2020-2021学年湖州市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年湖州市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.两直线QX+by+m=0与ax+by+几=0的距离是（）

R|m-n|「|m-n|\m-n\

A.\m-n\

*Va2+d2a2+b2

2.一束光线从点趣-1禽出发，经x轴反射到圆线:金-管外。-等整印上的最短路径是（）

A.4B.5C.兽石TD.&匾

3.已知向量a=（-1,1,一1）,b=（2,0,-3）-则-7等于（）

A.-2B.-4C.-5D.1

4.已知承=,翼磁是可导函数，“资能或=网”是“%为函数负&磁极值点”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知直线rn,九，平面a,B，则m〃a的充分条件是（）

A.nca,m//nB.al/?,m1y?

C.n//afm//nD.a//0,mu0

6.正方体ABCD-A'B'C'a中，48的中点为M，D）的中点为A7,异面直线R'M与CW所

成的角是（）

A.TB.45"c.go4D.go。

7.某几何体的三视图如图所示，按图中所给的尺寸，该几何体的体积为（）

8.抛物线y2=4x的焦点为F,点P（x,y）为该抛物线上的动点，又点做-1,0）,则震的取值范围是

()

A.[f,l]B.[i,l]C.停,@D.[1,2]

9.平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.点P是曲线y=/-6工上任意一点，则点P到直线y=%+2的最小距离为()

A.—B.V2C.2y[2D.2

2

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.若双曲线冬―，=19>0/>0)的离心率为迷，则其渐近线方程为.

12.三个球的半径之比是1：2：3,则其中最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比是

13.圆/+y2-2%+4y4-3=0上的点到直线％-y=1的最大距离为.

14.已知椭圆捻+，=l(a>b>0)与圆/+y2=c2在第二象限的交点是P点，&(-c,0)是椭圆的

左焦点，。为坐标原点，。到直线Pa的距离是当c，则椭圆的离心率是.

15.已知直线小x+3y-6=0与直线％：kx—y+m=0,(/c>0,0<m<2),h，。与两坐标轴

围成的四边形有一个外接圆，则卜=

16.已知圆G：x2+y2+2x+3y+l=0,圆C2：x2+y2+4x+3y+2=0,则圆G与圆C2的位

置关系是.

17.如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以，二二二]

点B为支点将水杯倾斜，使4B所在直线与桌面所成的角为右则圆柱母线

与水面所在平面所成的角等于.

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.已知点尸式一1,0),F2(l,0),动点M到点F2的距离是2VL线段MF1的中垂线交线段“七于点P-

(I)当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；

(II)过点尸2且不与x轴重合的直线L与曲线G相交于4B两点，过点8作％轴的平行线与直线久=2相交

于点C,则直线AC是否恒过定点，若是请求出该定点，若不是请说明理由.

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，平面P4C1平面4BCD,且P41AC,PA=4D=2,四边形A8CD

满足BC〃/ID,AB1AD,AB=BC=1.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.

(1)若尸为PC的中点，求证：EF〃平面P4D；

(2)求证：平面4FD平面P4B；

(3)是否存在点F,使得直线ZF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存

在，请说明理由.

20.如图，己知动直线/经过点P(4,0),交抛物线必=2ax(a>0)于4,B两点，坐标原点。是PQ的

中点，设直线4Q,BQ的斜率分别为自，fc2.

(1)证明：自+&=0;

(2)当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线匕被以4P为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求

出直线I'的方程;

21.等边三角形ABC的边长为3,点。、E分别是边AB、4c上的点，且满足*=工=；(如图1).将4ADE

UDDnN

沿。E折起到AADE的位置，使二面角4-DE-B成直二面角，连结&B、&C(如图2).

(1)求证：平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P,使直线P4与平面4BD所成的角为60。？若存在，求出PB的长；若不

存在，请说明理由.

22.已知椭圆G：搐+5=l(a>b>0)的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合.椭圆口与抛

物线在第一象限内的交点为P,|PF|=|.

(1)求椭圆Ci的方程；

(2)已知直线x-y+m=0与椭圆G交于不同的两点4、B,且线段AB的中点不在圆好+y2=||内,

求m的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：在直线ax+by+m=0上取一点PQo，yo），

则a%。+by0+m=0,

即有Qg+by0=­m,

由点到直线的距离公式可得，

>_|axo+byo+九I_\m-n\

y/a2+b2Va2+b2?

故选艮

在直线a%+by+TH=0上取一点P（%o，y（））,则+byQ+m=0,运用点到直线的距离公式求出P到

Q%+by+n=0的距离，化简即可得到所求.

本题考查两平行直线的距离公式的推导，考查点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基

础题.

