2017-2018学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷（解析版）

本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的范围，考查恒成立思想和运算能力，属于基础题.

・学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷

201720184.已知点M、N分别是直线L3%+4y+6=0和%：3无4-4y-12=0上的动点，点P(m,n)满足丽=2PN,

一、选择题(本大题共4小题，共20分)则TH?十九2的最小值为()

1.直线2%+3y+4=0的一个法向量为()

A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(-3,2)

【答案】B【答案】B

【解析】解：直线2%+3y+4=0的斜率为一|；【解析】解：设N(%2，V2)，

则3%I+4yl+6=0,3x2+4y2—12=0,

又称=2丽，所以=2(%2—6)，n-y=2(y-n),

・・・直线的一个方向向量为(L-1);12

•••=3m—2X2,=3n—2y2,

:.3(3m-2X)+4(3n-2y)+6=0,

・•・直线的一个法向量为(1,|)；22

即3^2+4y2—-6n-3=0,

向量(1,|)与(2,3)平行；

又3久2+4y2-12=0,所以一—6n—3=-12

••・直线的一个法向量为(2,3).

故选：B.•••3m+4n=6,

设?n?+n2=t(t>0)

可求出直线的斜率为-|,从而可得出直线的方向向量为这样即可求出直线的法向量.

则由直线37n+4n=6与圆?n?+/=丁有交点，得党二?<y/t,

考查直线斜率的求法，直线的方向向量和法向量的求法.V3Z+4Z

t>ll,即源+公的最小值为：||,

2.2和8的等比中项是()

A.5B.4C.-4D.±4故选：B.

【答案】D先由祈了=2丽得3m+4n-6=0,再设+n2=t(t>0),利用直线3nl4-4n-6=。与圆m?+n2=r

【解析】解：设2与8的等比中项为4则由等比中项的定义可知，b2=2x8=16有交点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可.

b=±4本题考查了平面向量数量积的性质及其运算、直线与圆的位置关系、点到直线距离.属基础题.

故选：D.

直接利用等比中项的定义即可求解二、填空题(本大题共12小题，共54.0分)

本题主要考查了等比中项的定义的简单应用，属于基础试题5.直线y=V3x+1的倾斜角大小为.

【答案】60°

3.对于曲线r：9+3=1上的任意一点P,如果存在非负实数M和加，使不等式mw|OP|恒成立(0【解析】解：因为直线y=旧汇+1.的斜率为：-\/3,

所以直线的倾斜角为a,tana=V3,所以a=60°.

为坐标原点，M的最小值为Mo,机的最大值为加。，则Mo+的值是()故答案为：60°.

A.3B.4C.5D.13求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可.

【答案】C本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，倾斜角的求法，考查计算能力.

【解析】解：曲线「9+3=1为焦点在％轴上的椭圆，

6.二元一次方程组信下江8的增广矩阵为.

且a=3,b=2,

由尸为椭圆上一点，可得|OP|的最大值为。，即为3；【答案】17胃

最小值为瓦即为2.

由存在非负实数M和根，使不等式m<\OP\<M恒成立，【解析】解：二元一次方程组信工江8的增广矩阵为[71].

可得M23,m<2,

则Tn。=2,Mo=3,故答案为Y；22

可得Mo+m0=5,

故选：C.利用二元一次方程组的增广矩阵的定义直接求解.

求得曲线即椭圆的a,b,可得|OP|的最大值和最小值，由恒成立思想可得小M的范围，求得Mo,m()的值，本题考查线性方程组的增广矩阵的求法，考查增广矩阵的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数

可得所求和.与方程思想，是基础题.

|364i得注意圆的切线方程的应用.

7.行列式002的值是_______.

11571

fx—1>0

【答案】-1812.若l,y满足约束条件卜一y<0,贝U2%+y的最大值为______.

(.X+y—4<0

F64|

【解析】解：002=0+0+12-0-0-30=-18.【答案】6

1157!

(%-1>0

故答案为：-18.【解析】解：由％,y满足约束条件*-y<0作出可行域如图,

(.%+y—4<0

利用二阶行列式的展开法则直接求解.

本题考查行列式的化简求值，考查行列式的展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

联立｛%。二4,解得：做骁).

lim3n+2n化z=2x+y为y=-2x+z,

->00---------------------

8.计算：nn+l(_)n+i

3+2由图可知，当直线y=-2x+z过A时，

直线在轴上的截距最大，有最大值，z

【答案】］yzmax=2x2+2=6.

