【高中数学】直线与圆（附解析）

专题13直线与圆

0基础巩固

一、选择题

1.直线x+gy+i=o的倾斜角是()

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知直线mx+2y+3=0与直线3x+(加一l)y+m=0平行，则实数加=()

A.-2B.3C.5D.-2或3

3.若方程/+>2-2彳一机=0表示圆，则，〃的范围是()

A.(—co,—l)B.[―1,+8)C.(-l,+oo)D.(—oo,-l]

4.直线ar+y-l=0与圆x2+/—4x-4y=0交于两点，若|AB|=4,则。=()

4433

A.一一B.—C.一一D.—

3344

5.已知直线x+2ay-1=0与直线(3a-l)x-y-l=0垂直，则。的值为()

11

A.0B.1C.-D.-

63

二、填空题

6.若加取任何实数，直线/："a+y—l+2根=0恒过一定点，则该点的坐标为.

7.圆(X—1)2+y2=1的圆心到直线X+6y+1=o的距离为.

8.过点P(1,D作圆/+,2+2彳-1=0的切线，切点为A,则|P4|=.

三、解答题

9.已知圆C:x2+y2_2x+4y-4=0和直线/：3x-4y+9=0,点P是圆C上的动点.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)求点P到直线/的距离的最小值.

10.已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的之比为4.

2

(1)求点〃的轨迹方程，并说明它是什么图形;

（2）求点M到直线2x+y-13=0的距离的最大值和最小值.

0知能提升

一、选择题

11.圆/+丫2-4》+2丫+1=0上到直线/：X+y+l=O的距离为1的点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.若函数当=_j4_（x—l）2的图象与直线x_2y+m=0有公共点,则实数用的取值范围为（）

A.[-2\/^-1,-2A/^+1]B.2-\/5—1,1J

C.[―2>/^+1,—1]D.[—3,1]

二、填空题

11

1

、--

13.直线⑪+勿=1（。>0,〃>0）与曲线炉+y2-2犬一4>+1=0交于AB,且|AB|=4,〃

a

的最小值为__________

14.一条光线从点（—2,1）射出，经X轴反射后与圆（X-3）一+（）'-4）一=1相切，则反射光线所在直线的斜

率为•

三、解答题

15.在平面直角坐标系中，曲线y=/-6九+1与坐标轴的交点都在圆C上.

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x—y+a=O交于A,B两点，且。4_LQ6,求。的值.

考点13直线与圆

0基础巩固

一、选择题

1.直线X+百y+l=o的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】直线x+J5y+l=0的斜率k=

V3T

设其倾斜角为6(0°<0<180°),

73

则tan0-----,

3

.\(9=150o

故选D

2.己知直线松+2y+3=0与直线3工+(〃2-1))+m=0平行，则实数”?=()

A.-2B.3C.5D.-2或3

【答案】A

【解析】当加=1时，显然不符合题意，所以加H1,

77733777

由松+2丁+3=0得＞=---x——,由3%+(m-l)y+〃2=0得y=------x---------

22m-\m-\

m_3

:m~X,解得加=—2.

所以

__3/____m__

.2m-\

故选A.

3.若方程/-2x-/篦=0表示圆，则根的范围是()

A.(-oo,-l)B.f-1,+00)C.(-l,+oo)D.(-oo,-l]

【答案】C

【解析】方程配方后得(％-1)2+/=1+机，它表示圆，则1+加＞0,m＞-\.

故选C.

4.直线or+y-1=0与圆f+y2—4%一4旷=0交于A,8两点，若|AB|=4,则。=(

4433

A.B.C.D.

3344

【答案】D

【解析】由题得(x—2)2+(y—2)2=8,它表示圆心为(2,2),半径为20的圆.

I。c2c|2<a+2-l|12«+11

则圆心到直线的距离d=J8-2-=2=—=,

\la2+lVa+1

所以。=巳3

4

故选D

5.已知直线x+2ay-l=0与直线(3a-l)x-y—l=0垂直，则”的值为()

1

A.0B.1D.-

3

【答案】B

【解析】因为两直线垂直所以：1x(3l)+2ax(-1)=0,

解得：4=1.

故选B.

二、填空题

6.若俄取任何实数，直线/："优+丁-1+2%=0恒过一定点，则该点的坐标为.

【答案】(一2,1)

/、fx+2=0fx=-

【解析】将直线/的方程变形为m(x+2)+y—1=0,得《，_]_0，解得j

因此，直线/所过定点的坐标为(-2,1).

