数学实验 课件 第3章 MATLAB符号运算

3.1符号变量及表达式

MATLAB中定义的数据默认为数值类型，要进行符号运算必须先将数值型的数字或变量转为符号类型．3.1.1符号变量的创建

符号对象的类型在MATLAB中称为sym，而且定义符号对象的常见命令就是sym．sym函数常见的调用语法如下：①x=sym('x')创建符号变量x②symsvar1...varN创建符号变量var1...varN③

A=sym('a',[mn])创建一个符号矩阵A，矩阵的维度为m×n.若m=n，则可以简写为A=sym('a',n)，还可以利用%d设置元素下标的格式.④sym(num)将数值常数或数值矩阵转换成符号常数或符号矩阵⑤A=double(B)将符号常数或符号矩阵转换成数值常数或数值矩阵注：sym函数一次只能定义一个符号变量，使用不方便.而syms函数一次可以定义一个符号变量，也可以一次定义多个符号变量.syms函数使用起来比sym函数更加简洁.例3.1使用syms函数创建符号变量.>>symsxyz>>whosNameSizeBytesClassAttributesx1x18symy1x18symz1x18sym例3.2创建符号矩阵．>>A=[1/3+5,pi/4;sqrt(5),pi+exp(2)]%A是数值矩阵A=5.33330.7854

2.236110.5306>>B=sym(A)B=[16/3,pi/4][5^(1/2),5928228224727581/562949953421312]%B是符号矩阵>>double(B)%将B转换成数值矩阵，即为Aans=5.33330.78542.236110.5306>>c=sym('a',[2,3])c=[a1_1,a1_2,a1_3][a2_1,a2_2,a2_3]>>A=sym('a',[24])A=[a1_1,a1_2,a1_3,a1_4][a2_1,a2_2,a2_3,a2_4]>>A=sym('a%d%d',[24])A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24]>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>A=sym(A)A=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]3.1.2符号表达式的创建创建符号表达式，首先创建符号变量，然后使用变量进行操作.例定义符号表达式.>>symsabcx>>f=a*x^2+b*x+cf=a*x^2+b*x+c在表3-1中列出了符号表达式的常见格式与易错写法.正确格式错误格式symsx;x+1sym('x+1')exp(sym(pi))sym('exp(pi)')symsf(var1,…,varN)f(var1,…,varN)=sym(‘f(var1,…,varN)’)表3-1符号表达式的常见格式与易错写法3.2符号表达式的运算1．基本运算

（1）符号矩阵的四则运算：+，-，*，\，/.和数值矩阵的四则运算完全相同．

（2）符号矩阵的其他一些基本运算：和数值矩阵的运算格式相同，包括转置（'）、行列式（det）、逆(inv)、秩(rank)、幂（^）和指数(exp)等运算．2．符号表达式的化简与替换

（1）符号表达式的因式分解factor(S)因式分解符号矩阵S的各个元素，如果S包含的所有元素为整数，则最佳因式分解式将被计算．例3.4因式分解．>>symsx>>factor(x^9-1)ans=[x-1,x^2+x+1,x^6+x^3+1]>>f=factor(200)f=22255>>prod(f)ans=200（2）符号表达式的展开expand(S)对符号矩阵的各个元素的符号表达式进行展开例3.5将(x+1)3和sin(x+y)展开．

>>symsxy

>>expand((x+1)^3)

ans=

x^3+3*x^2+3*x+1

>>expand(sin(x+y))ans=

sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)可知(x+1)3=x3+3x2+3x+1，

sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)（3）合并符号表达式的同类项collect(S,v)将符号矩阵S中的各个元素v的同幂项系数合并.

例3.6将x2y+yx-x2-2x合并同类项.

>>collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)

ans=

(y-1)*x^2+(y-2)*x

可知x2y+yx-x2

-2x=(y-1)x2+(y-2)x.（4）符号表达式的化简simplify(S)简化符号表达式S例3.7simplify函数的使用.

>>symsx

>>simplify(cos(x)^2+sin(x)^2)

ans=

1

>>simplify((1-x^2)/(1-x))

ans=

x+1（5）符号表达式的替换subs(s,old,new)将符号表达式s中的old变量替换为new变量.例3.8subs函数的使用.

>>symsab

>>subs(a+b,a,5)

ans=

b+5例3.9验证三角函数等式>>symsab>>y=simplify(cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b))y=

cos(a+b)3.精度计算

符号表达式与数值表达式分别使用函数digits和函数vpa进行精度设置．

digits(n)

设置n个有效数字的近似解精度，.vpa(s,d)

求符号表达式s的数值解，该数值解的有效数字位数由d指定.如果不指定d，则求digits函数设置的精度的数值解.例3.10将

显示4位有效数字，

显示8位有效数字．>>digits(4);>>a=vpa(1/3)a=

0.3333>>vpa(sqrt(7),8)ans=

2.64575134.符号方程求解

MATLAB中利用solve函数求解线性方程组的符号解析解．

S=solve(eqn,var)对变量var求解方程eqn，若var缺省，默认求解一元方程

Y

=solve(eqns,vars)对变量vars求解方程组eqns例3.11求解方程>>symsabcx>>eqn=a*x^2+b*x+c==0%注意方程的表示方式eqn=

a*x^2+b*x+c==0>>S=solve(eqn)S=

-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)

-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)方程的解为例3.12求解如下线性方程组>>symsxyz>>eqn1=x-2*y-z==4;>>eqn2=2*x-10*y+z==5;>>eqn3=3*x+8*y==6;