【凸函数的性质及其应用探究3500字】

凸函数的性质及其应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u23731凸函数的性质及其应用 179111.引言 1123032.凸函数的定义及判别法 2113882.1函数的定义 2168892.2凸函数的判定定理 5209653.凸函数的运算性质 679134.凸函数的应用 7142634.1詹森（Jensen）不等式 7192514.2凸函数在不等式中的应用 1078684.3凸函数求解高中数学题的应用 12171755.结语 1524143参考文献 151085致谢 16摘要：数学分析中，函数是我们重点研究的问题，而在函数种类中，凸函数则是非常重要的一类函数。在本文中，我们阐明了关于凸函数的具体定义，给出方法用于判定一个函数是否为凸函数，再列举了凸函数在运算中的性质，着重的对詹森不等式进行推导证明，并结合相应的题目体现出了凸函数在解决实际问题的应用。关键词：凸函数；运算；詹森不等式。1.引言凸函数是数学分析中一类极其重要的函数，其定义和性质在理论和实践中都有着极其重要的作用,它的适用性之广使在诸多方面都有应用,研究价值极高。因此,在后续的数学发展中对凸函数的等价的定义、性质和应用方面的研究一直是人们所重点研究的问题。在已有的研究成果出发,本文首先给出华东师范大学主编的《数学分析》(上册

)并结合复旦大学主编的高等教育出版社第三版《数学分析》，给出凸函数的基本定义以及相关的几个常用等价定义；进而由凸函数的基本定义出发给出判定凸函数的方法,再列出了凸函数在运算中的一些性质;由掌握性质便于更好的解题，我们在最后结合相应的题目体现出了凸函数在解决实际问题的应用。2.凸函数的定义及判别法2.1函数的定义对于函数而言，我们在了解了它的单调性和极值之后，对函数形状的把握有了很大的提升，但为了更深入和精确地掌握函数的形状、性质，我们又将函数分为了凸函数和凹函数。下面我们就结合凸函数的函数图像来把握凸函数在几何图形的特征。从几何图形的角度容易看出，凸函数中任意两点的连线都位于函数曲线的上方，对于函数图像上任意两点分别为，都有：。那么我们在图像上另取一点,不难得出：由此我们可以给出满足凸函数的概念：定义1:设函数的定义域为，对于上的自变量和实数满足：则称为上的凸函数。特别地，当上述等号不成立时，称为上的严格凸函数。由这一基本定义出发，我们可以给出很多凸函数的等价定义。定义2:设函数的定义域为，对于，且，总有，则是定义域为的一个凸函数。回顾定义1来看，定义1中时，我们就可以得到定义2。定义3:设函数的定义域为，对于，总是能够得到，那么定义域为的函数是一个凸函数。其几何意义是：弦斜率随的增大而增大，即是单调递增的。证明：［充分条件］设，则，代入定义1，得：［必要条件]在定义域中存在两点，令求得，根据函数必要性，于是得出：故而为上的凸函数。定义4:设函数的定义域为，关于，满足：则称为上的凸函数。其实我们根据矩阵的运算性质将矩阵展开整理可得:,发现其与定义3是等价的。而在高中数学的学习当中，我们知道就是曲线切点斜率的变化规律，斜率又是表达函数在切点的导数值。因而，我们又可以得到凸函数的另一定义。定义5:函数在定义域上都可以求得导数，若是单调的，还是递增的，那么函数是定义在上的一个凸函数。那由定义5，我们又可以探讨凸函数的函数值与它的导数之间的关系。假设在上有定义且是单调递增的，是否可以证明：对于上任意两点,总有证明如下：由拉格朗日中值定理有因而凸函数它的定义又可以表示为：定义6:函数在定义域上都可以求得导数，在定义域上的总是存在两点、，满足:那么函数在定义域上是一个凸函数。由定义5我们知道，是单调递增的，那么我们由单调性和导数的关系来看凸函数，我们可以得出凸函数的二阶导是大于等于零的，也可根据这一特性给出凸函数的定义：定义7:为定义在上的连续函数，在上二阶可导，且，那么就是定义在上的凸函数。从凸函数的基本定义出发，我们又得到了凸函数的几种等价定义，在了解了凸函数的定义后，我们就可以运用其定义来判定一个函数是否为凸函数，进而对相应的问题进行求解和研究。2.2凸函数的判定定理从凸函数的定义出发，我们不难得出判断某个函数是否为凸函数的判断方法。判定定理1：函数在定义域上都可以求得导数，那为凸函数需满足条件：在内为递增函数。判定定理2：函数在定义域上都可以求得导数，而且二阶导数也是存在的，那为凸函数需满足条件：。判定定理3：函数在定义域上都可以求得导数，那为凸函数需满足条件：。判定定理4：函数在定义域上都可以求得导数，那为凸函数需满足条件：。