2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡集团“觉园杯”七年级（下）创新选拔培数学试卷(含解析)

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡集团“觉园杯”七年级（下）创新选拔培数学试卷一、填空题（每题8分，共120分）1．（8分）八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，八进制数3747换算成二进制数是．2．（8分）设＝，其中a、b、c、d都是正整数，则a+b+c+d＝．3．（8分）已知x1，x2，…，xn中xi（i＝1，2，…，n）的数值只能取﹣2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+xn＝﹣17，++…+＝43，则（++…+）2的值为．4．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，扇形ABE半径AE＝6，扇形CBF的半径CB＝4，则阴影部分的面积为．5．（8分）[]+[]+…+[]+[]的值为．{其中[x]表示不超过x的最大整数}6．（8分）已知非负实数a，b，c满足，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．7．（8分）已知凸四边形ABCD中，AC，BD中点分别为E，F，EF交AB于点H，交CD于点G．若△DAG，△ABG，△BCG的面积分别为2，5，4，则△CDH的面积为．8．（8分）方程：的解为．9．（8分）32023除以26的余数是．10．（8分）把2023表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有种．11．（8分）图中的三角形都是等边三角形，甲三角形的边长是24.7，乙三角形的边长是26．则丙三角形的边长是．12．（8分）如图，AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝AE，AF⊥DE，则＝．13．（8分）已知正整数n，使得对任意正整数x、y，z，都有n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），则n的最大值为．（a|b表示a整除b）14．（8分）若270n是100×99×98×…×3×2×1的因数，则n最大可以取．15．（8分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝10；x＝6时，y＝12；x＝7时，y＝14．则当x＝4时，y的值为．二、解答题（每题16分，共80分）16．（16分）解方程：．17．（16分）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（2）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数．18．（16分）一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”．例如：1276．∵1+7＝8，2+6＝8，∴1+7＝2+6＝8，∴1276是“乐群数”．又如：3254，∵3+5＝8，2+4＝6≠8，∴3254不是“乐群数”．（1）请判断：1473“乐群数”，6523“乐群数”（填“是”或“不是”）；（2）已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”；（3）是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由．19．（16分）如图，凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，求S△CFD：S△ABE的值．（16分）设a，b，c满足a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣5，abc＝1，求（a2﹣4ab+b2）（b2﹣4bc+c2）（c2﹣4ca+a2）的值．参考答案与试题解析一、填空题（每题8分，共120分）1．（8分）八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，八进制数3747换算成二进制数是2023．【解答】解：∵（3747）8﹣（3745）8＝2，∴2021+2＝2023．故答案为：2023．2．（8分）设＝，其中a、b、c、d都是正整数，则a+b+c+d＝10．【解答】解：∵a，b，c，d均为正整数，∴，，都是真分数，∴a+＝＝1+，∴a＝1，b+＝＝6+，∴b＝6，c+＝＝1+，∴c＝1，d＝2，∴a+b+c+d＝1+6+1+2＝10．故答案为：10．3．（8分）已知x1，x2，…，xn中xi（i＝1，2，…，n）的数值只能取﹣2，0，1中的一个，且满足x1+x2+…+xn＝﹣17，++…+＝43，则（++…+）2的值为5929．【解答】解：∵当xi＝1或0时，xi＝＝，∴xi＝﹣2的个数为：（43+17）÷（4+2）＝10，∴++…+＝﹣17+10×{﹣8﹣（﹣2）}＝﹣77，∴（++…+）2＝5929．