2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程创新教学案（含解析）新人教版

第3讲圆的方程

［考纲解读］1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的

条件，采取标准式或一般式求圆的方程.(重点)

2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程.(难点)

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点.预测2021年将会考

查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题.试题以客

观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.

基础知识过关

1.圆的定义及方程

平面内与8定点的距离等于02

定义

定长的点的集合(轨迹)

标准方程Q3(x—a)2+(y—/7)2="(->0)圆心：&(a,b},半径：CSr

圆心：因(一争一争，半径：07

『+y2+。氏+Ey+F=Q(D2+

一般方程

E2-4Q0)

太l》+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo,yo)与圆C：(x—a)2+(y—Z?)2=户之间存在着下列关系：

设d为点M(xo,")与圆心(a,/?)的距离

⑴M在圆外，即(xo-a)2+(jo—在。］圆夕卜;

(2)d=X=>M在圆上，即(九0—a)2+(y)—。)2=70知在02圆上;

(3)d<冷M在圆内，即(xo-ap+U'o—在03圆内.

V诊断自测

1.概念辨析

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程xl+y2+ax+2ay+2a1+a-1=0表示圆心为(一彳，-aj,半径为:

、一3/—4a+4的圆.()

(3)已知点A(xi,yi),8(x2,”)，则以AB为直径的圆的方程是(x—xi)(x—短)+

(y—yi)。—y2)=o.()

(4)方程加+3町+。)2+。工+4+尸=0表示圆的充要条件是A=CW0,8=0,

D1+E2~4AF>Q.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)V

2.小题热身

(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x—l)2+(y—1)2=1B.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+l)2+(y+1尸2D.(x—l)2+(y—1)2=2

答案D

解析由已知，得所求圆的圆心坐标为(1,1),半径r="彳=啦，所以此

圆的方程是(x-iy+(y—1)2=2.

(2)若方程2y+3=0表示圆，则的取值范围是()

A.(一8,一啦)U(啦，4-oo)

B.(—8,-2^/2)0(272,+°0)

C.(一8,一小)U(小，+8)

D.(—8,—2事)U(2小,4-oo)

答案B

解析若方程N+V+mx—2y+3=0表示圆，则m应满足nr+(—2)2—

4X3>0,解得"?<——2陋或?”〉26.

(3)若原点在圆(x—2机)2+。一㈤2=5的内部，则实数m的取值范围是

答案(一1,1)

解析因为原点在圆(x—2机y+(y—加)2=5的内部，所以(0—2m)2+(0—/W)2<5.

解得-1<加<1.

(4)圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为.

答案f+(y—2)2=1

解析由题意，可设所求圆的方程为份2=1,因为此圆过点(1,2),所

以12+(2-^)2=1,解得6=2.故所求圆的方程为f+(y—2)2=1.

经典题型冲关

题型一求圆的方程

【举例说明】

1.经过点P(l,l)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+l=0上的圆的标准方

程为•

答案(x—4)2+(y+3/=25

解析解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(X—0)2+。一与2=户，则有

<r+b2=i2,fa=4,

(1一。)2+(1—力)2=/，解得｛〃=-3,所以圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2

2a+38+1=0,lr=5.

=25.

解法二：(直接法)由题意，知OP是圆的弦，其垂直平分线为》+>—1=0.因为

弦的垂直平分线过圆心，

2x+3y+1=0,"x=4,

所以由得

x+y—1=0,J=-3

即圆心坐标为(4,-3),半径为r=^/42+(—3)2=5,

所以圆的标准方程是(x—4)2+(,+3)2=25.

2.一圆经过P(—2,4),0(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6,求

此圆的方程.

解设圆的方程为x1+y2+Dx-\-Ey+F=0,将P,Q两点的坐标分别代入，

[2D-4E-F=20,①

得<

|,3D-£+F=-10.②

又令y=0,得_?+m+/=0.③

设XI,X2是方程③的两根，

由M—划=6有£>2—4/=36,④

由①②④解得。=-2,E=-4,尸=-8或。=-6,E=-8,F=0.

故所求圆的方程为x2+y2—2x—4y—8=0或x2+y2—6x—Sy=0.

