知，点P.点N满足条件.

故选：C.

二.填空题

11.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是六边形.

【分析】〃边形的内角和可以表示成（«-2）-180°,外角和为360°,根据题意列方程

求解.

【解答】解：设多边形的边数为〃，依题意，得：

(〃-2)780°=2X360°,

解得”=6,

故答案为：六.

12.如图，在平行四边形ABC。中，对角线4c与8。相交于点O,点E为BC边的中点,

连接OE,若AB=4旄，则线段OE的长为」遥

S'

【分析】证出0E是aABC的中位线，由三角形中位线定理即可求得答案.

【解答】解：•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=OC；

又,••点E是BC的中点，

；.OE是△ABC的中位线，

OE=1AB=2后,

2

故答案为：2遍.

13.如图，在Rtz^ACB中，ZC=90°,AB=2我，以点B为圆心，适当长为半径画弧，

分别交边A8,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于皂尸的长为半径画弧，两

2

弧相交于点尸，作射线8P交AC于点。，若C£>=1,则△A8。的面积为_愿_.

【分析】如图，过点。作O”J_AB于”.利用角平分线的性质定理求出。，即可解决问

题.

【解答】解：如图，过点。作。//LA8于H.

:DCLBC,DH1AB,8。平分NABC,

；.DH=CD=1,

S>ABD=1•AB・OH=J-X2V^X1=M，

22

故答案为次.

14.已经RtAABC的面积为我，斜边长为有，两直角边长分别为a,b.则代数式5/>+/

的值为14\历.

【分析】根据两直角边乘积的一半表示出RtZXABC面积，把已知面积代入求出油的值,

利用勾股定理得到/+/=(V7)2,将代数式1什岫3变形，把与岫的值代入计算

即可求出值.

【解答】解：♦••n△ABC的面积为

.'.^ah=y[2,

解得帅=2愿，

根据勾股定理得：/+/=(々)2=7,

则代数式4%+帅3=必(/+/)=2yX7=14j5.

故答案为：14次.

三.解答题

15.(1)因式分解：x3-8X2+16X.

(2)解方程：2-——=上江.

x-22-x

【分析】(1)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3

项，可采用完全平方公式继续分解.

(2)观察可得最简公分母是1-2),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为

整式方程求解.

【解答】解：(1)x3-8X2+16x

=x(x2-8x+16)

=x(x-4)土

(2)2-

x-22-x

方程的两边同乘(x-2),得

2(x-2)-x=-2x,

解得X=刍.

3

检验：把x=&代入X-2#0.

3

故原方程的解为：X=2.

3

x~2(x~3)》5

16.解不等式组，x-3,5x，并把解集表示在下面的数轴上.

46

-4-3-2-101234

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式x-2(x-3)25,得：尤在1,

解不等式至3〈旦■+1，得：x>-3,

46

则不等式组的解集为-3<xWl,

将不等式组的解集表示在数轴上如下:

17.先化简，再求值：卫2+(a+且二鱼)，其中。=百-2.

2a-2a-l

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将。的值代入计算.

2

【解答】解：原式=a-2+(aza+az4)

2(a-1)a-la-l

=a-2qa2-4

2(a-1)a-l

=a-2.a-l

2(a-1)(a+2)(a-2)

=1.

2a+4'

当a=M-2时，

原式二一」-----

2(V3-2)+4

=1

2V3+4-4

=1

273

18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系X。)，，△

A8C的三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(h1),C(4,2).

(1)平移△ABC,使得点力的对应点为4(2,-1),点B,C的对应点分别为BI,Ci，

画出平移后的△AiBiCi；

(2)在(1)的基础上，画出AAi81cl绕原点O顺时针旋转90°得到的AA282c2,其中

点A|,Bi，G的对应点分别为A2,无，C2,并直接写出点C2的坐标.

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点4，B\,G即可.

(2)分别作出点Ai，Bi，G的对应点A2,B2,C2即可.

【解答】解：(1)如图，△A|8iG即为所求.

(2)282c2即为所求.42(-1，-2),&(-4,-1)>C2(-3,-4).

(1)求证：△ABO丝ZVICE；

(2)延长8。交CE于点F,^AD±BD,BD=6,CF=4,求线段。F的长.

图1图2

【分析】(1)由“SAS”可证

(2)由全等三角形的性质可得BQ=CE=6,NAEC=NA£>8=90°,由“HL”可证Rt

△AfF^RtAADF,可得。尸=EF=2.

【解答】证明：(1)由图1可知：NDAE=NBAC,

：.ZDAE+ZCAD^ZBAC+ZCAD,

：./BAD=NCAE,

又；AB=AC,AD=AE,

.♦.△ABO之△ACE(SAS)；

(2)如图2,连接AF,

图2

'：ADLBD,

：.ZADB=ZADF=90c,,

•；AABD^AACE,

：.BD=CE=6,/AEC=/ADB=90°,

：.EF=CE-CF=2,

"：AF=AF,AD=AE,

.".RtAAEF^RtAADF(HL),

:.DF=EF=2.