故答案为：6.

r的+二T的3n+2nlim1+~(3)n由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结

【解析】解：九-00n-n=九-8工亦

3+1+(2)+1合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答

案.

故答案为：

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

把要求极限的式子分子分母同时除以3般+1求解.

本题考查极限及其运算，是基础的计算题.13.若/1(71)=12+22+32+..+(九一1)2+篦2+8-1)2+...+22+M,(九N*),则/1(々+1)-

f(幻=---

9.一个物体在力了=(1,2)的作用下产生位移5=(3,4),那么力了所做的功为.【答案】2k2+2k+1

【答案】11【解析】解：由于f(n)=l2+22+32+..+(n-l)2+n2+(n-l)2+-+22+l2,

【解析】解：力/所做的功卬=广？=3+8=11，所以：f(k)=l2+22+32+..+(fc-l)2+)2+("l)2+-+22+l2,

故答案为：11.f(k+1)=l2+22+32+..+(fc-l)2+fc2+(fc+l)2+fc2+(fc-l)2+-+22+l2,

根据力下所做的功w=户3代入数据计算即可.所以：f(k+1)-f(k)=(k+l)2+k2=2k2+2k+l,

本题考查了向量的数量积的运算，考查数量积的物理意义，是一道基础题.故答案为：2k2+2fc+1

直接利用函数关系式的对应关系利用相消法求出结果.

10.在等差数列｛%｝中，已知。2=2,前7项和S7=56,则该数列的公差&=.本题考查的知识要点：函数关系式的应用，相消法在函数的关系式中的应用，主要考查学生的运算能力和

【答案】3转化能力，属于基础题型.

【解析】解：a2=2,前7项和57=56,

14.我国古代数学著作德法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初步健步不为难，次日脚痛

则+21d=56

减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二

角军的的=-1,d=3,天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为

故答案为：3__里.

由题意可得｛7%；荒；56,解得即可.【答案】96

【解析】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列｛时｝,其中q=$$6=189.

本题考查了等差数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题

可得：毕=189,解得%=96.

11.已知圆Cx2+y2=4,则过圆上点(1,百)的切线方程是.1-2

［答案】％+y/3y—4=0故答案为：96.

【解析】解：因为(l,g)是圆/+y2=4上的点，

由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列｛4｝,其中q=4,$6=189.利用求和公式即可得出.

所以它的切线方程为：x4-V3y=4,

即％+V3y—4=0.本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

故答案为％+V3y—4=0.

直接利用圆上的点的切线方程，求出即可.15.如图，向量瓦？_L而，\OA\=2,\OB\=1,尸是以O为圆心、|万彳|为半径的圆

2弧公上的动点，若加=租万5+九而，则机〃的最大值是.

本题考查圆的切线方程，判断点在圆上是解题的关键.圆上的点(3,yo)的切线方程为：xx0+yy0=R,值

【答案】解：(1)向量五=(1,2),"(2㈤,c=(8,7),

•••b+c=(10,fc+7)，

【答案】1令1x(k+7)-2x10=0,解得k=13,

【解析】解：♦.•赤=利旅+九南,•••当k=13时，a//(b+c);

(2)当k=l时，方=(2,1)，

-.0P2=(mOA+n0B)2>

设下=ma+

4=47n2+n2,即(8,7)=(m+2n,2m+n),

v4m2+n2>4mn,(m+2n=8

•••4mn<4,"12m+n=7，

•••mn<1,解得m=2,n=3.

故答案为：1.【解析】(1)根据平面向量的坐标运算与共线定理列方程求出左的值；

将加=?n瓦？+九南两边平方后，用基本不等式即可求得最大值.(2)利用平面向量的坐标运算与向量相等，列方程组求得相、〃的值.

本题考查了平面向量数量积、基本不等式.属基础题.本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题.

16.已知点4(4,0),。为原点，对于圆O：/+y2=4上的任意一点尸，直线/：y=k%-1上总存在点。18.已知等比数列｛an｝满足，a2=3,a5=81.

满足条件和+瓦？=2的，则实数上的取值范围是.(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设匕=loga,求｛b｝的前〃项和为S.