2.答案：A

解析：试题分析：依题意可得，在工轴上找一点使得到点4与C的距离和最短，这最短距离减去半径1,

就是所求的值点A关于%轴的对称点4-1（一1,一1）,圆心C（2,3）,4-iC的距离为

廨嬴西=穆，所以到圆上的最短距离为5-1=4.故选A.

考点：1.最短距离的知识点.2.两点间的距离公式.

3.答案:D

解析：解：••・向量五=（一1,1,一1），b=（2,0,-3），

•••a•£>=—2+0+3=1.

故选：D.

利用向量数量积坐标运算公式求解.

本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量数量积坐标运算公式的合

理运用.

4.答案：B

解析：试题分析：因为，解=,鬣礴是可导函数，所以，“寅敏爹=斛”是":独为函数,翼礴极值点”

的必要不充分条件，选8。

考点：函数存在极值的条件。

点评：简单题，解=,豳感是可导函数，".济管碱=口旷’是"旗:为函数》&啜极值点”的必要不充分

条件。

5.答案：D

解析：解：当nua,m//n,有可能mua,故A错误，

当al£,ml/?,有可能mua,故B错误，

当?1〃访m//n,有可能mua,故C错误，

故选：D.

根据空间线面平行的判定定理，结合充分不必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面平行的判定定理是解决本题的关键，是基础题.

6.答案：。

解析：解：取的中点H,链接区”，根据平行可得所求角为8〃与岫'，则根据图形可得选。

7.答案：B

解析：解：由己知的三视图可得：该几何体是一个圆柱与半圆锥的组合体，

圆柱的底面半径为1,高为1,故圆柱的体积为：兀，

半圆锥的底面半径为1,高为豚22—12=

故半圆锥的体积为：包，

6

故组合体的体积为：每+7T,

6

故选：B.

由己知的三视图可得：该几何体是一个圆柱与半圆锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案.

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

8.答案：A

解析：解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为B,则|PF|=|PB|,

••・抛物线y2=4x的焦点为F(1,O),点4(一1,0),

.•・臀=臀!=而44尸，

\PA\\PA\

2

设过A抛物线的切线方程为y=k(x+1),代入抛物线方程可得//+Q/_4)x+k=0,

.­•△=(2/C2-4)2-4/C4>0,

k2<1,

•­\tan/.BAP\>1,

sin484Pe[y,l]-

则^的取值范围是：住,1].

故选：A.

过P作抛物线准线的垂线，垂足为8,则|PF|=|PB|,可得瞿=sin/BAP,设过4抛物线的切线方程

为y=k(x+l),代入抛物线方程可得//+(2忆2一4万+卜2=0,可得△、()，即可得出.

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

9.答案：B

解析:解:若动点P到两个定点|AB|的距离之和为正常数2a,当2a<|AB|时，动点P的轨迹是线段4B,

或不存在，故充分性不成立，

若动点P的轨迹是椭圆，则满足，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”，必要性成立，

故平面内，“动点P到两个定点的距离之和为正常数”是“动点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件,

故选：B.

根据椭圆的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和性质是解决本题的关键.

10.答案：B

解析：解：设P(x,y),则y'=2x-B(x>0)

令2%一1=1,则(％—1)(2%+1)=0,

V%>0,AX=1,

•••y=l,即平行于直线y=x+2且与曲线y=/一相切的切点坐标为(1,1).

由点到直线的距离公式可得d=止聋=V2.

V2

故选：B.

求出平行于直线y=x+2且与曲线y=/一)x相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得

结论.

本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题.

11.答案：2x土y=0

解析：解：因为双曲线的方程为：盘一《=l(a>0,b>0),

所以双曲线的渐近线方程为：y=±£x,

又因为双曲线的离心率为遥，即?=遮，

所以三=5，

a2

由庐=C2—小可得：勺="-。=^--1=4,

a2aza2

所以2=2,

a

所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x.

故答案为：2x±y=0.

由双曲线的标准方程得到其渐近线方程为：y=±-x,再根据双曲线的离心率得到号=5,得到<=

Qa2a2

巴手=2一1=4,得到匕然后求出双曲线的渐近线方程.

zz

aaCL

本题主要考查双曲线的简单性质，解决此题的关键是熟练掌握双曲线的有关性质并且能够进行正确

的运算.

12.答案：3：1

解析：解：•••三个球的半径之比是1：2：3,

.••可设三个球的半径依次r、2r>3r,

根据球的体积公式，得它们的体积分别为

匕=，73,彩二,(2r)3=曰什3,匕=，⑶尸=36717"3,

3+33

二两个较小球的体积之和：Vi+V2=i?rrynr=12/rr,

由此可得，最大的一个球的体积与另两个球的体积之和的比为

36nr3：12nr3=3：1

故答案为：3：1

13.答案：2a

解析：解：圆/+y2-2%+4y+3=0的圆心(1,-2),半径r=+16-12=鱼,

圆心(1,2)到直线的距离d==V2,

.,・圆/+y2-2%+4y+3=0上的点到直线欠-y=1的最大距离为：d+r=V2+V2=2&.