20.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别在边A8,BC上，A尸与OE相交于点M,且

ZBAF=NADE.

(1)如图1,求证：AF±DEt

(2)如图2,4c与BO相交于点O,AC交DE于点G,BD交AF于点、H,连接GH,

试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；

(3)在(1)(2)的基础上，若A尸平分/B4C,且△BOE的面积为4+2近,求正方形

48CD的面积.

图1图2

【分析】(1)证明即可解决问题.

(2)证明△AQF丝△BAF(ASA),推出AE=BF,由A£〃C£>,推出鲤=或，由BF〃

CDDG

AD,推出巫=典，由AE=2F,CD=AD,推出趴=型可得结论.

ADDHGDHD

(3)如图2-1中，在A。上取一点J,使得4/=AE,连接E/.设AE=A/=a.利用三

角形的面积公式构建方程求出。即可解决问题.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

•.•四边形ABC。是正方形，

：.ZDAE=ZABF=90°,

,/NADE=ZBAF,

：.NADE+NAED=ZBAF+ZAED=90°,

；.NAME=90°,

：.AF±DE.

(2)解：如图2中.结论：GH//AB.

理由：连接G”.

图2

：AD=AB,NOAE=NABF=90°,NADE=/BAF,

,.△ADE出ABAF(ASA),

'.AE^BF,

：AE//CD,

.AE=EG

"CDDG)

JBF//AD,

.BF=BH

*ADDR)

：AE^BF,CD=AD,

•EG=BH

.而而，

'.GH//AB.

(3)解：如图2-1中，在AQ上取一点J,使得AJ=AE,连接EJ.设AE=A/=a.

图2-1

平分NBAC,NBAC=45°,

.•.NBAF=NADE=22.5°,

\"AE=AJ^a,/EV=90°,

AZAJE=45°,

:ZAJE=ZJED+ZJDE,

：.ZJED^ZJDE=22.5°,

EJ—DJ--，

：

AB=AD=a+yf2ifAE=AJ,

:♦BE=DJ=，

SABDE=4+2不^,

：.白点fiX(a+5后)=4+2近

解得J=4,

:・a=2或-2(舍弃)，

•*•A£)=2+2>y^,

，正方形ABCD的面积=12+8&.

21.已知a=b-2g则代数式J-2必+，的值为12.

【分析】由己知等式得出。-。=-2«,代入到原式=(a-b)2计算可得答案.

【解答】解：・."=6-2日，

•*ci~h—"2^3，

则原式=Ca-h)2

=(-273)2

=12,

故答案为：12.

一什上十人(2(x+m)-1〉017

22.若关于x的不等式组4的解集为-AL.<X<-6,则m的值是9.

2x+15<32

【分析】先解不等式组得出其解集为上&LVxV-6,结合-XL<x<-6可得关于m的

22

方程，解之可得答案.

【解答】解：解不等式2(x+机)-1>0,得：x>"m,

2

解不等式2x+l5<3,得：xV-6,

•••不等式组的解集为-XL<x<-6,

2

•l-2m__17_t

.-2~W

解得加=9,

故答案为：9.

23.若关于x的分式方程些旦=工+2有正整数解，则符合条件的非负整数。的值为」

2~xx-2

【分析】由分式方程有正整数解，确定出非负整数。的值即可.

【解答】解：方程两边同时乘以X-2,得：

3-tzx=3+2(x-2),

解得X=_E,

a+2

是正整数，且一E#2,

a+2a+2

；.a+2=4,且aWO,

二非负整数a的值为：2,

故答案为：2.

24.如图，已知四边形A8C。是平行四边形，将边AZ)绕点。逆时针旋转60°得到。E,线

段。E交边BC于点F,连接BE.若NC+NE=150°,BE=2,CO=2«,贝ij线段BC

的长为20.

【分析】过C作CMLQE于M,过E作ENLBC于N,根据平行四边形的性质得到BC

//AD,根据平行线的性质得到根据旋转的性质得到N8FE=

ZDFC=ZA£)£=60°,推出NOCM=NEBN,根据相似三角形的性质得到CM=®N,

DM=43EN,得到设,FM=BN=X,EN=y,则。加=心，，CM=-^,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】解：过C作CMJ_£>E于M,过E作EN_LBC于M

V四边形ABCD是平行四边形，

.,.BC//AD,

：.NBFE=4DFC=ZADE,

:将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE,

：.NBFE=/DFC=NADE=60°,

:.NFCM=NFBN=30°,

'：ZDCF+ZBEF=150°,

,.NDCM+NBEN=90°,

/ZBEN+ZEBN=90°,

\/DCM=AEBN,

.,.△DCMsAEBN,

•CM_DM_CD=2«=n

*'BN=EN=BE~2~

；.CM=4^SN,DM=\p3E.N,

在RtZ^CMF中，CM=-/3FM,

\FM=BN,

设FM=BN=x,EN=y,则。加=仆，，CM=yf^c,

：.CF^2x,EF=攀，

：BC=AD=DE,

*.伤,+x+?愿），=2x+

•.尸等，

."x2+y2=4,

・、,_27Hr_W7

•y-----,A—“,

77

，.BC=2枚,

故答案为：2A/，.