【答案】［0,$3nnn

【答案】解：⑴•••等比数列｛郁｝满足,a2=3,a5=81,

【解析】解：根据题意，尸是圆O：/+y2=4上任意一点,

解得的=1,<7=3,

则设P(2cos8,2sin8),

n

若点。满足条件加+瓦？=2的，则。是PA的中点，•・.数列｛an｝的通项公式时=3t.

n

则Q的坐标为(2+cos。,sin。)，(2)bn=log3an=log33t=n-l,

若。在直线/：y=kx—l_t,贝!Jsin。=k(2+cos。)一1,.••｛%｝的前〃项和：

S=(1+2+3+…+n)-n

变形可得k=譬号，n

2+cos0n(n4-1)

=---------n

即左表示单位圆上的点(cos。,sin。)2

与点M(-2,-1)连线的斜率，_n(n-l)

设过点M的直线y-1=m(x+2)与圆％2+y2=1相切，—2,

【解析】(1)利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列｛%J的通项公式.

则有冷1,

n

(2)由瓦=log3an=log33t=?1-1,利用分组求和法能求出｛bn｝的前〃项和.

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前〃项和的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识,

解可得m=0或，

考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

则有0〈黑^三£即左的取值范围为血事;

19.已知圆心为。的圆经过三个点0(0,0)、。(一2,4)、8(1,1).

(1)求圆C的方程；

故答案为：［0申.

(2)若直线/的斜率为一号在y轴上的截距为-1,且与圆C相交于尸、。两点，求A0PQ的面积.

根据题意，设设P(2cose,2sin8),由向量的三角形法则分析可得。是PA的中点，即可得。的坐标，将。

的坐标代入直线/的方程，变形可得上=瞿二，分析上的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分析可得

2+cos0【答案】解：(1)设所求圆的方程为/+y2+o%+Ey+F=o,

答案.(F=0

本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量的三角形法则以及直线的斜率公式，属于综合题.贝！I4+16-2D+4E+F=0,解得D=2,E=-4,F=0.

(l+l+D+E+F=0

三'解答题(本大题共5小题，共76.0分)二圆C的方程为%2+y?+2%-4y=0；

17.已知向量有=(1,2),b=(2,fc)，c=(8,7).(2)圆％2+丫2+2］_4y=0的圆心坐标为C(—1,2),半径为遥.

(1)当上为何值时，a//(K+c);

直线/的方程为y=-1,即4%+3y+3=0.

(2)当左=1时，求满足条件E=m五+九区的实数相，〃的值.

圆心到直线/的距离d==1,

V4Z+3Z

|PQ|=2j(V5)2-l=4.所以：A>—2,

故：—2V4<3.

△OPQ^^S=1x4x1=2.【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.

(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和.

【解析】(1)设圆的一般式方程，把点的坐标代入圆的方程，求解方程组可得。，E,尸的值，则圆的方程(3)利用(2)的结论，进一步利用函数的单调性和恒成立问题求出参数的范围.

可求；本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，恒成立问

(2)写出直线/的方程，求出圆心到直线/的距离及弦长，则AOPQ的面积可求.题在函数中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，是中档题.

21.已知椭圆r：9+，=l(0vbV2)的左右焦点分别为Fl、上顶点为5,。为坐标原点，且向量瓯

F2,

20.已知数列｛册｝的前n项和Sn=2-高:(nEN*).

与丽的夹角为第

(1)求数列｛a”｝的通项公式；

(2)数列出〃｝满足匕n=nan,求数列｛bn｝的前〃项和"；(1)求椭圆厂的方程；

(2)设Q(l,0),点P是椭圆r上的动点，求而•同的最大值和最小值；

(3)对于(2)中的"，若不等式(-1)勺<〃+肃对一切nGN*恒成立，求；I的取值范围.

(3)设不经过点8的直线/与椭圆r相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1,证明：直线/

过定点.

【答案】解：(1)数歹1]｛册｝的前几项和品=2一备("EN*)①.【答案】解：(I)椭圆「：9+，=1(0<匕<2)的。=2,向量瓯与鹿的夹角为作，

当九之2时，Sx=2-/②，

可得|BF]|=\BF2\=a==2b=2,即b=1,

①-②得：an=Sn-Sn_i=2-备-2++则椭圆方程为?+y2=i；

当九=1时，Si=%=2—去=1,(2)设P(m,n),可得?+*=1,即*=1一9，

符合上式，

PQPO=(1—m,—ri)•(―m,—ri)=m2—m+n2=|m2—m+1=—|)2+1,

故：an=

由-2<m<2可得m=|时,上式取得最小值|；m=-2时，取得最大值6,

(2)由于：an=^7,

则PQ•方的范围是[|,6]；

则：bn=nan=/三，

(3)证明：当直线/的斜率不存在时，设N(x2,y2),

则：%=玄+弓+£+…+号①'由MM+JN=等+号=(%弋普--=1，