《考数学总复习系列》高中数学必修

2011高考数学复习必修3

第一章基本初等函数II

一、基础知识（理解去记）

定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若

旋朝方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做

一弧度。360度=2n弧度。若圆心角的弧长为L则其弧度数的绝对值|a|='，其中r是圆的半径。

定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角a的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边

上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为（x,y）,到原点的距离为r,则正弦函数s加a=』,余弦函数

r

YA?YVF,

cosa二一，正切函数柩〃。=J,余切函数cofa二一，正割函数seca,余割函数escQ.

rxyxy

定理］同角三，本关系式：

倒数关系:tana=-----,si〃a=------，cosa=------；

cotacscaseca

sinacosa

商数关系:tana=------,cotcr=-------；

cosasina

乘积关系:tanaXCOS«=sina,cotaXsina=cosa；

平方关系:sin2Q+CY7S2a=1,tan2a+l=sec2a,cot2a+I=csc2a

定理2（I）szn（a+n）=-sma,cos（兀+a尸-cosa,tan（n+a）=tana,cot（Tt+a）=cota;（II）SZH（-

Q）=-sina,cos（-a）=cosa,tan{-a）=-tana,cot（-a）=cota;（III）s讥（兀-a）=sina,cos（兀-a尸-cosQ,tan=（it-

Q）=-勿〃a,CW（兀-a）=-caa；（IV）s讥（楙-a］=cosQ,cos（5—a］=si〃Q,相一a）;cofQ（t己法：奇

变偶不变，符号看象限）。

定理：（根据图像去记）正弦函数的性质：根据图象可得尸si/u（X£R）的性质如下。单调区间：在区

间2%〃一生TT,2%乃+—TT上为增函数，在区间2女万+上7T,2左乃+—3万上为减函数，最小正周期为2%.奇偶

_22jL22_

TTTT

数.有界性：当且仅当x=2fcr+—时，y取最大值1,当且仅当x=3Z%-—时,y取最小值-1。对称性：直线

22

TT

产上）+—均为其对称轴，点《4，0）均为其对称中心，值域为［-1,1］。这里氏£Z.

2

定理4（根据图像去记）余弦函数的性质：根据图象可得产c（xGR）的性质。单调区间：在区间［2E,2也+兀］

上单调递减，在区间［2E』,2E］上单调递增。最小正周期为2兀。奇偶性：偶函数。对称性：直线FE均

为其对称轴，点U万+均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2E时，y取最大值1；当且仅当x=2E-兀

时，y取最小值-1。值域为［-1,1］。这里AWZ.

ITTTTT

定理5（根据图像去记）正切函数的性质：由图象知奇函数产5x（xHE+,）在开区间（E-,,E+彳）

TT

上为增函数，最小正周期为兀，值域为（-8,+8）,点（E,0）,（E+—，0）均为其对称中心。

______2

定理6两角和与差的基本关系式：cos（。±B）=cosacosB+sinQsinB,sin（a±B）=sinacosB土cosQsin

B/（a±B）=吁a±ta”）

（1+tanatan/7）

定理7和差化积与积化和差公式：

a+1a+P

sina+sinP=2sin,sina-sinB=2sin

22

°(a+(a-。a+J3\(a-(3\

cosa+cosp=2cos------cos\------,cosa-cosp=-2sin\------sin]------,

I2JI2JI2JI2J

sinacos0=—[szn(a+B)+si〃(a-B)],cosasin6=—[szn(a+B)-si〃(Q-B)],

22

cosacosB=—[cos(a+P)+cos(a-P)],s/z?asinP="—[cos(a+B卜cos(a-P)].

__________22

口诀记忆：

积化和差：L前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”''同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后

2

为差”和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦

定理8a=2s/nacosa,cosla=cr?s2a-sz/?2a=2cos2a-l=l-2s/>i2a,

2tana

tan!a=--------------

(1-tan'a)

定理半角公式:si〃

(a)l(l-cosa)sina_(1-coscr)

tan

12Jy(l+coscr)(1+cosa)sina

2七)5国

定理10万能公式：sinofcosa=---------2~\

ltan2W

+"I力

2tan（C

tana---------

1-tan~2l

uJ____

定理11****【必考】如果a,b是实数且层+/力0,则取始边在x轴正半轴，终边经过点3,

力）的一个角为B,则si〃B=/":,cosB=/",对任意的角a.

yla2+b2yla2+b2

asina+bcosa=+Z?2）siw（a+B）.