25.如图，在矩形ABC。中，ZACB=30°,BC=2《Q,点、E是边BC上一动点、（点E不

与B,C重合），连接AE,AE的中垂线FG分别交AE于点凡交AC于点G,连接。G,

GE.设AG=a,则点6到8（7边的距离为生亘（用含a的代数式表示），△AQG的

一2一

面积的最小值为空③.

一3一

【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得4B=2,AC=4,从而得CG

的长，作辅助线，构建矩形和高线GM,如图2,通过画图发现：当GELBC时，

AG最小，即。最小，可计算a的值，从而得结论.

【解答】解：..•四边形A8CC是矩形，

.*.ZB=90°,

VZACB=30°,BC=2次，

：.AB^2,AC=4,

"AG=a>

•*.CG=4-a,

如图1,过G作M”_LBC于”，交AQ于M,

图2图1

RtZXCG”中，NACB=30°,

：.GH=1-CG=^~^,

22

则点G到BC边的距离为生电,

2

•:HMLBC,AD//BC,

：.HMl.ADf

：.ZAMG=90°,

•:/B=/BHM=9U°,

・・・四边形是矩形，

:.HM=AB=2,

GM=2-GH=2-

22

==a,

S^ADG=-^-AD*MGyX2V3X-^-a~^J~

当a最小时，△AOG的面积最小，

如图2,当GEJ_5C时，AG最小，即Q最小，

・・・R7是AE的垂直平分线，

：.AG=EG,

2

3

.••△AOG的面积的最小值为返xg=2返，

233

故答案为：生曳，也.

23

26.全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有1800个床位

的方舱医院的工程.已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2.且甲公司

单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要少用20小时，

（1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量；

（2）甲，乙两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时

间的工，求乙公司至少工作多少小时？

2

【分析】（1）设甲公司每小时改建床位的数量是X个，则乙公司公司每小时改建床位的

数量是y个，根据甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2；甲做的工作量+

乙做的工作量=工作总量建立方程组求出其解即可；

（2）设乙公司工作z小时，根据乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的工，建

2

立不等式求出其解即可.

【解答】解：（1）设甲公司每小时改建床位的数量是X个，则乙公司公司每小时改建床

位的数量是y个，依题意有

x：y=3：2

,18001800”，

---------=20

yx

解得卜=45,

ly=30

经检验，fx=45是方程组的解且符合题意，

ly=30

故甲公司每小时改建床位的数量是45个，乙公司公司每小时改建床位的数量是30个；

（2）设乙公司工作z小时，依题意有

ly180Q-30Z

F45-

解得z-15.

故乙公司至少工作15小时.

27.如图，在菱形A8C£＞中，ZABC=120°,A8=4料，E为对角线4c上的动点（点E

不与A,C重合），连接2E,将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线于点F.

（1）如图1,当AE=A尸时，求/AEB的度数；

（2）如图2,分别过点8,尸作E凡BE的平行线，且两直线相交于点G.

i）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；

ii）连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出了与x之间满足的关系式，不必写出求解

【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出NAEF即可解决问题.

（2）/）证明四边形BEFG是菱形，根据垂线段最短，求出8E的最小值即可解决问题.

n）如图2-1中，连接30,DE,过点E作EH_LCD于证明4486丝△OBE（SAS）,

推出AG=DE^y,在RtACEH中，EH=^EC^Xx.CH=J^x,推出DH=\4-/j-

在RtZXOfiT/中，根据。片=£42+0〃2,构建方程求解即可.

【解答】解：（1）如图1中，

AD

图1

・・•四边形A8CO是菱形,

：.BC//AD,ZBAC=ZDAC,

：.ZABC+ZBAC=\SOQ,

VZABC=120°,

：.ZBAC=60°,

：.ZEAF=30°,

•;AE=AF,

：.ZAEF=ZAFE=75°,

VZBEF=120°,

AZAEB=\20°-75°=45°.

(2)i)如图2中，连接OE.

9

：AB=AD,NBAE=NDAE,AE=AEf

:•△BAE1丝△QAE(SAS),

:・BE=DE,/ABE=/ADE,

9：ZBAF+ZBEF=60°+120°=180°,

AZABE+ZAFE=180°,

VZAFE+ZEFD=180°,

.・・ZEFD=/ABE,

：.ZEFD=ZADE,

:.EF=ED,

；・EF=BE,

■:BE//FG,BG//EF,

・・・四边形5EFG是平行四边形，

•：EB=EF,

・・・四边形BEFG是菱形,

・••当8E_LAC时，菱形8EFG的周长最小，此时BE=A8・sin300=2日,

・•・四边形BGFE的周长的最小值为8y.

ii)如图