故答案为：5929．4．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，扇形ABE半径AE＝6，扇形CBF的半径CB＝4，则阴影部分的面积为13π﹣24．【解答】解：×6×6×π﹣（4×6﹣×4×4×π）＝9π﹣（24﹣4π）＝13π﹣24．答：阴影部分的面积为13π﹣24．故答案为：13π﹣24．5．（8分）[]+[]+…+[]+[]的值为588．{其中[x]表示不超过x的最大整数}【解答】解：由题意可知：﹣1＜[]＜①，﹣1＜[]＜②，①+②，得﹣2＜[]+[]＜，则得27＜[]+[]＜29，∴[]+[]＝28，同理可得：[]+[]＝28，……，则原式＝28×21＝588，故答案为：588．6．（8分）已知非负实数a，b，c满足，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．【解答】解：∵，∴a﹣1＝＝，∴b＝2a+1，c＝8﹣3a，∵a≥0，b≥0，c≥0，∴0≤a≤，∴S＝a+2b+3c＝a+2（2a+1）+3（8﹣3a）＝26﹣4a，∴≤S≤26，当S＝时，a＝，b＝，c＝0，符合题意；当S＝26时，a＝0，b＝1，c＝8，符合题意；∴m＝26，n＝，∴＝．故答案为：．7．（8分）已知凸四边形ABCD中，AC，BD中点分别为E，F，EF交AB于点H，交CD于点G．若△DAG，△ABG，△BCG的面积分别为2，5，4，则△CDH的面积为5．【解答】解：连接DH，CH，∴S△DHF＝S△BHF，S△BFG＝S△DFG，∴S△HBG＝S△HDG，同理S△AHG＝S△CHG，∴S△CDH＝S△DHG+S△CHG＝S△BHG+S△AHD＝S△ABG＝5，故答案为：5．8．（8分）方程：的解为x＝2024．【解答】解：原方程转化为，，即，∴x＝2024故答案为：x＝2024．9．（8分）32023除以26的余数是3．【解答】解：3÷26＝0……3，9÷26＝0……9，27÷26＝1……1，81÷26＝3……3，……∴3n除以26的余数按照3，9，1，3，9，1……的规律进行变化，∵2023÷3＝674……1，∴32023除以26的余数是3．故答案为：3．10．（8分）把2023表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有12种．【解答】解：设2023＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝2023，∵2023＝1×2023＝7×289＝17×119，∴a+b＝2023，a﹣b＝1或a+b＝289，a﹣b＝7或a+b＝119，a﹣b＝17，分别求出对应的a、b共三组，每组a、b可以取负数，∴共有4×3＝12种表示方法．故答案为：12．11．（8分）图中的三角形都是等边三角形，甲三角形的边长是24.7，乙三角形的边长是26．则丙三角形的边长是15.6．【解答】解：将边长相同的三角形编号，设丙的边长为x，∴a的边长为：24.7﹣x，c的边长为：26﹣x，∴b的边长为：x﹣（24.7﹣x）＝2x﹣24.7，∴e的边长为：26﹣x﹣（2x﹣24.7）＝50.7﹣3x，∴d的边长为：2x﹣24.7﹣（50.7﹣3x）＝5x﹣75.4，∴f的边长为：24.7﹣x+5x﹣75.4＝4x﹣50.7，∴g的边长为：4x﹣50.7+5x﹣75.4＝9x﹣126.1，∴9x﹣126.1+4x﹣50.7＝26，解得：x＝15.6．故答案为：15.6．12．（8分）如图，AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝AE，AF⊥DE，则＝．【解答】解：过A作AG∥DE，AG＝DE，连接BG，DG，过A作AH⊥BC于H，过G作GP⊥AH于P，∴四边形AEDG是平行四边形，∴∠DAE＝∠ADG，AE＝DG，又∵AE＝BD，∴BD＝DG，∴∠ABG＝∠ADG＝∠BAC，∵AB＝AC，∴AH是∠BAC的平分线，∴∠ABG＝∠BAH，∴BG∥AH，又∵PG⊥AH，BH⊥AH，∴PG∥BH，∴四边形PGBH为矩形，∴PG＝BH，∵DE⊥AF，AG∥DE，∴AF⊥AG，∴∠AGP+∠FAH＝90°，∵∠AGP+∠GAP＝90°，∴∠AGP＝∠FAH，∴△AGP∽△FAH，∴AF：AG＝AH：PG，∵PG＝BH，AG＝DE，∴＝，∵AB＝AC，∴AH为△ABC的中线，∴BH＝BC＝3，∴AH＝＝4，∴＝．故答案为：．13．（8分）已知正整数n，使得对任意正整数x、y，z，都有n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），则n的最大值为12．（a|b表示a整除b）【解答】解：当x＝1，y＝2，z＝3时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝120＝12×10，当x＝2，y＝3，z＝4时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝420＝12×35，当x＝3，y＝5，z＝4时，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝﹣1008＝12×（﹣84），∵n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），∴n为（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）的最大公因数，综上所述，n的最大值为12，故答案为：12．