3.1.1函数的概念(1)课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.在初中用变量之间的对应关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.正确使用函数、区间符号．活动方案活动一探究函数的概念问题1某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为s＝350t.这里，t和s是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，s都存在唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数．思考1►►►根据对应关系s＝350t，可知这趟高速列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？【解析】

不正确．因为根据问题1的条件，我们不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确，其原因是没有关注到t的变化范围．对应关系应为s＝350t，其中t∈A1＝{t|0≤t≤0.5}，s∈B1＝{s|0≤s≤175}．问题2某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？【解析】

工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为ω＝350d，其中d∈A2＝{1,2,3,4,5,6}，ω∈B2＝{350,700,1050，1400，1750，2100}．思考2►►►在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【解析】

不是同一函数．因为自变量的取值范围不一样．问题3如图是某市某日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？【解析】

从曲线图可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，空气质量指数的值I都在数集B3＝{I|0<I<150}中，对于数集A3中的任一时刻t，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的空气质量指数的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．年份y20122013201420152016恩格尔系数r(%)32.030.130.029.729.3年份y20172018201920202021恩格尔系数r(%)28.627.727.629.228.6【解析】

由表格可知，y的取值范围是数集A4＝{2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021}，r的取值范围是数集B4＝{r|0<r≤1}，对于数集A4中的任意一个年份y，根据表中所给定的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应，所以恩格尔系数r是年份y的函数．思考3►►►上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？【解析】

共同特征有：①都包含两个非空数集，用A，B来表示；②都有一个对应关系；③尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．思考4►►►如何用集合语言和对应关系刻画函数？【解析】

设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．思考5►►►f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？【解析】

一般地，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量．f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量．思考6►►►函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？【解析】

函数的值域是集合B的子集．在问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；在问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集．思考7►►►一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．【解析】

一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax＋b(a≠0)．思考8►►►二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数．例

1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝x(10－x)来描述．注意点：(1)函数是非空数集到非空数集上的一种对应；(2)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可；(3)集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性；(4)f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样；(5)f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积；(6)在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，表示为[a，b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫作开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，表示为[a，b)或(a，b]．这里的实数a，b叫作相应区间的端点．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，把“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．活动二区间的概念思考10►►►如何用区间分别表示满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合？

【解析】

用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．1.区间(a，b)，必须有b>a.2.区间只能表示数集．3.区间不能表示单元素集．4.区间不能表示不连续的数集．5.区间的左端点必须小于右端点．6.区间都可以用数轴表示．7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号．活动三探究函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y＝2x＋3；【解析】

函数y＝2x＋3的定义域为R.函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函数的定义域可用两种方法表示：集合和区间．活动四同一函数的判断【解析】

不是，

因为它们的对应关系不同．(4)f(x)＝x，x∈[0,1]，g(x)＝x2，x∈[0,1]．(3)y＝x0与y＝1(x≠0)；【解析】

由于y＝x0要求x≠0，且当x≠0时，y＝x0＝1，故y＝x0与y＝1(x≠0)的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．(4)y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z.【解析】

y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数．1.判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．2.如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较．检测反馈245131.(2022·江门高一期中)在下列四个图中，可表示函数y＝f(x)的图象的是(

)【解析】

根据函数的定义可知，一个x只能对应一个y，所以A，B，C错误，D正确．【答案】D245132.(2022·北京朝阳区高一阶段练习)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：

则g(f(1))的