专题. 完全平方公式（直通中考）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题1.18完全平方公式（直通中考）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·宁夏·统考中考真题）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023·山东日照·统考中考真题）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值是（

）A．6 B． C． D．45．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（

）A．24 B． C． D．6．（2011·甘肃天水·中考真题）已知，mn=2，则的值为（

）A．7 B．5 C．3 D．17．（2021·四川广元·统考中考真题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．8．（2022·广西·中考真题）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（

）A． B．C． D．9．（2020·山东枣庄·中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（

）

A．ab B． C． D．10．（2020·广西贺州·统考中考真题）我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（

）A．64 B．128 C．256 D．612填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足，则．12．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

13．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知是完全平方式，则的值是．14．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为．15．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知用“＜”表示的大小关系为.16．（2022·山东滨州·统考中考真题）若，，则的值为．17．（2022·四川德阳·统考中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=．18．（2021·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，.20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．21．（10分）（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2； （2）x4+．22．（10分）（2022·河北·统考中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．23．（10分）（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当时，该小正方形的面积是多少？24．（12分）（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．（1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值；（2）比较与的大小，并说明理由．参考答案：1．D【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可．解：A、，故选项A错误；B、，故选项B错误；C、，故选项C错误；D、，故选项D正确；故选D．【点拨】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，是解题的关键．2．D【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；，故B选项错误，不符合题意；，故C选项错误，不符合题意；，故D选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.3．B【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可．解：A、，故错误；B、，故正确；C、，故错误；D、不是同类项，不能合并，故错误；故选：B．【点拨】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键．4．D【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可．解：由得：，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为．5．B【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．6．C【分析】将完全平方式展开，然后根据（m+n）2=11，mn=2，求出m2+n2的值，再整体代入求解．解：∵（m+n）2=11，mn=2，∴m2+n2+2mn=11，∴m2+n2=11-2mn=11-4=7，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=7-4=3．故选：C．【点拨】此题主要考查完全平方式的展开式，解此题的关键是学会将（m-n）2进行拆分，然后再整体代入，比较简单．7．B【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算即可判断求解．解：A.，原选项计算错误，不合题意；B.，原选项计算正确，符合题意；C.，原选项计算错误，不合题意；D.，原选项计算错误，不合题意．故选：B【点拨】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键．8．A【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．解：根据题意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，故选：A．【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．9．C【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），故正方形的面积为（a+b）2．又∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选C．【点拨】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．10．C【分析】由“杨辉三角”的规律可知，（a+b）8所有项的系数和为28，即可得出答案．解：由“杨辉三角”的规律可知，展开式中所有项的系数和为1，展开式中所有项的系数和为2，展开式中所有项的系数和为4，展开式中所有项的系数和为8，……展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的系数和为．故选：C．【点拨】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题关键是通过观察得出系数和的规律．11．【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．解：故答案为：．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．12．【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：，，，，，…则第个数对的第一个数为：，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：；；；；…，则第个数对的第二个位：，∴第n个数对为：，故答案为：．【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．13．【分析】根据，计算求解即可．解：∵是完全平方式，∴，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．14．或【分析】直接利用完全平方公式求解．解：∵代数式是一个完全平方式，∴，∴，解得或，故答案为：或【点拨】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．15．【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．解：由题意可知：，∵，∴，∴；，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，∴∴；，同理，故答案为：．【点拨】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．16．90【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．解：∵，，∴．故答案为：90．【点拨】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．17．4【分析】根据完全平方公式的运算即可.解：∵，∵+=4=16，∴=4.【点拨】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.18．4【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为；故答案为：．（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．故答案为：4．【点拨】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想．19．，【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．解：当，时，原式．【点拨】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．20．，24【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．解：当时，原式．【点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．21．（1）5；（2）47【分析】（1）由＝、＝，进而得到﹣4x•即可解答；（2）由＝可得=7，又＝，进而得到＝﹣2即可解答．（1）解：∵＝∴＝＝＝﹣4x•＝32﹣4＝5．（2）解：∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．【点拨】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．22．验证：；论证见分析【分析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．解：证明：验证：10的一半为5，；设“发现”中的两个已知正整数为m，n，∴，其中为偶数，且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，∴“发现”中的结论正确．【点拨】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．23．（1）；（2）36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可．（1）解：∵直角三角形较短的