【据例说法】

求圆的方程的两种方法

⑴直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.见

举例说明1解法二.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(。，刀和半径一有关，则设圆的标准方程，依据已知条件

列出关于a,乩;■的方程组，从而求出a,b,r的值.见举例说明1解法一.

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条

件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.见举例说明2.

I【巩固迁移】

1.圆(x—2)2十寸=4关于直线y=^x对称的圆的方程是()

A.(x—小产+3-1>=4

B.(x-地产+(厂啦>=4

C./+2尸4

D.(x—1)2+(厂/产=4

答案D

解析设圆(X—2>+y2=4的圆心(2,0)关于直线丁=治对称的点的坐标为(a,

力

a-2V3

铝

则

办

+

。2

2-2

解得。=1,匕=小，从而所求圆的方程为(X—1)2+。一S)2=4.故选D.

2.(2018•天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的

方程为.

答案金+9―2尤=0

解析解法一：设圆的一般方程为^+/+Dx+Ey+F=0,又因为圆经过三

点(0,0),(1,1),(2,0),

CF=0,

所以｛l+l+£>+E+F=0,

l22+02+2D+0E+F=0,

解得。=-2,E=0,F=0,

所以圆的方程为W+y2-2x=0.

解法二：记0(0,0),8(2,0),线段。8的垂直平分线方程为尤=1,线

段OA的垂直平分线方程为3即x-\-y—1=0.

解方乳|x=+l厂,1=。，得圆心坐标为(仙

所以半径r=l,圆的方程为(x-l)2+V=L

解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三

角形，显然圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆的标准方程为。-1)2+产=1.

题型二与圆有关的最值问题多角探究

I【举例说明】

Q角度1建立函数关系求最值

I.(2019・厦门模拟)设点P(x,y)是圆：/+(y—3)2=1上的动点，定点A(2,0),

8(—2,0),则成•丽的最大值为

答案12

解析\•成=(2—x,-y),PB=(-2~x,-y),P(x,y)在圆上，：.PAPB=

f—4+V=6y—8—4=6y—12,J.PAPB^n.

9角度2借助几何性质求最值

2.(2019・湖南师大附中模拟)已知点A(—2,0),8(0,1),若点C是圆。一2叶十

炉+储一1=。上的动点，入钻。面积的最小值为3-小,则a的值为.

答案1或一5

解析由题意，知圆的标准方程为(工一。)2+产=1,则圆心为3,0),半径/*=1,

又A(—2,0),B(0,2)可得直线A8的方程为£+9=1,即x—y+2=0.所以圆心到直

乙乙

线A8的距离d=也苛，则圆上的点到直线AB的最短距离为d—r=也青一1,又

\AB\=y[4+4=2yf2,所以△ABC面积的最小值为:—r)=

解得61=1或-5.

【据例说法】

求解与圆有关的最值问题的两大规律

⑴建立函数关系式求最值.如举例说明1.

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征

选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.

(2)借助几何性质求最值.如举例说明2.

【巩固迁移】

1.圆：幺+产一2x—2y+l=0上的点到直线x—y=2距离的最大值是()

A.1+A/2B.2

C.1+坐D.2+26

答案A

解析将圆的方程化为。-1)2+。-1)2=1,即圆心坐标为(1,1),半径为1,

则圆心到直线x-y=2的距离1=艮二m2=/，故圆上的点到直线》一＞=2距离

的最大值为4+1=6+1,故选A.

2.(2019•兰州模拟)若直线依+b+1=0(。＞0,方＞0)把圆(x+4)2+(y+l)2=16

分成面积相等的两部分，则或1十宗2的最小值为()

A.10B.8

C.5D.4

答案B

解析由已知，得圆心C(—4,—1)在直线ax+by+1=0上，所以一4“一/?十

1=0,即4a+b=\,又因为a〉0,b＞0,所以=+看=0；+三|(4.+8)=4+半+

IJUJNCIU

422、居*+4=8,当且仅当当时，等号成立，此时b=4m结合4a+b=l,

知a=!，所以当时，J+版得最小值8.

OZOZZuD

题型三与圆有关的轨迹问题

【举例说明】

1.已知RQA5C的斜边为AB,且A(—1,0),8(3,0).求直角顶点。的轨迹方

程.

解解法一：设。(九，y),

因为A,B,C三点不共线，所以y#0.

