2022-2023学年冀教版九年级数学下册第27章【相似】专项训练卷附答案解析

2022-2023学年九年级数学下册第27章【相似】专项训练卷

(-)

专项相似三角形的常见模型

类型1A型及其变形

1.[2021河北石家庄二十七中月考]如图,在△/况中，点〃"分别在边AB,AC±.,下列条件中不能判定△

496s⑦的是()

A.NAED=NABCB.NADE=NACB

2.[2021辽宁省实验中学月考]如图,在RtZ\4应■中，//曲=90。，AC^>,BC=12,点、。在边比上，点后在线

段加上,见“1于点F,EG1EF交AB于点G,若EF=EG,则CD的长为

3.【基础巩固】⑴如图1,在中，点。为四上一点，.求证:〃玄。•然

【尝试应用】⑵如图2,在。/伙/中，点£为8。上一点，点厂为龙延长线上一点，NBFE

=/4若BFABE4,求4〃的长.

【拓展提高】⑶如图3,在菱形4%»中，点£是四上一点，点6是△49C内一点,EF//

AC,AC=2EF,4ED吟ZBAD,AE=2,DFW>,求菱形应加9的边长.

图1图2图3

类型28型及其变形

4.如图，在四边形ABCD中,对角线AC,即相交于点E,且NABD=NACD.

求证：(嗜急⑵〃心/喇

5.[2020河南郑州外国语中学期中](1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在△48C中，点0在线段BC上,/砌0=30°,/曲，=75°,A01痘,BO：CO=\：3,求48的长.

经过社团成员讨论发现,过点8作BD//AC,交4。的延长线于点D,通过构造△力切可以解决问题(如图1).

请你帮助社团求出的长.

(2)请参考(1)中思路,解决如下问题：

如图2,在四边形ABCD^,对角线儿?与劭相交于点0,ACLAD,A03W,NABC=NACB35：BO:OD=\：3,

求人的长.

类型3双垂直型

6.如图，已知，中，430°,切，四于点〃则图中相似的三角形有()

C

ADR

A.0对B.1对C.2对D.3对

7.如图，NB/1CQ"DLBC于点〃止血;劭的延长线交加的延长线于点F.求证:若名.

ACAF

DC

类型4手拉手型

8.［2021河北石家庄期末］如图，已知N1=N2,那么添加一个条件后，仍不能判定与△/应'相似的是

)

A.二C二/AEDB.乙B=4D

ADDEADAE

9.如图，在△力回与△/以中，〃在比上，N1=N2=N3.若力C-3,贝1］力£的长为()

B

B.|C2

A-ID1

10.［2022河北唐山路北区二模］在锐角三角形ABC^,//应为5°,将△/况绕点6按逆时针方向旋转,

得到△A8G.

图1

(1)如图1,当点G在线段CA的延长线上时,求NCG4的度数;

(2)如图2,连接AAltCCx,求证：Gs△力弱.

类型5一线三等角型(K型)

11.［2021四川遂宁期中］如图，在△撅7中点?，〃分别是凿然边上的点，且//如

D

BC

(1)求证:

(2)若16=10,6c=12,当PD//AB^,求利的长.

12.⑴如图1,在四边形力加9中，力8〃⑦，点尸在回上，N6=N/»90°,求证：△［野心△放Z

（2）探究:如图2,在四边形/腼中，点尸在边BC上,当/户NC=N4即时,求证:△/方"△也?.

⑶应用：如图3,在△丝C中，点户是边6c的中点，点〃£分别在边明然上，若/

B=ZC=/DPE工5：BC$4i，CE$，求DE的长.

（二）

专项一相似三角形的性质与判定

类型1利用相似三角形求线段的长

1.［2021河北廊坊安次区二模］如图,点£是口施力的边4〃上的一点,且器三连接跖并延长交切的延长

AE2

线于点F,若DEADFA则。/时的周长为（）

A.21B.28C.34D.42

2.［2021河北石家庄期中］如图，£9为的中位线，点。是4?和煦的交点，过点C作GF//BC交AC于

点F,如果GF4,那么线段比1的长是,

3.［2021河北保定调研］如图,在正方形ABCD中，点P是边8c上一点（点/不与点B,。重合），连接仍作

PELAP,PE交CD千点E.