定理12正弦定理：在任意△ABC中有上-=一2—=」一=2R,其中a,b,c分别是角A,B,C的

sinAsin8sinC

对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13余弦定理：在任意aABC中有“2=/+°2_2^^,其中分别是角A,B,C的对边。

定理14图象之间的关系：尸sinx的图象经上下平移得产sinr+&的图象；经左右平移得产si〃（x+0）的图象

（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的工，得到、=$打3（0>0）的图象（周期变换）；横坐标

CD

不变，纵坐标变为原来的A倍，得到产As,冠的图象（振幅变换）；产As%（ox+0）（①>0）的图象（周期变

换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到产4s山x的图象（振幅变换）；y=Asi〃（①x+0）（①，°>0）（HI

叫作振幅）的图象向右平移？个单位得到产Asi〃/x的图象。

CD

定义4函数产si心[xc的反函数叫反正弦函数，记作)=〃rcs讥r(x£[-l,1]),函数产cosx(x£[0,

K])的反函数叫反余弦函数，记作产arccgr(xW[-l,1]).函数y=s〃x(xe―金^])的反函数叫反正切函

数。记作y=arctanx(x^[-°°,+°°]).尸cosx(x£[0,兀])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x^[-°°,+°°]).

定理15三角方程的解集，如果。£(-1』)，方程simz的解集是｛小=mi+(-l)"arcs山a,〃eZ｝。方程cosx=a

的解集是｛小=2fc¥±〃rccos〃，代Z｝.如果i£R,方程3LV=。的解集是｛小=也+而7即〃,k£Z｝。恒等式：

7T7C

arcsina+arccosa=—；arctana+arccota=—.

二、基础例题(必会)

1.结合图象解题。

例1求方程si7u=/g|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=si〃x与y=/g|x|的图象(见图)，由图象可知两者有6个交点，故方程有

6个解。

2.三角函数性质的应用。

例2设x@(0,7t),试比较cos(sinx)与s加(cosx)的大小。

【解】若—.71,则cosxW1且COSQ-1,所以COSXE—2,0,

L2)I2」

所以s加(cosx)W0,又0<sinxWl,所以cos(sior)>0,

所以COS(S〃7X)>S加(cosx).

(正叵、兀兀兀

若X£(o,——,则因为sinx+cosx=V2---sinxH----cosx=V2(sinxcos—+sin—cosx)=V2szn(x+—)

22444

2

LLt<In

所以0<sinx<--cosx<一,

22

uu1n

所以cos(si〃x)>cos(--cosx)=sin(cosx).

2

综上，当x£(0,兀)时，总有cos(si/u)<si〃(cosx).

7Tcosa

例3已知Q,B为锐角，且厂(a+B--)>0,求证:<2.

2sin(3

TTTTTT

【证明】若a+B>—,贝lJx>0,由a>--B>0得cosa<cos(--B)=si〃B,

222

所以0<c°s0<],又s%a>s%(三-8)=cosB,所以0<<1,

sin(32sina

若a+B<一,贝ijx<0,由0<a<一-P<一得cosa>cos(--B)=s山B>0,

2222

所以cos。>]。又0<si，7avs山(工-B)=cosB,所以>],

sin/?2sina

00

所以〔诉J+〔彳哥＜［漏J+UfJ=2,得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

3.最小正周期的确定。

例4求函数产s%(2cos|x|)的最小正周期。

TF

【解】首先，7=2兀是函数的周期(事实上，因为cos(㈤=cosx,所以cobl二cosi)；其次，当且仅当x=E+—

2

时、y=0(因为|2(:。*|＜2＜兀),

所以若最小正周期为7b，则7b=mn,m£N+,又si〃(2cos0)二s加2Wsi〃(2cos7c),所以7b=2兀。

4.三角最值问题。

例5已知函数产s%x+J1+COS?+,求函数的最大值与最小值。

［解法一］令sinx=V2cos夕,Vl+cos2x-＜0W

则有y=V5cose+V5sin。=2sin(6+?).