因为AC_LBC,所以MCMBC=-1,

又AAC=1knc=T^,所以甘?7・一£^=—1，

人I1人，JiI14J

化简得W+y2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为

x2+y2—2x—3=0/。).

解法二：设A3的中点为。，由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质

知|CD|=g|A3|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆

(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x-l)2+y2=4(yW0).

2.设定点加(-3,4),动点N在圆f+y2=4上运动，以。加，ON为两边作平

行四边形MCWP，求点尸的轨迹.

解如图，设P(x,y),N(xo,川)，则线段OP的中点坐标为传，0，线段MN

的中点坐标为肉，空.

因为平行四边形的对角线互相平分，

所X以xo—3,4v=中vo+4，整理得九°-_x~\~3“9

乙乙乙乙[yO=y-4.

又点N(x+3,y—4)在圆f+V=4上，所以(x+3)2+(y—4>=4.

所以点P的轨迹是以(一3,4)为圆心，2为半径的圆

(因为O,M,P三点不共线,所以应除去两点V，号)和(-日，§))

【据例说法】

1.掌握“三方法”

当题目条件中含有与该点有关的等式时,可

直接法一设出该点的坐标，用坐标表示等式,直接求

解轨迹方程.见举例说明1解法一

当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定

定义法一义确定其圆心和半径，写出圆的方程.见举

例说明1解法二

当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要

代入法求的点与该动点有关时.常找出要求的点与

巳知点的关系,代入已知点满足的关系式求

轨迹方程.见举例说明2

2.明确“五步骤”

建系-fR壬宴3正至麻£欣福,工作一度至启帆")：

设点

(写集合H写山满定容合茶1P届4M而重合｛MP(M))

:i:'...........................................................................

(列式H席圣麻袤示。(M).向电3屐/(*.1)=0

:i:'...........................................................................

［化简卜花另植鼠＞)=0击邕高5芟

二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二

(证’明U证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线

L-J［上的点

【巩固迁移】

(2019・潍坊调研)已知圆f+V=4上一定点A(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,Q

为圆上的动点.

(1)求线段42中点的轨迹方程；

(2)若NP8Q=90。，求线段P。中点的轨迹方程.

解(1)设AP的中点为M(x,y),

由中点坐标公式可知，尸点坐标为(2x-2,2y).

因为P点在圆f+y2=4上，

所以(2x—2)2+(2y)2=4,

故线段AP中点的轨迹方程为(x—l)2+y2=i.

(2)设尸。的中点为Mx,y),

在R3BQ中，\PN\=\BN\.

设。为坐标原点，连接ON,则ONLP0,

所以|OP『=|0川2+中所=|0所+山川2,

所以/+y2+(x—l)2+(y—1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x^+y2—x—y—1=0.

课时作业

凡组基础关

1.设圆的方程是f+y2+2ax+2y+(a—1)2=0,若0<a<l,则原点与圆的位

置关系是()

A.原点在圆上B.原点在圆外

C.原点在圆内D.不确定

答案B

解析将圆的一般方程化成标准方程为a+a)2+(y+l)2=2a,因为0<a<l,所

以(0+a)2+(0+1)2—2a=(a—1)2>0,即4(0+4)2+(0+1)2>^/五,所以原点在圆外.

2.圆。+2)2+丁=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()

A.2>=5B.(X-2)2+/=5

C.f+(y+2)2=5D.(x—1)2+万5

答案B

解析因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(一2,0)关于原点(0,0)对

称，所以所求圆的圆心为(2,0),半径为小，故所求圆的方程为(九一2>+y2=5.故选

B.

3.若a"-2,0,1,看，则方程%2+j2+ax+2ay+2a2+a—1=0表示的圆

的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析方程x1+y2+ax+2ay+2a1+a—1=0表示圆的条件为〃+4屋一4(2屋

+〃-1)>0,即3屋+4。一4V0,解得一2<〃彳.又。£1一2,0,1,「・仅当。=0

时，方程x2+y2+ax+2〃y+2〃2+Q—1=0表示圆，故选B.

4.圆f+y?—2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—\=0的距离为1,则a=

()

C邛D.2

答案A

解析圆的方程可化为。-1)2+0—4)2=4,则圆心坐标为(L4),圆心到直线

|a+4-1|4

ax-Vy-1=0的距离为解得。=一].故选A.