AI)

(1)求证:△阳's4/阳

⑵若心我点P为缈的中点,求应'的长.

4.[2021河北邯郸永年区期末]如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上,AGVBC于点

G,力凡L庞于点F,ZEAF=ZGAC.

⑴求证：△4*44必

⑵若AD=BEAAE3求CD的长.

5.[2020浙江杭州中考]如图，在△/!a'中，点D,E,尸分别在AS,BC,然边上,DE//AC,EF//AB.

⑴求证:应's△旗c

⑵设转.

①若BC=\2,求线段弱的长.

②若△碓1的面积是20,求的面积.

类型2利用相似三角形证明比例式、等积式

6.[2021浙江杭州模拟]如图，在△四，中，点D,K分别在边AB,ACk,NAED=NB,4G分别交线段DE,BC于

点且絮脸

⑴求证:/G平分N物C

⑵求证:案学

oGCG

7.如图,在菱形ABCD^,AB=AC,点£下分别在边AB,BC上,且AE=BF,CE与"■相交于点G.

⑴求证：/尸宓=/夕

⑵延长龙与方的延长线交于点〃求证:"•CH=AF*AC.

类型3相似三角形在圆中的应用

8.[2022河北唐山模拟]如图，已知46是半圆。的直径,C为半圆上一点，〃是诧的中点，CHUB于点H,

连接如交弦EC干点、E,交办于点月连接敬

(1)求证：△腌1s△比〃

⑵若0C4,即=1,求印的长.

9.[2021江苏无锡中考]如图，四边形仍以内接于。0)。是。。的直径,〃1与劭交于点瓦如切。。于点

(1)求证：/陶=/阪：

⑵若/物之0。，/〃»=40。，求证：△016s△腌

专项二平面直角坐标系中的位似

1.[2021河北保定一模]如图，点1(0,4),5(3,4),以原点。为位似中心,把线段缩短为原来的一半，得

到线段内其中点C与点4对应，点。与点6对应，则点。的横坐标为()

•'V

A---------B

0x

A.2B.2或-2C.|口.|或-|

2.如图,在平面直角坐标系中，/\ABC的顶点坐标分别是J(l,2),5(1,1),(7(3,1),以原点为位似中心,在

原点的同侧画△龙K使△颂与△?1先成位似图形,且相似比为2：1,则线段以,的长度为()

A.V5B.2C.4D.2V5

3.[2021河北石家庄四十二中模拟]如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0,0),4(6,0),风0,8),以某点为

位似中心,作出与△/仍位似,且相似比为k的△碗;则位似中心的坐标和k的值分别为()

A.(0,0),2B.(2,2),1C.(2,2),2D.(1,1),|

4.[2021河北石家庄四十中二模]如图，正方形如勿与正方形。阪是位似图形，。为位似中心,两个正方

形的面积之比为1：2,点4的坐标为（1,0）,则点£的坐标为（）

A.(V2,0)B.(|,|)C.(V2,V2)D.(2,2)

5.[2021山东东营中考]如图,△/a'中,46两个顶点在x轴的上方，点。的坐标是（1,0）,以点。为位似

中心,在x轴的下方作△/比■的位似图形△4'8'C；并把△力回的边长放大到原来的2倍，设点6的横坐标是

a,则点8的对应点8'的横坐标是（）

A.-2<^3B.-2a+lC.-2^2D.-2a~2

6.[2021河南郑州期末]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形丽是以点。为位似中心的

位似图形,且相似比为两个正方形在点0的同侧，点46,£在x轴上,其余顶点在第一象限,若正方形

戚G的边长为6,则点C的坐标为.

7.[2021上海普陀区月考]如图，正六边形勿比）定与正六边形勿'"。'"/是以原点。为位似中心的位似

图形,相似比为3：2,若点＜7'(6,0),则正六边形如故火的周长为.