7T371

因为一2万，所以一4。+—4万，

4424

TT

所以0«sin(6»+w)Wl,

3JI

所以当即x=2kn-万(％£⑥时、ym加=0,

JIJI

当。=%"，即x=2ht+'(keZ)时，ynu«=2.

例6设0＜。＜兀，求si":(1+COS。)的最大值。

【解】因为0＜。＜兀，所以0＜曰＜工，所以si”2＞0,cos2＞0.

2222

当且仅当2s，7?2=cos2g,即fa〃且8=2arcfa〃时，si"2(l+cos。)取得最大值生叵。

2222229

例7若A,B,C为△ABC三个内角，试求si〃A+si〃3+si〃C的最大值。

_._A+BA—B.A+B

【解】因为sinA+sinB=2sin-----cos-----<2sin-----,①

222

C+-C--C+-

JI22a

sinC+sin--2sin----cos-----<2sin-----,②

3222

jrTC7T

C+—A+B+C+-A+B—C——

又因为sin---+sin----=2sin------------cos------------<2sin工，③

22443

JI

由①，②，③得smA+sinB+sinC+sin-W4s加一,

33

Q/Q

所以sinA+sinB+sinC^：3sin—=——,

32

JI_3V|

当A=B=C=—时，(sinA+sinB+sinC)mar=~~~~

32

注：三角函数的有界性、原加|<1、|cosx|Wl、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数

的单调性等是解三角最值的常用手段。

5.换元法的使用。

...,,sinxcosx,._

例8求）=--------------的值域。

1+sinx+cosx

(也s1nA立cos]

【解】设t=sinx+cosx=A/2V2sin(x+^).

I22

7

TT

因为一1Wsin(x+—)<1,

4

所以一直<f«Ji

又因为?=1+2sinxcosx,

x2-\

产一]ot—1

所以sMrcosx=----,所以y=，一=——,

2l+t2

-

rcrIV2—1V2—1

所以--------<y<------.

22

I

因为/。・1,所以；w—1,所以

所以函数值域为yw-咛工,一1U一1，书二

Jl+ci12—171

例9已知如=1,斯二-----------(72GN+)f求证:斯>尹

【证明】由题设斯>（）,令斯=37。”,“"qog），则

1+tarT%]-1_seca〃]-1_l-cosatJ}a.

an=tan—=tanan.

tan-tan%sin%2〃

71所以〃〃=ga〃_i，所以斯=（；）劭

因为不,2”

7T

又因为〃0=，的〃尸1，所以t7o=—，所以a.7

又因为当0<r<一时，tanx>x,所以Q〃=tan——>——.

2n2〃+22〃+2

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当时，有S"X>X>si〃X,这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

6.图象变换【常考】：尸si〃x(x£R)与尸As山(Ox+e)(A,①，(p>0).

由产si位的图象向左平移。个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不

变，横坐标变为原来的工，得到产Asi〃(0x+°)的图象；也可以由y=s,7tv的图象先保持横坐标不变，纵坐

CD

标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的工，最后向左平移2个单位，得到

0)co

y=Asin(0%+°)的图象。

例10例10已知於尸S%(GX+0)(①>0,0<OWTC)是R上的偶函数，其图象关于点A/1,,。］对称，

7T

且在区间0,-上是单调函数，求。和。的值。

【解】由y(x)是偶函数，所以,所以Si"(o+夕)=$”7(-。犬+0),所以cos0sinx=o,对任意xCR

成立。

7F

又解得W=5，

因为段)图象关于M(与,()］对称，所以/(1万一尤)+/(：万+%)=0。

取x=o,得/(彳乃)=o,所以版彳①+耳=o.

r-Ltvt3兀_7C宜,，2

所以一。=左乃+一(%£Z),即①二一(2攵+1)伏£Z).