判定定理5：某函数,和，且，那为凸函数需满足条件：需要注意的是定理5又叫做詹森（Jensen）不等式，是由为凸函数的条件下证明得来，其证明放在凸函数的应用中给出，在此就不做过多的论述。在知晓了凸函数的定义和判别法之后，可以使得我们在解题过程中省略大部分的思考时间，有利于我们更快的把握问题函数的本质，利用对应的性质解决问题。3.凸函数的运算性质在研究一个函数时，那就要从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、增减性等方面对目标函数进行思考。除此之外，对于函数整体的运算性质也是我们所思考的一个重要方面。例如：定义在实数上的单调增函数在扩大倍后得到的函数在定义域上仍为单调递增的。由此出发，我们也可以得到凸函数的几大运算性质。运算性质1：对于定义在上的两凸函数和，那么+在定义域上也是一个凸函数。运算性质2：凸函数在定义域上有定义，那么有在定义域上也是一个凸函数。运算性质3：设凸函数与都在定义域有定义，函数值都大于等于零且是递增的，则也是区间上的凸函数。运算性质4：若凸函数在定义域上是严格递增的，而也是一个凸函数时，那我们可以得知函数也为凸函数。对于运算性质1，同为凸函数的两函数相加，又由凸函数是单调递增的可得，凸函数加凸函数得到的目标函数仍旧为凸函数；对于运算性质2，根据函数的求导法则，k不影响函数的求导之后的值，即目标函数的与原函数具有相同的增减性，故目标函数还是一个凸函数；对于运算性质3，凸函数的一阶导和二阶导都为非负数，那么目标函数的二阶导也是一个大于等于零的数，根据凸函数的判定定理2，那么目标函数也是一个凸函数。这三个运算性质也比较容易推导，在这就简单叙述一下，不作证明。而对于运算性质四也并不难以理解，我们在结合复合函数求导法则亦可证明，下面我们给出它的证明过程：证明：运算性质得证。4.凸函数的应用4.1詹森（Jensen）不等式在凸函数的判定定理5中，我们给出了詹森不等式的表达形式，下面我们给出它的证明。证明如下：记，又λ＜1，则由泰勒公式有各式乘以λi再相加，得特别地，取时，则 取时，则有。詹森不等式是凸函数的一个重要性质，它是我们在解题中最常用到的方法，能够很大程度简化我们的运算过程。例1证明不等式证明：例2设和是两组正数，，证明。证明：要证明不等式即要证例3求证个大于零的数的倒数的算数平均值不小于这个数的算数平均值的倒数。证明：例4设a1,a2,,an均为正数，且a1+a2++an=1，求证：4.2凸函数在不等式中的应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数，在大学数学的过程中，特别是在不等式的证明中应用特别广泛，下面我们来看几个例题。例5设a、b＞0，,r＞0,证明：证明：例6证明younger不等式：证明：例7对任何正数，当α＞1时有证明：4.3凸函数求解高中数学题的应用在高中数学中，函数也是贯穿教材始终的一个知识点，在学习了凸函数之后，我们可以用凸函数的性质来思考解答高中数学题，与高中的解题方法相比较而言，我们的解题过程更加简洁、方便。例8求证：对于任意实数a、b,有。证明：例9在∆ABC中，证明：证明：例10求证：对于任意，对于函数，都有证明：例11若是一组实数，且，试求：的最小值。解：例12证明：例13（Ⅰ）设函数,求f(x)的最小值。（Ⅱ）设正数满足，证明：（Ⅰ）解：（Ⅱ）解：5.结语从上述凸函数的应用发现，在熟悉了凸函数的性质及运算性质后，可以简化我们在解题过程中的运算，缩短解题的时间。实际发现，凸函数在诸多领域的问题的解决过程中都有着很不错的效果，因此，我们仍需对凸函数的理论进行更深层次的开拓，进而推动数学的发展，让数学更好的融入我们的生活。参考文献[1]熊鹏飞,付晓鹃.凸函数的性质及其应用[J].黑龙江科技信息,2011(21):180.[2]陶凤梅.简论凸函数的等价定义及其性质(Ⅱ)[J].鞍山师范学院学报,1993(03):27-30+71.[3]刘仁义.关于凸函数的讨论[J].南都学坛,1991(S2):19-24.[4]蒋善利,普丰山.凸函数的性质与判断[J].新乡学院学报(自然科学版),2009,26(06):13-14.[5]刘仁义.关于凸函数的判定[J].甘肃高师学报,1998(03):8-14.[6]陈亚丽.关于凸函数的定义和性质[J].无锡商业职业技术学院学报,2013,13(03):111-112.[7]张向辉,程曹宗.(h,ф)-凸函数的广义方向导数及广义次梯度的两个基本性质[J].今日科苑,2007(10):146-147.[8]杨新民.凸函数