、层+1

5.(2019・合肥二模)已知圆C：(x—6)2+。-8)2=4,。为坐标原点，则以。。

为直径的圆的方程为()

A.(x—3)2+(y+4)2=100

B.(x+3)2+(y-4)2=100

C.C-3)2+0-4)2=25

D.(x+3)2+(厂4)2=25

答案C

解析由圆C的圆心坐标。(6,8),得OC的中点坐标为E(3,4),半径|0£]=

售不不=5,则以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y—4月=25.

6.(2020•黄冈市高三元月调研)已知圆x2+y2+2^2x+2y+4/;=0关于直线y=x

对称，则k的值为()

A.-1B.1

C.+1D.0

答案A

解析化圆f+产+2后1+2y+4%=0为(x+必>+(y+1)2=〃-4女+1.则圆心

坐标为(一幺，一1),：圆f+V+Z左2_r+2y+4A=0关于直线y=x对称，

二一炉=一1,得女=±1.当％=1时，%4-4%+1<0,不符合题意，.•.女=一1.故

选A.

7.点P(4,—2)与圆V+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x—2)2+(y+1产1B.(x—2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+Cy-2)2=4D.(x+2)2+Cy-1)2=1

答案A

Xi+4

X-—2-，

解析设圆上任意一点为⑶，y\）,中点为（尤，y）,贝即

y\—2

尸M，

xi--2x-4

'c|I9代入f+V=4,得(2x—4>+(2y+2)2=4,化简得。一2)?+。+Ip

[y\=2y+2,

=1.故选A.

8.（2019-太原二模）若圆x2+/+2x-2y+F=0的半径为1,则R=.

答案1

解析由圆x1+y1+2x—2y+F=0得（x+l）2+（y—1）2=2一尸，由半径r=

yjl-F=\,解得F=l.

9.已知圆C：x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐

标为.

答案（0，-1）

解析圆C的方程可化为1+。+&+1）2=—张+1.所以当％=0时圆C的面

积最大，此时圆的方程为f+（y+l）2=l,圆心坐标为（0,-1）.

10.已知实数x,y满足（尤+2）2+。-3）2=1,则|3x+4y—26|的最小值为

答案15

解析解法一：|3x+4y—26|最小值的几何意义是圆心到直线3x+4y—26=0

（13a+4/?—26|、

的距离减去半径后的5倍，|3x+4y—26|min=5「^再不一一），（a,份是圆心坐

标，r是圆的半径.圆的圆心坐标为（一2,3）,半径是1,所以圆心到直线的距离为

13X(—2)+4X3—261

5=4,所以|3x+4y-26|的最小值为5X(4—1)=15.

解法二：令x+2=cos。，y—3=sin。，贝!]x=cos。-2,y=sin8+3,|3x+4y—

3

26|=|3cos0—6+4sin0+l2—261=|5sin(^+^)—20|,其中tans=j,所以其最小值为

|5-20|=15.

我组能力关

1.方程恻-1=，1^(%=13表示的曲线是()

A.一个椭圆B.一个圆

C.两个圆D.两个半圆

答案D

解析由题意知|y|一120,则y21或yW—l,当y2l时，原方程可化为(x

—1)2+。-1)2=1。21),其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当yW—1时，

原方程可化为(x—l)2+(y+l)2=l(yW—1),其表示以(1,—1)为圆心，1为半径的

下半圆.所以方程|y|—1=崔1—(九一表示的曲线是两个半圆.选D.

2.(2019・南昌二模)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山

望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”

问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，

怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为

若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+>=3,并假定将军只要到达

军营所在区域即回到军营，则''将军饮马”的最短总路程为()

A.V10-1B.272-1

C.2啦D.V10

答案A

解析设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则AA'的中点为

(a+2Mh

KAA'=6Z-2*

告(T尸f/a=3,

故〈解得，,则从点A到军营的最短总路程，即为

a+2.b,lb=\,

［亍+『3,

点A'到军营的距离，则“将军饮马”的最短总路程为后干一1=①一1.

3.(2019・贵阳模拟)已知圆C：(x—l)2+(y