14．（8分）若270n是100×99×98×…×3×2×1的因数，则n最大可以取16．【解答】解：∵270＝2×33×5，∴270n＝2n×33n×5n，∵100÷2＝50，100÷4＝25，100÷8＝12……4，100÷16＝6……4，100÷32＝3……4，100÷64＝1……36，∴100×99×98×…×3×2×1有因数2的个数为：50+25+12+6+3+1＝97，∵100÷3＝33……1，100÷9＝11……1，100÷27＝3……19，100÷81＝1……19，∴100×99×98×…×3×2×1有因数3的个数为：33+11+3+1＝48，∵100÷5＝20，100÷25＝4，∴100×99×98×…×3×2×1有因数5的个数为：20+4＝24，∴，∴n≤16，∴n最大可以取16．故答案为：16．15．（8分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝10；x＝6时，y＝12；x＝7时，y＝14．则当x＝4时，y的值为2．【解答】解：根据x，y的取值，联立方程：，解得：，∴原函数为：y＝x3﹣18x2+109x﹣210，当x＝4时，y＝64﹣18×16+4×109﹣210＝2．故答案为：2．二、解答题（每题16分，共80分）16．（16分）解方程：．【解答】解：∵a2＝1﹣ab，b2＝3﹣ab，∴a2+ab＝1，b2+ab＝3，两式作比：＝，∴b＝3a，∴a2+3a2＝1，∴a＝±，∴方程的解为：或．17．（16分）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2．（2）如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数．【解答】解：（1）由图中可以数出，四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6，通过表格可以推出，V+F﹣E＝2，故答案为6，6，V+F﹣E＝2，（2）设黑皮有x个，白皮有y个，则这个足球的面数为：x+y，棱数为：，顶点数为：，由欧拉公式可得：+x+y﹣＝2，解得：x＝12，∵1个黑皮与5个白皮相邻，1个白皮与3个黑皮相邻，∴白皮个数为12×5÷3＝20（个），故正五边形有12个，正六边形有20个．18．（16分）一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数，若其千位数字与十位数字之和等于8，百位数字与个位数字之和也等于8，则称这个四位正整数为“乐群数”．例如：1276．∵1+7＝8，2+6＝8，∴1+7＝2+6＝8，∴1276是“乐群数”．又如：3254，∵3+5＝8，2+4＝6≠8，∴3254不是“乐群数”．（1）请判断：1473不是“乐群数”，6523是“乐群数”（填“是”或“不是”）；（2）已知一个“乐群数”的千位比百位数字小3，把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调，对调后得到的新数比原数大3762，求这个“乐群数”；（3）是否存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”？若存在，请求出满足条件的“乐群数”；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵1+7＝8，4+3＝7≠8，∴1473不是“乐群数”，∵6+2＝5+3＝8，∴6523是“乐群数”，故答案为：不是，是；（2）设这个“乐群数”的千位数字为x，则百位数字为x+3，十位数字位8﹣x，个位数字位8﹣（x+3）＝5﹣x，根据题意得：1000x+100（x+3）+10（8﹣x）+5﹣x+3762＝1000（8﹣x）+100（5﹣x）+10x+x+3，解得x＝2，∴这个“乐群数”为2563；（3）存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”，理由如下：设这个“乐群数“为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且a＜b，∴M的十位数字是8﹣a，个位数字是8﹣b，∴M＝1000a+100b+10（8﹣a）+8﹣b＝990a+99b+88，∵M被7除余3，∴M﹣3能被7整除，∵M﹣3＝990a+99b+85，∴＝＝＝14（10a+b）+12+，∴10a+b+1能被7整除，∵a＜b，∴当a＝1，b＝3；a＝2，b＝7；a＝3，b＝4时，满足题意，∴M为1375或2761或3454．19．（16分）如图，凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，求S△CFD：S△ABE的值．【解答】解：连接BG，设△CDF的面积为4，∵BF：DF＝5：4，∴S△BCF＝5，∵CF：FG：GE＝2：2：3，∴S△GDF