423

nn

又。>0,取ko时，此时yu)=s讥(2%+万)在［0,万］上是减函数；

ji冗

取代1时，0)=2,止匕时/(x)=si〃(2x+5)在［0,彳］上是减函数；

107171

取上2时，,此时危)=5加(oX+万)在［0,万］上不是单调函数，

2

综上，。二一或2。

3

7.三角公式的应用。

例11已知si〃(a-0)=R,s加(a+B)=-—,且a-0e15，»J,a+pe15-,2乃J,求si〃2a,cos2。的值。

【解】因为蛇0金(］,)),所以cos(a・p尸-J1—sin2(a—(3)——.

又因为a+g1修,2"J,所以cos(a+B)=—sin?(a+.)=—.

120

所以s%2a=si〃［(a+B)+(a-B)］=s%(a+B)cos(a-B)+cos(a+B)si〃(a-B)=-----,

169

c0s2p=cos［(a+p)・(a・P)］=cos(a+B)cos(a-P)+s加(a+p)s加(a-(J)=-l.

例12已知△A8C的三个内角A,B,C成等差数列，且一1—+」一=—二反，试求cosd二G的值。

cosAcosCcos62

【解】因为4=120°-C,所以cos=3(60°-。，

“T1111cos(120°-C)4-cosC

又由于-----+------=-------7------d--------

cosAcosCcosQ20-C)cosCcosCcos(1200一C)

2cos600cos(60°-C)_2cos(600-C)

1[cosl20°+cosa200-2C)]cosQ20。-2C)-1

22

所以4后cos2+2cos-3V2=0。

22

.田A-CV2„A-C3V2

角不得cos-------=——或cos--------=--------。

2228

寸A-C八.A-CV2

Xcos------->0,所rr以rcos-------=——o

222

例13求证：tan20°+4cos70.

■/八oosin20o

【解】tan20+4cos70=----------+4sin20

cos20

sin200+4sin20cos20_sin20+2sin40

cos20°cos20°

sin20°+sin400+sin40°2sin30°coslO。+sin40"

3=3

cos20cos20

sin80+sin402sin60cos20

3=c

cos20cos20

三、趋近高考（必懂）

1.(四川省成都市2010届高三第三次诊断理科)计算cW15°—/劭15。的结果是()

(A也向亚

(A)23)2(Q3G(D)2G

【答案】D

【解析】解法一，8”户一1初15°

=30°)—30®)解法二*8”]一

_1-Htan60,tan45°tan60'-tan45’=coslf'sinl5,

tan60"-tan45*1+tan60'tan45Vsinlf'coslS'

_1+抬6-1

sinI5cosl5'

=(2+y/3)—(2-^3)

=]不

2.(成都2010届高三第三次诊断文科)计算8$45。8$15。一5%45%0575。的结果是()

(A停(喈(C)|(01

【答案】C

【解析】cos45°cos\5°—sin45ocosl50=cos450cos150—sin450sin15°=cos(450+15°)

=cos60°

2

3.(成都2010届高三第三次诊断文科)先把函数外)=$加一6cosx的图象按向量@=号，0)平移得到曲

线尸检)，再把曲线产g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的;倍，横坐标保持不变，得到曲线尸贴)，

则曲线y=〃(x)的函数表达式为()

2兀2兀

(A)/I(X)=5ZJ?(X——)(B)h(x)=sinx(C)h(x)=4sin(x——)(D)h(x)=4sinx

【答案】A

【解析】《x)=2si〃(x—，)，

按向量0=百，0)平移后，得到曲线产g(x)=2w»(x-y)

再把纵坐标缩短到原来的1倍，横坐标保持不变，得到曲线y=/z(x)=si〃(x-金)

2J

4.(成都2010届高三第三次诊断理科)已知sin(a'p)cosa—cos(a'p)sina=,则cos2fi的值为

【答案4

旦

【解析】因为sin(a+P)cosa-cos{a+P)sina=sin[(a+p)-a]=sin[i=V

21

于是cos20=1-Isirrlp^l--=-

6.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题)(本小题满分12分)已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别

为a,b,c,若4、B、C成等差数列，b=],记角A=x,a+c=f(x).