8.[2021四川成都七中期中]如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,的顶点都在格点上,

建立平面直角坐标系.

(1)点4的坐标为.，点6的坐标为.，点C的坐标为.

(2)以原点〃为位似中心，将放大，使变换后的△464与△/比的相似比为2：1,请在网格内画出4

(3)求出△46%的面积.

参考答案

(-)

1.C【解析】A项，14AED=NABC,NA=NA,：.AADEsAACB,故A不合题意；B项，力庞=

ZACB,/4=/4...△4应故不合题意;D项△力应。△/龙，故不合题意.

BACABD

2.4【解析】解法一如图，过点〃作8c交于点耳易知〃(/〃用加〃优所以△/跖s△血物

MAFESMACD,所以黑磊,黑福，所以黑与，因为EG=EF,所以DC=DM,设CD=x,则DM=x,因为/

ADDMADDCDMDC

ACB冯Q；DMVBC,所以DM//AC,所以△被吐△8。,所以吧勇,即以之解得x=l.

BCAC126

解法二如图，延长FE交AB于点M,则Rt△EX*Rt△CBA,：.巴色色2,:EF=EG,：.里d易得

EGCA6EF

EMAEEFAE.EMEF.BDEM,门八12

BDADCDADBDCDCDEF3

3.【分析】（1）先证明△/比's/vi/得到对应边成比例，再由比例的性质即可证明；（2）结合平行四边形

的性质得到通过证明况得到对应边成比例,进一步求解即可；（3）分别延长EF,比■相

交于点G,通过证明△血〜△戈汉得至ljDE,EF,£6的数量关系,然后结合EG=AC±EF,得至I」施用的数量关

系，根据器若，求出法的长，进而求得小的长•

DrEF

【解析】（1）；/ACD=NB,：./\ADC^/\ACB,

碎喷.•.人如四

⑵：四边形49山是平行四边形，孙N4=NC

又ZBFE=AA,：.ZBFE=4C.

又/FBE=NCBF,:NFESXBCF、A—

BCBF

:.BC型号：.AD=BC至.

BE33

（3）如图，分别延长俄〃。相交于点G.

:四边形4式〃是菱形，

：.AB//DC,ABAC^BAD.

又AC//EF,：.四边形力为平行四边形，

：.AC=EG,CG=AE,NEAC=NG.

,：AEDF^ABAD,：.AEDF=ABAC,：,ZEDF=NG.

又乙DEF=NGED,：./\EDFs丛EGD,：.吧空■更,

EGDEDG

，院=EF・EG.

又EG=AC=2EF,:.成如户，：.DE』EF.

理岑2,：.DG』DMi,

DFEF

：.DC=DG-CG^42~2,

即菱形/仇力的边长为5V2-2.

4.【解析】('y：/ABD=/ACD,NAEB=NDEC,

：.XABEs"DCE,•,芸制.

CCE.U

(?、・・EBEA.BECE

,ECED'''AEDE'

又/AED=4BEC,:.△ADES[\BC&

：.ADAC=Z.CBD,

5.【解析】3'；BD〃AC,：.NADB=N0ACW5；

又ZB0D=4COA,：.△BOM△COA,：.丝3a.

0AOC3

♦：AO%W、：・OD[AO=W,：.AD=A侪ODaW,

YN为030°，/ADBT50,

：.ZASD=18O°-/BAD~/ADB75°=ZADB,

：.AB=AD=Ay[3,

⑵过点见乍BE〃AD交AC于点、E

9：ACA.AD,BE//AD,：./DAC=/BEA的.

•：4A0D=4E0B,：.丛AOMXEOB,•:器岑啜・

VAOAW,：.E0忐，：.AEaW.

VZABC=ZACB=75°,

:・/BAC4QQ,AB=AC,：・AB2BE,

在RS3中,庞W=/l氏即应'+(4回=(2跳)；

:.BEA：.AB=AC*,AD3BE=12.

在RtZ\O〃中，AC+Aa=C"即82+122=C^,：.CD=\>jYi.

