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文档简介

甘肃省广河县三甲集中学2024届高三最后一模数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.2.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.3.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.44.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.5.已知幂函数的图象过点,且,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.6.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm38.已知函数,,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为()A.1 B. C. D.9.已知平面平面,且是正方形,在正方形内部有一点,满足与平面所成的角相等,则点的轨迹长度为()A. B.16 C. D.10.历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术.近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加.华理斯在1655年求出一个公式:,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的,若判断框内填入的条件为,则正整数的最小值是A. B. C. D.11.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装()(附:)A.个 B.个 C.个 D.个12.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若满足,则目标函数的最大值为______.14.在中,角的平分线交于,,,则面积的最大值为__________.15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.16.某中学数学竞赛培训班共有10人,分为甲、乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,若甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.(1)若,求证:平面;(2)若,求二面角的正弦值.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.19.(12分)如图中,为的中点,,,.(1)求边的长;(2)点在边上,若是的角平分线,求的面积.20.(12分)有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪元,送餐员每单制成元;乙公司无底薪,单以内(含单)的部分送餐员每单抽成元,超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员,分别记录其天的送餐单数,得到如下频数分布表:送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天,求这天的送餐单数都不小于单的概率;(2)假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,将频率视为概率,回答下列两个问题:①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望;②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,小张应选择哪家公司应聘?说明你的理由.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)说明曲线是哪一种曲线,并将曲线的方程化为极坐标方程;(2)已知点是曲线上的任意一点,又直线上有两点和,且,又点的极角为,点的极角为锐角.求:①点的极角;②面积的取值范围.22.(10分)选修4­4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题2、D【解析】

由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.3、C【解析】

画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.4、C【解析】

先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.5、A【解析】

根据题意求得参数,根据对数的运算性质,以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意,得,故,故,,,则.故选:A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,考查推理论证能力,属基础题.6、B【解析】

画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.7、B【解析】试题分析:该几何体上面是长方体,下面是四棱柱;长方体的体积,四棱柱的底面是梯形,体积为,因此总的体积.考点:三视图和几何体的体积.8、C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减;当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.9、C【解析】

根据与平面所成的角相等,判断出,建立平面直角坐标系,求得点的轨迹方程,由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面,且交线为,,所以平面,平面.所以和分别是直线与平面所成的角,所以,所以,即,所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示,则,,设(点在第一象限内),由得,即,化简得,由于点在第一象限内,所以点的轨迹是以为圆心,半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以点的轨迹长度为.故选:C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用,考查动点轨迹方程的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.10、B【解析】

初始:,,第一次循环:,,继续循环;第二次循环:,,此时,满足条件,结束循环,所以判断框内填入的条件可以是,所以正整数的最小值是3,故选B.11、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm,得到不等式,计算得到答案.【详解】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切,这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体,易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”,这样装层球,则最上层球面上的点距离桶底最远为cm,若想要盖上盖子,则需要满足,解得,所以最多可以装层球,即最多可以装个球.故选:【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12、B【解析】

由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-1【解析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图,化目标函数为,由图可得,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,由得即,则有最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.14、15【解析】

由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式,借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形:因为,,由角平分线定理得,设,则由余弦定理得:即当且仅当,即时取等号所以面积的最大值为15故答案为:15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题,通过三角恒等变形后利用均值不等式处理,属于一般性题目.15、2【解析】

由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.16、【解析】

根据茎叶图中的数据,结合平均数与中位数的概念,求出x、y的值.【详解】根据茎叶图中的数据,得:甲班5名同学成绩的平均数为,解得;又乙班5名同学的中位数为73,则;.故答案为:.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数,考查数据分析能力,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析(2)【解析】

(1)如图,作,交于,连接.因为,所以是的三等分点,可得.因为,,,所以,因为,所以,因为,所以,所以,因为,所以,所以,因为平面,平面,所以平面.又,平面,平面,所以平面.因为,、平面,所以平面平面,所以平面.(2)因为是等边三角形,,所以.又因为,,所以,所以.又,平面,,所以平面.因为平面,所以平面平面.在平面内作平面.以B点为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,,.设为平面的法向量,则,即,令,可得.设为平面的法向量,则,即,令,可得.所以,则,所以二面角的正弦值为.18、(1)(为参数);(2).【解析】

(1)根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程;(2)将曲线的方程化为普通方程,然后化为极坐标方程,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程,得出和关于的表达式,然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值.【详解】(1)由于曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,则曲线的参数方程为(为参数);(2)将曲线的参数方程化为普通方程得,化为极坐标方程得,即,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得,,的面积为,当时,的面积取到最大值.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,考查了伸缩变换,同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题,要熟悉极坐标方程所适用的基本类型,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.19、(1)10;(2).【解析】

(1)由题意可得cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由已知利用余弦定理可得:9+BD2﹣52+9+BD2﹣16=0,进而解得BC的值.(2)由(1)可知△ADC为直角三角形,可求S△ADC6,S△ABC=2S△ADC=12,利用角平分线的性质可得,根据S△ABC=S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值.【详解】(1)因为在边上,所以,在和中由余弦定理,得,因为,,,,所以,所以,.所以边的长为10.(2)由(1)知为直角三角形,所以,.因为是的角平分线,所以.所以,所以.即的面积为.【点睛】本题主要考查了余弦定理,三角形的面积公式,角平分线的性质在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.20、(1);(2)①分布列见解析,;②小张应选择甲公司应聘.【解析】

(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件,可得(A)的值.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为,可得当时,,以此类推可得:当时,当时,的值.当时,的值,同理可得:当时,.的所有可能取值.可得的分布列及其数学期望.②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数.可得甲公司送餐员日平均工资,与乙数学期望比较即可得出.【详解】解:(1)由表知,50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单,记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件,则.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为,日工资为元,则当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.所以的分布列为228234240247254.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员的日平均工资为元,因为,所以小张应选择甲公司应聘.【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21、(1)曲线为圆心在原点,半径为2的圆.的极坐标方程为(2)①②【解析】

(1)求得曲线伸缩变换后所得的参数方程,消参后求得的普通方程,判断出对应的曲线,并将的普通方程转化为极坐标方程.(2)①将的极角代入直线的极坐标方程,由此求得点的极径,判断出为等腰三角形,求得直线的普通方程,由此求得,进而求得,从而求得点的极角.②解法一:利用曲线的参数方程,求得曲线上的点到直线的距离的表达式,结合三角函数的知识求得的最小值和最大值,由此求得面

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