故答案为：

圆/+y2-2x+4y+3=0的圆心(1,一2),半径r=a，圆心(1,2)到直线的距离d=口,」=V2,

圆/+y2_2%+4y+3=0上的点到直线X-y=1的最大距离为：d+r.

本题考查圆上的点到直线的距离的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础

知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.

14.答案：V3—1

解析：解：如图所示：过。作ONLPFi，

•••PR1PF2,•••ON//PF2,又。为FI用的中点，

ON为三角形P&F2的中位线，又。到直线Pa的距离当c，

由椭圆定义可得|PFJ+\PF2\=(V3+l)c=2a，

则6=：=高=8-1，

故答案为：V3—1.

利用数形结合，过。N1Pa,然后利用中位线求出|PFJ的值，进而可以求出IPF2I的值，利用椭圆定

义即可求解.

本题考查了椭圆的定义以及性质，涉及到中位线的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题.

15.答案：3

解析：解：直线x+3y-6=0与直线％：kx-y+m=0,(fc>0,0</n<2),

根据直线方程求得kl2=k,

•••两直线与x轴、y轴的正半轴所围成的四边形有外接圆即两直线互相垂直，

•••-kl2=-1,即-|k=-1,解得％=3，

故答案为：3.

由四边形有外接圆利用坐标轴垂直得到两直线与坐标轴交点的连线是直径，根据直径所对的圆周角

为直角得到两直线垂直，利用直线垂直时斜率乘积为-1解得k即可.

本题考查实数值的求法，考查灵活运用圆的性质解决实际问题，掌握两直线垂直时的条件等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题.

16.答案:相交

解析：

本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式.圆与圆位置关系的判定方法为：

0<d<|/?—r|,两圆内含；d=\R-r\,两圆内切；|R-r|<d<R+rO寸，两圆相交；d=R+r

时，两圆外切；d>R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）.

把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r,利用两点间的距离公式求出

两圆心的距离d,与半径和与差的关系判断即可..

解：由圆G：/+y2+2乂+3y+1=0,化为(x+I)2+(y+1)2=圆G：x2+y2+4x+3y+2=

0,化为Q+2)2+(y+|)2=9,

得到圆心G（—1，—|），圆心。2（—2,—|）,且R=r=亨,

.•.两圆心间的距离d=1,

1A/173

•---------1—>JL>--------------，

2222

・•・圆G和圆的位置关系是相交.

故答案为：相交.

17.答案：W

解析：解：如图，以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线

与桌面所成的角为£

^ABD=a水面所在直线EF〃桌面所在直线CD,4ABF=p

rr

・・・乙CBF=

3

・••圆柱母线与水面所在平面所成的角4EFB=Z.CBF=%

故答案为:p

作出图形，数形结合能求出结果.

本题考查线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能

力、推理论证能力，是中档题.

18.答案：解：(I);P在线段M&的中垂线上，

又P在线段MF?上，PM+PF2=MF2=2V2,

PF]+PF2=2V2,而FM2=2,

•••动点P的轨迹G是以&,尸2为焦点的椭圆，

设椭圆方程为9+白=1,则2a=2企，c=1,：.a=V2，b=1,

a2b2

・••动点P的轨迹方程为J+y2=l.

(H)①当I的斜率不存在时，不妨取4(1号，BQ-日)，

C(2,-号)，直线4c的方程为+y-誓=0，

此时易知AC过点G，0).

②当I的斜率存在时，设/的方程为：y=k(x-1)

联立方程组6+/=1,消去y得：(1+2炉)/一轨2尤+2卜2_2=0,

ly=k(x—1)

设4(xi，yi)、B(x2,y2^则C(2,y2)，且＜+%2=若2，与物=卷卷，

1•KJL十

直线4c方程为y-丫2=转(％-2),

X]一/

kxr-kx2k(xr-x2)(x-2)+k(x2-1)(%1-2)

,,,丫二.一2(X—2)+k(x2—1)二

rz4k2、22k2-2]

bxx--x-x

k(xx1—xx2-3x4-xxx2+2)^Li—(i+2k2i)^i+i+2k2+2J

-2%1一2

_可3-3)%1-石2k乔2(2欠-3)]

一

当尤=|时，y=0；

综上可知，直线AC恒过定点(|,0).