(I)当xd[工，-J0t,求f(x)的取值范围；

63

TT

(II)若/(X-----)=—，求sin2x的值.

65

解：⑴由已知A、B、C成等差数列，得28=A+C,

在△ABC中，A+B+C=n,于是解得8=工，A+C=—.

33

在△ABC中，—^-=—^―=—^,b=\,

sinAsinBsinC

・1•41.「2石....2TT

a+c=--------sinA+--------sinC=------[sin4+sin(-------A)]

=2^-[sinA+sin—cosA-cos—sinA]=V3sinA+cosA=2sin(A+-)，

3336

即fW=2sin(x+—)............................................................................................6分

6

由工WxW工得工Wx+^W王,于是指W/(x)W2,

63362

即/(X)的取值范围为[Vi,2]......................................8分

(II)V)=2sin(x--+—)=~,KPsinx=­.

66655

，8sx=±71-sin2x=..........................................9分

若8S4—M此时由一±<一也知Q红，这与4+。=女矛盾.

55243

4

:.%为锐角，故COSX=一•.........................................11分

5

sin2x=2sinxcosx=—..........................................12分

25

7.(雅安2010届高三第三次诊断性考试理科)

(本题满分12分)

三角形的三内角A比C所对边的长分别为。力,c，设向量由n=

(a+Z?,c),若mHn。

（1）求角B的大小；

（2）求sin/1+sinC的取值范围。

17、（本题描分12分）

(I)丫initn.tic-o)•'[a♦b)(,ha)

一b

uc=（4分）

oc

cos8=—,B（6分）

3

2)•;4+8+。=开••47分）

sin.4+sinC=sin/+SiiM-.4>

2方?不

=sinJ*sin-cosA-cos-sin*/（9分）

33

3^3it

•yiinJ♦cosA-43vn(A（10分）

三</♦《“分

66

所以<Kin(A♦sinA>sinC*《12分）

26

8.（自贡2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）

如图4,已知AABC中，|AC|=1,ZABC=120°,ZBAC=6>,记f(6)=池•反。

B

（I）求/（。）关于。的表达式;

120

（II）求/（。）的值域。

（图4,第17题图）

解：（i）,由正弦定理有：L"：1

sinPsill26

IAB|

(2分)

sin(60°—8)

|J5C|：sin氏(4分)

sin120°

-7T兀—八TV5%

(ITTI)0z<0<—=>一<2。+一<•—,

3666

二/(6>)w(0,J...........(12分)

9.(南充2010届高三4月月考理科试题)(本小题满分12分)在ZAABC中，角A、B、C的对边分别为

a、b、c,4sin'-cos2c=N,a+b=5,c=•

22

(1)求角C的大小；

(2)求/ABC的面积.

解：⑴由4sin?上空"os2c=2,得4cos2C-cos2cz

2222

二4COS2C~4COSC+1=0

解得cosC=-/.C=60°

2

(2)由余弦定理得duaZ+AZ—2〃/?cosC即l=a2+h2—ah①

又。+匕=5a2+ft2+lab=25②

由①②得ab=6

.&_1,.3V3

••OAABC——absuiC=---

22

10.(资阳2009—2010学年度高三第三次高考模拟理)(本小题满分12分)

在直角坐标系xQy中，若角。的始边为无轴的非负半轴，终边为射线/:y=2x(x<0).

(I)求tan2a的值；

a.

2cos2—2sin(a—zr)—1

(II)求-----Z--------------的值.

&cos(a———)

4

解：(I)在终边/上取一点P(-l,-2),贝hana===2,.................................................2分

—1

c2x24)八

1-223

2cos2--2sin(a--1,.

/“、7coscr+zosincrcosa+2osmer

(II)-------------------z--------=-----------------=------------:..........................................8分

及cos(a-马0cos(a+马cosa-sma

44

1+2tana1+2x2「八

=-------=------=-5.12分

1-tana1-2

11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）在AABC中,

.,a~+c2—h~——etc

角A,6D,C所对的边分别是a,。,c,2.

