2025版新高考版高考总复习数学　解三角形

2025版新高考版高考总复习数学5.4解三角形五年高考考点1正弦定理、余弦定理1.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则B=()A.π10C.3π答案C2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()A.1B.2C.答案D3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()A.1答案A4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB=()A.5B.2C.45答案C5.(2019课标Ⅰ文,11,5分,易)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=(A.6B.5C.4D.3答案A6.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

答案227.(2019课标Ⅱ文,15,5分,易)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.

答案348.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.解析(1)在△ABC中,由余弦定理,得BC2=22+12-2×2×1×cos120°=7,则BC=7.(3分)由正弦定理,得ACsin∠则sin∠ABC=AC·sin∠BACBC=(2)在Rt△ABD中,由(1)知sin∠ABD=2114,且∠ABD为锐角,所以tan∠ABD=3在Rt△ABD中,AB=2,则AD=AB·tan∠ABD=2×35=235在△ADC中,∠DAC=30°,AC=1,∴△ADC的面积S=12×235一题多解(2)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,∴S△ABC=12×2×1×sin120°=3又S△∴S△ACD=15S△ABC=9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.解析(1)证明:由题设得BD=asin在△ABC中,由正弦定理知csin即sinC代入BD=asinCsin∠ABC中,得BD=acb,又∴BD=b.(4分)(2)解法一:由AD=2DC得AD=23b,DC=b在△ABD中,cosA=AD在△ABC中,cosA=AC故c2−59b243bc=b2又b2=ac,(7分)所以3c2-11ac+6a2=0,即(c-3a)(3c-2a)=0,所以c=3a或c=23a.(8分)当c=3a时,b2=ac=3a2,所以b=3a,此时a+b<c,故a,b,c构不成三角形;(10分)当c=23a时,b2=ac=23a2,所以b=6此时a,b,c可以构成三角形,(11分)故c=23a,b=63a,所以在△ABC中,cos∠ABC=a2+c解法二:同解法一得到2a=3c或3a=c.(8分)当2a=3c时,a=32c,b2=ac=32c由余弦定理的推论得cos∠ABC=94c2+c当3a=c时,a=c3,b2=ac=c由余弦定理的推论得cos∠ABC=c29+c2−c2综上,cos∠ABC=712.(12分)考点2解三角形及其综合应用1.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=.

答案2(2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=答案3-13.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cos∠MAC=.

答案213;24.(2020全国Ⅰ,16,5分,中)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

答案-15.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.解析(1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=π4,B=3π4-又∵2sin(A-C)=sinB,∴2sinA−即222sinA整理得sinA=3cosA,又∵sin2A+cos2A=1,A∈0,3π4,∴sinA=31010.(2)解法一:过C作CD⊥AB,垂足为D,如图.在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsinA,即5sinπ4=由(1)知cosA=1010∴sinB=sin3π4−A=2在Rt△BCD中,CD=BC·sinB=35×2即AB边上的高为6.(10分)解法二:由(1)知C=π4,sinA=31010,cosA则sinB=sin3π4−A=2在△ABC中,由正弦定理得ABsin∴522=AC255=BC31010,∴∴S△ABC=12AC·BC·sinC设AB边上的高为h,则12×5h=15,∴h=6.(10分)6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB(2)若b2+c2=8,求b,c.解析由题意知S△ABC=3,BD=DC,∴S△ADC=32(1)∵S△ADC=12DA·DC·sin∠ADC=32,DA∴DC=2,∴BD=2,易知∠ADB=2π3,(2分)在△ADB中,由余弦定理可知,AB2=BD2+DA2-2DA·DB·cos∠ADB,即AB2=22+12-2×1×2×−12∴AB=7,(3分)∴cosB=AB∴sinB=1−cos2B=1−∴tanB=sinBcosB=3(2)如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE,易得四边形ABEC为平行四边形,∴AB=CE,AC=BE,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,AE2=AC2+CE2-2AC·CEcos∠ACE,两式相加得BC2+AE2=2(AB2+AC2),即BC2+AE2=2(b2+c2)=16,又AE=2AD=2,∴BC2=12,∴BC=23,(7分)∵S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC=∴sin∠ADC=1,∴AD⊥BC,∴b=c,(9分)又b2+c2=8,∴b=c=2.(10分)7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=23,求解析(1)由题意得S1=34a2,S2=34b2,S3=34∴S1-S2+S3=34(a2-b2+c2)=32,即a2-b2+c2由cosB=a2+c2−b22ac得a2+c故2accosB=2,∴accosB=1,(3分)又∵sinB=13,∴cosB=223∴ac=324,∴S△ABC=12acsin(2)由正弦定理asin又知ac=324,sinAsinC=23,(∴b2sin2∴b=32sinB=38.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+解析(1)∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=即cosA∴cosAcosB-sinAsinB=sinB,即cos(A+B)=sinB,又C=2π3,(3分)∴sinB=cos(A+B)=-cosC=-cos2π3∵0<B<π3,∴B=π6.(4分(2)由(1)知,sinB=cos(A+B)=-cosC,∵sinB>0恒成立,∴C∈π2∵-cosC=sinC−∴C-π2=B或B+C−π2∴A=π2-2B,∵A>0,∴B∈0,π4,(∴a=(2cos2B−1)2令cos2B=t,t∈12∴a2+b2c2=(2t−1)2+(1−t)t=4t+2t−5≥42-5,∴a2+b2c29.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.解析(1)2sinC=3sinA⇒2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cosA=b2+c2−a2∴S△ABC=12bcsinA=(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cosC=a2+b2−c22ab<0⇒a2+b2<c2⇒a2+(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.(12分)三年模拟综合基础练1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为1,A=π3,则AC·cosC+AB·cosB=(A.1答案D2.(2024届河南TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且b=2a,2a2+b2=c2,则sinB=()A.1答案C3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sinB=sin2A,c=2a,则()A.∠B为直角B.∠B为钝角C.∠C为直角D.∠C为钝角答案C4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD=32km,同时在C、D两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为()A.32答案D5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长a,b,c直接求三角形面积S的公式,表达式为S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中p=a+b+c2;它的特点是形式漂亮A.87B.4答案C6.(2023北京房山一模,14)在△ABC中,sinA=sin2A,2a=3b,则A=;bc的值为答案π3;7.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cosA=2sinA2sin∠ABC+(1)求A;(2)若△BCD的面积为12,求解析(1)因为cosA=2sinA2sin∠ABC+C2=2sinA因为A∈(0,π),所以A=π4(2)作BE⊥AC,垂足为E,在△ABD中,由A=π4,AB⊥BD知△ABD为等腰直角三角形,因为AB=2,所以BD=2,AD=2,BE=1由△BCD的面积为12BE·CD=12,解得CD=1,可得AC=AD+CD综合拔高练1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1tanA+1tanB=1A.1B.2C.3D.4答案C2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小值为()A.2B.3C.1D.2答案B3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足b2=a(a+c),则b+ca的取值范围为(A.(1,5)B.(2+1,5)C.(1,3+2)D.(2+1,3+2)答案D4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列与△ABC有关的结论,正确的是()A.若a=2,A=30°,则b+2B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰直角三角形C.若△ABC是锐角三角形,则cosA<sinBD.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△答案ACD5.(2023河南郑州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其中sinC=3sinA,B=60°,b=7.若B的角平分线BD交AC于点D,则BD=.

答案36.(2024届湖南郴州一模,19)已知向量a=(sinx,1),b=(3cosx,-2),函数f(x)=(a+b)·a.(1)若a∥b,求cos2x的值;(2)已知△ABC为锐角三角形,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,b=2,且f