解析：(/)由中垂线性质可得PM+P4=MF2=2近,故而P点轨迹为Fi，F2为焦点的椭圆，利用定

义求出a,b即可得出方程；

(〃)讨论直线/的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系求出直线4C的方程，根据方程判断即可.

本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，注意根与系数的关系应用，属于中档题.

19.答案：解(1)因为E,F分别为侧棱PB,PC的中点，所以EF〃BC.

因为BC//AO,所以EF//4。.而EFC平面P40,4。u平面P40,

所以EF〃平面PAD.

(2)因为平面A8CD1平面PAC,平面ABC。n平面P4C=AC,

S.PA1AC,PAu平面P4C,

所以P41平面ABC。，又40u平面4BCD,所以P4140.

又因为AB14D,PAr\AB=A,所以AD_L平面PAB,

而4Du平面4FD,所以平面4FD，平面PAB.

(3)在棱PC上显然存在点F使得4F1PC.

由已知，AB1AD,BC//AD,AB=BC=1,AD=2.

由平面几何知识可得CD1AC.

由(2)知，PA1平面ZBCD,所以PA1CD,

因为PAnAC=4所以CDJ■平面P4C.

而4Fu平面P4C,所以C0_L4F.

又因为CDnPC=C,所以AF1•平面PCD.

在△P4C中，PA=2,AC=V2,^PAC=90°,

可求得，PC=粕，PF=—.

3

可见直线4尸与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为辿.

3

解析：⑴易得E/7/4D，利用线面平行的判定证明，

(2)易得40_L平面P4B,利用面面垂直的判定，可得40u平面AFO,所以平面AF。_L平面P4B.

(3)易得CD1平面PAC.只需在棱PC上存在点尸使得4F1PC即可.

本题考查了空间点、线、面位置关系，属于中档题.

20.答案：(1)证明：设直线1方程为x=my+'个

4(mG/?),与抛物线方程联立可得：y2-1，/

2amy-8a=0,/—•

再设点4缁,yj,B(宗丫2)，贝(ly「y2=-8a

Y=t

所以自=念=箴=至2a=一^=F,故的+的=。--（7分）

2ayl

（2）解：因为a=2,所以抛物线的方程为：y2=4%.

记线段AP中点即圆心为。，（当竺,葭），则圆的半径r=|0，P|=J（曾—4）2+#,

假设存在这样的直线,记作八x=t.若要满足题意,只需产-这为常数即可.——（10分）

故产-d2=（誓一4）2+?_（t-智＞=（；-；）yf-t2+4t

所以:=；,即t=3时，能保证为常数，故存在这样的直线八%=3满足题意.——（15分）

解析：⑴设直线⑵程与抛物线方程联立可得：/一2m^-8a=0,表示出直线ZQ,BQ的斜率,

利用韦达定理可证；

（2）假设存在这样的直线，记作八％=t.若要满足题意，只需产-d2为常数即可.

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查圆中弦长的计算，属于中档题.

21.答案：解：(1”.•正△ABC的边长为3,且等=胃=5

UDEtn4

AD=1,AE=2,

△AOE中，/.DAE=60°,由余弦定理，得

DE—Vl2+22—2xlx2xcos60°=V3

vAD2+DE2=4=AE2,•••AD1DE.

折叠后，仍有ZiC_LDE

•.•二面角4-DE-B成直二面角，.•.平面ADE_L平面BCDE

又•••平面&DE介平面BCOE=DE,&。u平面&OE,ArD1DE

二平面BCED；

（2）假设在线段8c上存在点P,使直线P4与平面&BD所成的角为60。

如图，作PH1BD于点H,连接44、41P

由（1）得40,平面BCEO,而PHu平面BCEO

所以

•••Ai。、BD是平面&BD内的相交直线，

•••PH平面&BD

由此可得NP&H是直线P&与平面&BD所成的角，即=60°

设PB=x(0<x<3),则BH=PBcos60°=；,PH=PBsin600=yx

X

在RtAPAi”中，/.PA^H=60°,所以4担2’

在RtAZMiH中，ArD=1,OH=2-1

22

由公屏+DH2=4]“2,得12+Q一1%)=(ix)

解之得x=|,满足0<x<3符合题意

所以在线段BC上存在点P,使直线P&与平面&BD所成的角为60。，此时PB=|.

解析：(1)等边△ABC中，根据得到4)=1且4E=2,由余弦定理算出DE=百，从而得

UHD/1N

到4。2+DE2=AE2t所以4D1DE.结合题意得平面4DE1平面BCDE,利用面面垂直的性质定理，

可证出&D_L平面BCED；

(2)作PH1BD于点H,连接&H、ArP,由40，平面BCE。得所以PH1平面48。，可

得ZP&H是直线P4与平面4道。所成的角，即4P4力=60。.设PB=x(04xW3)