,9A+C个

sin------+cos2B

⑴求2的值；

（II）若b=2,求AABC面积的最大值.

口1

cosB=—

解：（I）由余弦定理：4

222-B?1+cos5_2)i1

sin"+。+cos23=sin(---)+2cosB-1cos2—+2cos2B-l=-------+2cos2Br-\

2、2T224

cos5=—,WsinB-也Xa2+(?一82=J_〃c

(II)由44・：b=2.2

118

ci~2+c2=—cic+b~2=—etc+422acetcW—

22，从而3

SAABC=JacsinBW-^

故23（当且仅当"=c时取等号）

12.（成都石室中学2010届高三三诊模拟理科）

（12分）

已知AA3c中，sinA（sinB+VSeosB）=V3sinC.

（I）求角A的大小；

（II）若BC=3,求AA8C周长的取值范围。

解：（DA+B+C=7T

得sinC=sin（A+3）代入已知条件得

sinAsinB=V3cossinB

vsinB^O,由此得tanA=百,4=工6分

3

227r

(II)由上可知：B+C^-,:.C^--B

33

由正弦定理得：

AB+AC=2R(sin8+sinC)=26(sinB+sin(^-B))

即得：AB+AC=2百—sinB+—cosB)=6sin(B+-)

226

0<B<—W-<sin(B+-)<l

326

:.3<AB+AC<6,

A4BC周长的取值范围为(6,9]

................12分

第二章平面向量

一、基础知识(理解去记)

定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量

的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示

向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为

单位向量【最近几年常考】。

定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量)，规定零向量与任意一个非零向量平行和结

合桎。

定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合

律。

定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数4W0,使得a=；lAf

定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实

数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。

定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个

向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。

定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为8,则a,b的数量积记作a•b二|a|•|b|cos9=|a|•|b|cos〈a,

丝_乌称内积，其中|b|cos6叫做b在a上的投影(注：投影可能为负值)。

定理4平面向量的坐标运算：若a=(xi,yi),b=(X2,y2)，

1・a+b=(xi+x2,yi+y2),a-b=(xi-X2,y「y2)，

2.^a=(Xxi,Xyi),a•(b+c)=a•b+a•c,

x,x9+y,y7

3.a,b=xix2+yiy2,cos(a,b)=/一bW0),

4.a//bOxiy2=X2yi,a±b<=>x1x2+yiy2=0.

定义5若点P是直线P】P2上异于pi,P2的一点，则存在唯一实数入，使讨7=2瓦，入叫P分用石所

。仁。由此可得若p”p,P2的坐标分别为(xi,yi),(x,

成的比，若O为平面内任意一点，则。尸=

1+A

x,+Ar,

x=----------

y),3,y2)，则<1+22=xf=y-M

_凹+向2，%一8%一丁

—；：-■

y-i+x

定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=J〃2+%2个单

位得到图形尸'，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到广上对应的点为p'(x',y'),则

\x'=x-\-h称为平移公式。

y'=y+Z

定理5对于任意向量a=(xi,yi),b=(x2,ya),|a,b|<|a|•|b|,并且|a+b|W|a|+|b|.

【证明】因为|aF,|b|2-|a•b|2=(x；+-(xiX2+yiy2)2=(xiy2-X2yi)2>0>又|a,b|>0,|a|♦|b|>0,

所以|a|•|b|>|a•b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|W|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(xi,X2,…,Xn),b=(yi,y2,—,yn)>同样有|a・b|W|a|・|b|,

+2

化简即为柯西不等式：(x；H---------------------------------(xiyi+x2y2+xnyn)>0,又|a•b|NO,

|a|•|b|>0,

所以|a|•|b|>|a•b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|W|a|+|b|.

注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量，a=(xi,X2,…,xj,b=(yi,丫2,…，yn)，同样有|a,b|<|a|•|b|,

化简即为柯西不等式：(X：+…+X；)(y；+y；+...+y；)N(X|yi+x2y2+…+Xnyn)2。

2)对于任意n个向量,a1,a2