故填(-2,1).

7.圆(x-1)-+y2=1的圆心到直线x+6y+l=()的距离为.

【答案】1

【解析】圆(x—lY+y2=i的圆心坐标为(1,0),

所以圆(x—lp+y2=l的圆心到直线大+百丁+1=0的距离为：

故填1

8.过点尸(1,1)作圆/+3；2+2》_1=0的切线，切点为A,则|尸A|=.

【答案】V3

【解析】由题得(8+1)2+丁=2,所以圆。的圆心为(一1,0),半径为0.

所以|PC|=J(I+1)2+12=#),

所以|PA|=后―应=后

故填百

三、解答题

9.己知圆C:x2+y2_2x+4y-4=0和直线/：3x-4y+9=0,点尸是圆C上的动点.

(I)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)求点尸到直线/的距离的最小值.

【解析】(1)由圆。：/+/一2%+4卜一4=0,

化为(x—l)2+(y+2/=9,

所以圆C的圆心坐标(1,-2),半径为3.

(2)由直线/：3x-4y+9=0,

|3xl-4x(-2)+9|

所以圆心到直线的距离d=和+(14『=4

所以点尸到直线/的距离的最小值为4—3=1.

10.已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的之比为!.

2

(1)求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；

(2)求点M到直线2x+y-13=0的距离的最大值和最小值.

【解析】⑴设M(x,y),•••点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比为:，

化简可得(x+l>+y2=4,

即点M的轨迹方程为。+1尸+尸=4,以(一1,0)为圆心，2为半径的圆.

()

(2)圆心(-1,0)到直线2%+/-13=0距离为已=卜：-—1'=36,

Vl2+22

点M到直线2x+y—13=0的距离的最大值为d+r=3亚+2,

最小值为d-r=36-2.

0知能提升

一、选择题

11.圆Y+y2_4x+2y+l=0上到直线/：X+y+l=O的距离为1的点有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】由圆的方程x、y2-4x+2y+l=0,得圆心坐标C(2,-l),半径为r=2，

由圆心到直线/：%+丁+1=0的距离为1=2击』=血，

所以圆Y+y2-4x+2y+l=0到直线/：》+>+1=0的距离为1的点有且仅有2个，

故选B.

12.若函数y=—J4—(x—l)2的图象与直线工一2「+小=0有公共点,则实数”的取值范围为()

A.[-2\/^-1,-2A/^+1]B.[--1,1]

C.[-2>/^'+1,-•1]D.卜3,1]

【答案】B

【解析】函数y=_j4_(x_l『可化简为：(x—iy+y2=4(y<0),表示的是以(1,0)为圆

心，2为半径的圆的下半部分，与直线x-2y+m=()有公共点，根据题意画出图像:

一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，怛口=2=m=-2逐-1正值舍去；

75

另一个临界是过点(-1,0)代入得到机=1.

故选B.

二、填空题

13.直线以+勿=l(a>0,〃>0)与曲线V+y2-2x—4y+l=0交于A、B,且|AB|=4,则，+，

ah

的最小值为__________

【答案】3+20

【解析】由f+/一2%-4^+1=0得，(x-1)2+(y-2)2=4,

所以曲线f+y2-2x-4y+l=0表示圆，其圆心为(1,2),半径为2,

因为直线以+力=1(。>0力>0)与曲线f+V—2x—4y+l=0交于A、B,且|AB|=4,

所以直线依+勿=1(。>0{>0)过圆心(1,2),

所以。+28=1,

所以，+；=(」+：］♦(。+2公=3+竺+023+2.1—--=3+242

abyab)ab\ah

当且仅当竺=二，即”=七史力=及一1时，取等号

ab2

故填3+20

14.一条光线从点(一2,1)射出，经x轴反射后与圆(x—3)2+(y—4)2=1相切，则反射光线所在直线的斜

率为.

【答案】；4或匕3

34

【解析】点（一2,1）关于x轴的对称点为（一2,-1）,则反射光线过点（-2,-1）,

设反射光线所在直线为〉+1=攵（彳+2）,即"―y+2左—1=0,

|3左一4+2左一43

，圆心到直线距离d=J——I=~[=1,解得：左=一或%==，

VF+134

•••反射光线所在直线的斜率为彳4或士3.

34

43

故填一或一.

34

三、解答题

15.在平面直角坐标系中，曲线y=x?-6》+1