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文档简介

陕西省西安市莲湖区七十中2025届数学高一下期末监测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.正六边形的边长为,以顶点为起点,其他顶点为终点的向量分别为;以顶点为起点,其他顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,则下列对的描述正确的是()A. B. C. D.2.在锐角中,内角,,的对边分别为,,,,,成等差数列,,则的周长的取值范围为()A. B. C. D.3.在四边形中,如果,,那么四边形的形状是()A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.直角梯形4.若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.15.在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a:b:c=3:4:5,则cosA.35 B.45 C.6.已知在中,为线段上一点,且,若,则()A. B. C. D.7.与直线垂直于点的直线的一般方程是()A. B. C. D.8.若正实数满足,则的最小值为A. B. C. D.9.如果直线与平面不垂直,那么在平面内()A.不存在与垂直的直线 B.存在一条与垂直的直线C.存在无数条与垂直的直线 D.任意一条都与垂直10.圆的半径是,则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________.(容器壁的厚度忽略不计)12.设函数(是常数,).若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为_________.13.已知函数的定义域为,则实数的取值范围为_____.14.已知函数分别由下表给出:123211123321则当时,_____________.15.体积为8的一个正方体,其全面积与球的表面积相等,则球的体积等于________.16.设向量,,且,则______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知向量,其中.函数的图象过点,点与其相邻的最高点的距离为1.(Ⅰ)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)计算的值;(Ⅲ)设函数,试讨论函数在区间[0,3]上的零点个数.18.已知点,,动点满足,记M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点,点P在第一象限,轴,垂足为H.连结QH并延长交C于点R.(i)设O到直线QH的距离为d.求d的取值范围;(ii)求面积的最大值及此时直线l的方程.19.已知函数,.(1)求函数在上的单调递增区间;(2)在中,内角、、所对边的长分别是,若,,,求的面积的值.20.如图,在三棱柱中,是边长为4的正三角形,侧面是矩形,分别是线段的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面,,求三棱锥的体积.21.已知函数的图象如图所示.(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;(2)求函数在区间上的最大值和最小值,并指出取得最值时的的值.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,从而得到结论.【详解】由题意,以顶点A为起点,其他顶点为终点的向量分别为,以顶点D为起点,其他顶点为终点的向量分别为,则利用向量的数量积公式,可知只有,其余数量积均小于等于0,又因为分别为的最小值、最大值,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,分析出向量数量积的正负是关键,着重考查了分析解决问题的能力,属于中档试题.2、A【解析】

依题意求出,由正弦定理可得,再根据角的范围,可求出的范围,即可求得的周长的取值范围.【详解】依题可知,,由,可得,所以,即,而.∴,即.故的周长的取值范围为.故选:A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,两角和与差的正弦公式的应用,以及三角函数的值域求法的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.3、C【解析】试题分析:因为,所以,即四边形的对角线互相垂直,排除选项AD;又因为,所以四边形对边平行且相等,即四边形为平行四边形,但不能确定邻边垂直,所以只能确定为菱形.考点:1.向量相等的定义;2.向量的垂直;4、A【解析】

根据向量的夹角公式,准确运算,即可求解,得到答案.【详解】由向量,则与夹角的余弦值为,故选A.【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用,其中解答中熟记向量的夹角公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5、D【解析】

设a=3k,b=4k,c=5k,利用余弦定理求cosC的值.【详解】设a=3k,b=4k,c=5k,所以cosC=故选D【点睛】本题主要考查余弦定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】

首先,由已知条件可知,再有,这样可用表示出.【详解】∵,∴,,∴,∴.故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理,解题时用向量加减法表示出,然后用基底表示即可.7、A【解析】由已知可得这就是所求直线方程,故选A.8、D【解析】

将变成,可得,展开后利用基本不等式求解即可.【详解】,,,,当且仅当,取等号,故选D.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于中档题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).9、C【解析】

因为直线l与平面不垂直,必然会有一条直线与其垂直,而所有与该直线平行直线也与其垂直,因此选C10、C【解析】

先将化为弧度数,再利用扇形面积计算公式即可得出.【详解】所以扇形的面积为:故选:C【点睛】题考查了扇形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球.设其半径为R,,所以该球形容器的表面积的最小值为.【点睛】将表面积最小的球形容器,看成其中两个正四棱柱的外接球,求其半径,进而求体积.12、【解析】

由在区间上具有单调性,且知,函数的对称中心为,由知函数的对称轴为直线,设函数的最小正周期为,所以,,即,所以,解得,故答案为.考点:函数的对称性、周期性,属于中档题.13、【解析】