6.D【解析】CD1AB,：.NBDC=NADCWQ",：.NAONA挈；NBONBQ.

■:NACBWO。，：.4BC^NACDW0°,ZACB=ZBDC=AADC,：.ABCD=AA,ZACD=AB,

:.XADCs/XCDB,丛CDBs丛ACB,△49叱4/僚.•.题图中相似的三角形有3对.

7.【解析】'：ADLBC,：.ZADC^O°.

'：4£=应,，①'是Rt斜边的中线，

：.DE=CE,：.AC=AEDC,：.ABDF=AC.

■:/BAm/ABD冯。°,ZaZASD^O°,

:.NBAD=/C,:.NBDF=NBAD,

又/尸=/£：.1\DBFS[\ADF,，器等

AADB=ACDA,NBAD=N&

.•.RtAz4fi9^RtAC4Z?,

CAAD

.48J)F

**ACAF'

8.C【解析】•:/\二/2,：./DAE=/BAC卜项J：/DAE=/BAG/C=/AED,

：.XABCsMADER项，：/%£=/胡以NB=/D,:.[\ABCs/\ADE：C项，由剪至无法判定与△/应'

ADDE

相似；D项，；丝生，4DAENBAC,:.XABCSXADE.

ADAE

9.B【解析】由N2=N3,易得/炉NC的炉/加0/2,/胡C=N为/N1,

Z1-Z2,：.^DAE=^BAC,：./\ADE^>/XABC,'：AB=A,AD=2,AC^3,：.AE^-.

ADAE2AE2

10.【解析】⑴由旋转的性质可得，N4G6=/4==45°,8G*C

.•.N6GC=NX5°.

.../CG4=N4G8+N8GE5°+45°-90°.

⑵由旋转的性质可知，NCBA=/QBA”

则ZCBA+^ABG=NC、BA\+NABC\,即ZCBG=NABA.

由旋转的性质可知,BC=BQ,BA=BA“糕胎

BABA1

:•△CBC'SAABA'.

11.【解析】（1）・・・/为1C・・・N8=NC

■:/APD=/B,：・ZAPD=AC.

■:ZAPC=/BA分4B,4Ape二4APIA4DPC、

：.ZBAP=ZDPCy:.XAB—XPCD.

9

（2）：PD//ABy：./APD二4BAP.

•・・/APD=/C,：./BAP二/C

又/B=/B,:.△BAP^BCA,：.2里.

BCBA

-：AB=10,BC=12,r.-^,

12103

12.【解析】dB〃CD,/B=/APDR。：

:・/B=/CWG,/BA抖/APB郑）：/APm/CPD的,

/BAP=/CPD,：.XABPsXPCD.

（2）VZB=/C=/APD,

：.ZCPD=1800-AAPD-AAPB,ZBAP=18O°—/APB~4B,

：・4CPD=4BAP、:.XAB—XPCD.

⑶由⑵知△砌"△顿・・・杉臂.

・・•点。是勿的中点，BC=&0：・BP=CP4版

,:CE』，：.吟出M：,BD型.

466'3

'：ZB=ZC=45°,AZJ-900,

又BC%0,：.AC=ABA,

：.AD=AB-BD^,--^

33

：.AE=AC-CE=^-&=^y

：.DE^AD2+AE2^l（-）2+22^.

733

（二）

专项一相似三角形的性质与判定

1.C【解析】：四边形四G9是平行四边形，."6〃或月庐（笫,△相£s△阳5；

...也=竺=2...施=3,〃曰，.•.丝与，［8=8,.力〃4暇应W+3玛，平行四边形"G9的周长为（8⑼X2W4.

ABAE2

2.12【解析】：胡为△46C的中位线，.•.应1〃〃；DE^AC,BC=2CD,：.△DEG^/XACG,

.DG^EJ.-GF//BC,：./\AGF^/\ADC,.•.竺望r4G*：.CD&GF&Xg：.BC=2CD

AGAC2CDADAG+DG322

二12.

3.【解析】(I”.•四边形48切是正方形，

：.ZB=ZC=90°，:./APB+NPAB冯00.