根据对数的真数对于0,再结合不等式即可解决.【详解】函数的定义域为等价于对于任意的实数,恒成立当时成立当时,等价于综上可得【点睛】本题主要考查了函数的定义域以及不等式恒成立的问题,函数的定义域常考的由1、,2、,3、.属于基础题.14、3【解析】

根据已知,用换元法,从外层求到里层,即可求解.【详解】令.故答案为:.【点睛】本题考查函数的表示,考查复合函数值求参数,换元法是解题的关键,属于基础题.15、【解析】

由体积为的一个正方体,棱长为,全面积为,则,,球的体积为,故答案为.考点:正方体与球的表面积及体积的算法.16、【解析】

根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x.【详解】∵;∴;∴x=﹣1;故答案为﹣1.【点睛】考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)2028;(Ⅲ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)由数量积的坐标运算可得f(x),由题意求得ω,再由函数f(x)的图象过点B(2,2)列式求得.则函数解析式可求,由复合函数的单调性求得f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=2+sin,可得f(x)是周期为2的周期函数,且f(2)=2,f(2)=2,f(3)=0,f(2)=2.得到f(2)+f(2)+f(3)+f(2)=2.进一步可得结论;(Ⅲ)g(x)=f(x)﹣m﹣2,函数g(x)在[0,3]上的零点个数,即为函数y=sin的图象与直线y=m在[0,3]上的交点个数.数形结合得答案.【详解】(Ⅰ)∵(,cos2(ωx+φ)),(,),∴f(x)cos2(ωx+)=2﹣cos2(ωx+)),∴f(x)max=2,则点B(2,2)为函数f(x)的图象的一个最高点.∵点B与其相邻的最高点的距离为2,∴,得ω.∵函数f(x)的图象过点B(2,2),∴,即sin2φ=2.∵0<,∴.∴f(x)=2﹣cos2()=2+sin,由,得,.的单调递减区间是,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=2+sin,∴f(x)是周期为2的周期函数,且f(2)=2,f(2)=2,f(3)=0,f(2)=2.∴f(2)+f(2)+f(3)+f(2)=2.而2027=2×502+2,∴f(2)+f(2)+…+f(2027)=2×502+2=2028;(Ⅲ)g(x)=f(x)﹣m﹣2,函数g(x)在[0,3]上的零点个数,即为函数y=sin的图象与直线y=m在[0,3]上的交点个数.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图:①当m>2或m<﹣2时,两函数的图象在[0,3]内无公共点;②当﹣2≤m<0或m=2时,两函数的图象在[0,3]内有一个共点;③当0≤m<2时,两函数的图象在[0,3]内有两个共点.综上,当m>2或m<﹣2时,函数g(x)在[0,3]上无零点;②当﹣2≤m<0或m=2时,函数g(x)在[0,3]内有2个零点;③当0≤m<2时,函数g(x)在[0,3]内有2个零点.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查数量积的坐标运算,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.18、(1);(2)(i)(ii)面积最大值为,直线的方程为.【解析】

(1)根据题意列出方程求解即可(2)联立直线与圆的方程,得出P、Q、H三点坐标,表示出QH直线方程,采用点到直线距离公式求解;利用圆的几何关系,表示出三角形的底和高,再结合函数最值问题进行求解【详解】(1)由及两点距离公式,有,化简整理得,.所以曲线C的方程为;(2)(i)设直线l的方程为;将直线l的方程与圆C的方程联立,消去y,得(,解得因此,,,所以直线QH的方程为.到直线QH的距离,当时.,所以,(ii)过O作于D,则D为QR中点,且由(i)知,,,又由,故的面积,由,有,所以,当且仅当时,等号成立,且此时由(i)有,即.综上,的面积最大值为的面积最大值为,且当面积最大时直线的方程为.【点睛】直线与圆的综合类题型常采用点到直线距离公式、圆内构造的直角三角形,将代数问题与几何问题进行有效结合,可大大降低解题难度.19、(1),;(2).【解析】

(1)首先把化成的型式,再根据三角函的单调性即可解决(2)根据(1)结果把代入可得A的大小,从而计算出B的大小,根据正弦定理以及面积公式即可解决。【详解】(1)因为,由,,得,,又,所以或,所以函数在上的递增区间为:,;(2)因为,∴,∴,∴,,∴,,∵,∴.∴,在三角形中由正弦定理得,∴,.【点睛】本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等,在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。20、(1)见解析(2)【解析】

(1)取中点为,连接,由中位线定理证得,即证得平行四边形,于是有,这样就证得线面平行;(2)由等体积法变换后可计算.【详解】证明:(1)取中点为,连接,是平行四边形,平面,平面,∴平面解:(2)是线段中点,则【点睛】本题考查线面平行的判定,考查棱锥的体积.线面平行的证明关键是找到线线平行,而棱锥的体积常常用等积变换,转

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