■:PE1AP,:・/APB+/EPCWG.

：.Z£PC=ZPABt：./\PEC^/\APB.

(2)由⑴知△/Zb△/能.・.££上£.

BPAB

・・・48g点P为BC的中点、，：・BP=PC3.

・延金•rr3_

362

39

:・DE=CD-CE鼻

22

4.【解析】(1)•：AG工BC,AFLDE,

：.ZAFE=ZAGC^O°,

AZAEF+ZEAF^O°,ZGAC^ZC=90°.

VZEAF=ZGACf:、/AEF二2C.

又4EAD=/CAB,:.l\ADEs[\ABC.

⑵由⑴知△/L9£s△/因・・・丝岑，

ACAB

■:AD=BE4、AE3,：・AB=BE+AEW,

・3y.21

•,•♦Z10«

AC74

:.CD=AC-AD今21皿皇5.

44

5.【解析】因为班〃AC,所以NBED二NC

因为EF〃AB,所以N庐

所以△应应s△砒：

⑵①因为EF//AB.所以普名*

ECFC2

又BC=\2,所以BE^BCA

②因为EFaAB,所以△七%1s/\54C

因为所以算告

I*\J/AC3

设△区%■的面积为S,△46C的面积为S,则gq.

因为S20,所以SN5,所以△/8C的面积是45.

6.【解析】八)：NDAE+NAE讣/ADE=18Q°,/BAON母NC=18Q°,NAED=NB,：.NADE=NC,

.../%尸=/。6,，市；平分/胡C

(2)VNAED=NB,NEAF=ZBAG,

BGAG

由⑴知〜△47G,.4,

CGAG

.EFJ)F

99BGCG'

7.【解析】⑴；四边形圈(力为菱形，."8盟

又AB=AC,：.AB=BC=AC,

...△/%为等边三角形，；./夕=/为d0°.

,AB=CA,

在△［跖和中，NB=Z.CAE,

,BF=AE,

：.△ABF^txCAE,：.ABAF=AACE,

：.ZFGC=4GAOZACG=/GAC+NBAF=NBAC$0°,

NFGC=NB.

(2)•.•四边形/腼为菱形，

/B=/D,AD//BC,：./BCE=4H,

△旌。△照.•若巫.

DCHC

由(D知△48&△CAE,：.CE=AF.

DpAP

■:CA二CB=CD、：•吐a、

ACHC

:・BE*CH=AF・AC.

8.【解析】(1)・・,勿为半径，〃是诧的中点，

ODLBC,BE=CE=^BC.

2

,：CHVAB,：.ZCI/B^OQ,

•?OB=OC,：.ZB=AOCB,：.Z.EHB=ZOCB.

又N6=/8,[\BHEs/\BCO.

⑵由⑴知△颇's△比0,

,BH_BE1_BE

••BCOB'*2BE4'

:.BE』,：.EH=BE』.

9.【解析】(1)'.•即为。。的切线，

:.N0BP韦G；於NOBA+NPBARQ；

为0。的直径，N4员>90°,

：.40BA+N0BC由0°,

:.NPBA=N0BC.

②•：NPBA=20：：./0BC=NPBA的.

'：0B=0C,：.N0CB=N0BC的，:.N加加i0°.

又NACD40°,：.NA0B=NACD.

,：/微7和/胡C均为诧所对的圆周角，；.NBDC=4BAC,

:.l\0ABs[\CDE.

专项二平面直角坐标系中的位似

1.D【解析】根据题意，得点〃的横坐标为3X言或3义($二予

2.D【解析】2),5(1,1),<7(3,1),AZABC^0°,：.AC-^+.•:丛DEF与丛ABC以原点

为位似中心,在原点同侧成位似图形,且相似比为2:：.DFtA0®

3.B【解析】如图,位似中心厂的坐标为(2,2),在的值为整与

FO2

4.C【解析】要求点£的坐标，需求正方形如跖的边长，根据正方形勿比■与正方形必跖的面积比,

可得边长比,